ЛП_КомпГеом_1
.pdfМ И Н И С Т Е Р С Т В О О Б Р А З О В А Н И Я И Н А У К И Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА И ЭКОНОМИКИ
КАФЕДРА «ПРИКЛАДНЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ»
КОМПЬЮТЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
ДЛЯ БАКАЛАВРИАТА ВСЕХ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ 010400.62
«Прикладная математика и информатика»
Санкт-Петербург
2013
1
Одобрен на заседании кафедры «Прикладные информационные технологии», протокол № %% от %%.%%.2013 г.
Компьютерная геометрия. Лабораторный практикум для бакалавриата всех форм обучения по направлению 010400.62 «Прикладная математика и информатика». – СПб.: Изд-во СПбГУСЭ, 2013.
Составители:
доц. кафедры «Прикладные информационные технологии», к.ф-м.н. А.В. Кондрашков
Рецензент: д.т.н., проф. М.О. Колбанев
Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики
2013 г.
2
Содержание
Предисловие |
4 |
|
|
|
|
Порядок выполнения и оформления лабораторной работы |
5 |
|
|
|
|
Раздел 1. Аналитические методы в геометрии и их реализация в |
6 |
|
системах компьютерной математики |
|
|
Методические указания общего характера по применению средств |
6 |
|
программы «Wolfram Mathematica 7» |
|
|
|
Лабораторные работы по темам |
|
|
|
|
1. |
Кривые на плоскости. |
9 |
|
|
|
2. |
Области на плоскости. |
13 |
|
|
|
3. |
Числовые характеристики геометрических объектов на |
18 |
|
плоскости. |
|
4. |
Поверхности в пространстве. |
24 |
|
|
|
5. |
Кривые в пространстве. |
31 |
|
|
|
6. |
Области в пространстве. |
34 |
|
|
|
7. |
Числовые характеристики геометрических объектов в |
39 |
|
пространстве. |
|
8. |
Геометрические приложения кратных интегралов |
43 |
|
|
|
9. |
Векторы и матрицы. |
47 |
|
|
|
10. |
Векторные функции и модели геометрических объектов. |
|
|
|
|
11 |
Фракталы. |
53 |
|
|
|
Специальные приложения |
66 |
|
|
|
|
A. |
Списки. |
66 |
|
|
|
B. |
Функции. |
68 |
|
|
|
C. |
Уравнения и системы уравнений. |
70 |
|
|
|
Литература |
71 |
|
|
|
|
3
Предисловие
Дисциплина «Компьютерная геометрия» рассматривает информационные технологии в геометрии (как части высшей математики) на основе тех или иных компьютерных программ. Настоящая версия дисциплины «Компьютерная геометрия» предназначена для бакалавриата всех форм обучения по направлению 010400.62 «Прикладная математика и информатика». Учебное пособие содержит достаточное количество заданий как для аудиторных занятий, так и для самостоятельной работы.
Тематика заданий раздела 1 охватывает ряд традиционных задач геометрии, допускающих решение аналитическими методами на основе математического анализа и линейной алгебры. Соответствующие алгоритмы поиска решения могут быть реализованы в любой системе (программе), допускающей программирование на языке высокого уровня. Для этого идеально подходят современные программные продукты (широко известные как системы компьютерной математики, или просто СКМ), реализующие компьютерные технологии в математике. Сюда относятся такие популярные системы, как MATLAB, Maple, Mathematica, MathCAD, и т.д. Для ознакомительных целей выбор конкретной СКМ не имеет принципиального значения, поскольку все эти системы предназначены для решения одних и тех же математических задач. Настоящий практикум ориентирован на применение СКМ Wolfram Mathematica. Лабораторные работы наглядно демонстрируют возможности системы Mathematica и способствуют освоению ее средств при решении типовых геометрических задач аналитическими методами. Многие задачи для вариантов заданий взяты из классических задачников по высшей математике для университетов и технических вузов.
4
Порядок выполнения и оформления лабораторных работ
1.Каждая лабораторная работа раздела 1 содержит от 5 заданий по различным разделам геометрии в составе высшей математики. Номера индивидуальных заданий назначает преподаватель.
2.Все задания по темам с №№ 1-11 выполняются в программе «Wolfram Mathematica 7». На ее рабочем листе *.nb формируется протокол выполнения каждой лабораторной работы.
3.В дальнейшем следует сохранить протокол, фиксируя фамилию студента
и номер лабораторной работы. (Пример сохранения протокола: zurupa_05.nb.)
4.На основании протокола составляется отчет о выполнении текущей лабораторной работы как раздел единого документа *.docx (рабочей тетради). Тема лабораторной работы выносится в заголовок раздела. По каждому заданию в отчет внедряются только следующие пункты: формулировка задания; итоговые результаты.
5.После добавления титульного листа следует сохранить рабочую тетрадь, фиксируя фамилию студента. (Пример сохранения рабочей тетради: цурюпа. docx.)
6.На защиту лабораторной работы доставляется папка (в электронной форме) с указанием фамилии студента и направления подготовки. Папка должна содержать протоколы и рабочую тетрадь. (Пример папки: цурюпа_2307.)
7.Лабораторные работы раздела 2 (по темам с №№ 12-17) связаны с геометрическим моделированием в системе 3D MAX. При выполнении этих работ следовать указаниям их заданий. Файлы с результатами работ сохранять в своей папке.
5
Раздел 1. Аналитические методы в геометрии и их реализация в системах компьютерной математики
Аналитические методы в геометрии состоят в систематическом применении координат и векторов. Обоснованием служит ряд широко известных фактов евклидовой геометрии.
В методе координат положение какой-либо точки в пространстве (или на плоскости) однозначно определяется тройкой (или парой) чисел, которые служат координатами точки относительно выбранной системы координат. Описание геометрических объектов может быть связано с использованием числовых функций, уравнений, неравенств. Многие геометрические задачи находят свое решение как традиционные задачи математического анализа.
На основе векторных представлений евклидова геометрия неразрывно связана с линейной алгеброй.
Алгоритмы поиска решения какой-либо геометрической задачи могут быть реализованы в системах компьютерной математики.
Методические указания общего характера по применению средств программы «Wolfram Mathematica 7»
Система компьютерной математики «Wolfram Mathematica 7» (далее просто WM7) предназначена для выполнения математических расчетов всех видов: числовых, символьных, графических. Работа пользователя с этой системой основана на программировании математических объектов и их свойств, а также действий с объектами.
1.При запуске программы WM7 в ее окне открывается рабочий лист *.nb. Одновременно появляется отдельное окно Welcome to WM7, из которого предлагается доступ к ресурсам системы.
2.Из окна Welcome to WM7 через Complete Documentation можно перейти в окно справочной службы Wolfram Mathematica: Documentation Center. Другой путь в окно Documentation Center проходит через меню Help на верхней панели окна программы WM7.
3.В режиме диалога пользователь вводит на текущий рабочий лист *.nb свои директивы (указания), формулируя их на языке программирования для СКМ WM7. Чтобы система корректно и однозначно распознавала все
6
формулировки пользователя, приходится соблюдать определенные правила.
4.При написании тех или иных формулировок широко используются различные средства системы, в том числе функции. Имена всех функций системы и другие служебные слова зарезервированы и начинаются с заглавной буквы. По этой причине имена переменных и функций, вводимых пользователем, не должны содержать заглавных букв.
5.О каждой функции системы исчерпывающая информация (выполняемые действия, правила написания, примеры использования, и т.п.) может быть найдена на странице этой функции в справочной службе.
6.Для задания свойств некоторых математических объектов (например, графических изображений) применяются опции. Если выбранная функция допускает опции, то исчерпывающая информация о доступных опциях (вместе с примерами) может быть найдена на странице этой функции в справочной службе WM7: Documentation Center.
7.При составлении той или иной формулировки применяются различные стили: FullForm, InputForm, OutputForm, StandardForm, а также
TraditionalForm, и др. Различие между стилями определяется мерой использованием основной клавиатуры. В частности, с основной клавиатуры компьютера можно вводить любые формулировки на языке программирования в стиле FullForm. Однако в других стилях для набора ряда специальных символов используются соответствующие комбинации клавиш.
8.Более эффективный ввод формулировок связан с программированием в стиле StandardForm. Для реализации этого способа в системе WM7 имеются палетки (Paletts) с различными виртуальными клавиатурами.
Полезная палетка Basic Math Assistant1 может быть установлена через меню Paletts на верхней панели окна программы WM7.
9.Палетка Basic Math Assistant содержит «карманы» Basic Commands и Typesettings. В каждый из этих «карманов» вложены виртуальные клавиатуры.
10.Виртуальные клавиатуры предназначены для ввода специальных символов и шаблонов элементов математических выражений.
11.При вводе какой-либо формулировки на рабочем листе формируется входная ячейка (Cell) In[#], отмеченная правой квадратной скобкой (]) на правом поле листа. После активации формулировки путем Shift+Enter отклик программы помещается в выходную ячейку Out[#], отмеченную правой квадратной скобкой (]) на правом поле листа.
1 И другие палетки тоже.
7
Некоторые сокращения в информационных ресурсах системы
«Wolfram Mathematica 7»:
Сокращение |
Значение (англ.) |
Значение (рус.) |
|
expression |
выражение |
|
variable |
переменная |
|
value |
значение |
|
domain |
область |
|
option |
опция |
assum |
assumption |
предположение |
cond |
condition |
условие |
arg, args |
argument, arguments |
аргумент, аргументы |
Более подробные сведения можно найти в статье «Some General Notations and Conventions», или в иных информационных ресурсах (по гипер-ссылкам).
8
1. Кривые на плоскости
Цель работы состоит в освоении технологий решения типовых задач по теме «Кривые на плоскости». Основные задачи:
1)Определение кривой с использованием функций и уравнений;
2)Получение изображения кривой на основе аналитического описания.
Key words: Plot, ContourPlot, ParametricPlot, PolarPlot.
Возможные пути к ресурсам из окна Documentation Center:
1)Visualization and Graphics → Function Visualization.
2)Visualization and Graphics → Graphics Options & Styling.
Основные способы задания кривых (линий) на плоскости
По умолчанию предполагается, что на плоскости выбрана декартова система прямоугольных координат и . Через и обозначаются координатные прямые (оси).
Простая кривая. Первоначальные представления о кривой (или линии) на плоскости дает график какой-либо гладкой функции одной переменной:
= ( ) или = ( ),
где 1 ≤ ≤ 2 или 1 ≤ ≤ 2, соответственно.
Общая кривая вводится как множество всех точек = ( , ) на плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
, = ,
где , - некая гладкая функция, а = const. Фактически общая кривая представляет собой линию уровня функции данной = , в проекции на плоскость .
Параметризованная кривая (путь) состоит из таких точек = ( , ) на плоскости, координаты которых вычисляются по формулам (в зависимости от некого параметра ):
= , = ,
где 1 ≤ ≤ 2, а и - заданные гладкие функции (координатные функции). Если же 1 = 2 и 1 = 2 , то данная кривая будет замкнутой.
9
Уравнение кривой в полярных координатах
Пусть точка рассматривается как «полюс», а полупрямая ( ≥ 0) служит «полярной осью». Положение какой-либой точки ≠ на плоскости определяется полярными координатами ( , ), где – «полярный радиус» (совпадающий с длиной вектора ), а - «полярный угол» между и полярной осью. Декартовы прямоугольные координаты ( , ) произвольно взятой точки ≠ и ее полярные координаты ( , ) связаны формулами:
= cos , = sin .
С другой стороны, полярные координаты ( , ) точки выражаются через ее прямоугольные координаты ( , ) по формулам:
|
|
|
|
. |
|
= |
2 + 2, tg = |
||||
|
|||||
|
|
|
|
С использованием полярных координат уравнение кривой часто записывают в явном виде: = ( ), где 1 ≤ ≤ 2, а ( ) - заданная гладкая функция. В этом случае кривая допускает параметрические уравнения:
= cos , |
= sin . |
Нередко встречается запись уравнения кривой в неявном виде: Ψ , = , где Ψ , - некая гладкая функция, а = const. Переход к прямоугольным координатам ( , ) позволяет рассматривать данную кривую как общую кривую с уравнением:
|
|
|
|
|
|
Ψ 2 + 2, arctg |
= . |
||||
|
|||||
|
|
|
|
В частности, если кривая задана в полярных координатах уравнением= ( ), то ее уравнение в прямоугольных координатах:
tg ( 2 + 2) = / .
Рекомендуемые средства системы Wolfram Mathematica 7:
Имя функции |
Выполняемые действия |
Plot |
Строит линию как график функции = ( ). |
ContourPlot |
Строит общую кривую , = . |
ParametricPlot |
Строит параметризованную кривую. |
PolarPlot |
Строит кривую в полярных координатах. |
10