- •Лекция 3
- •Расчет болтовых и заклепочных соединений
- •Расчет сварных соединений с угловыми швами
- •2. Кручение валов круглого поперечного сечения
- •1. Поперечные сечения стержня, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
- •2. Радиусы поперечных сечений в процессе кручения не искривляются и сохраняют свою длину.
- •Условие прочности при кручении стержней круглого сечения имеет вид
- •3. Построение эпюр крутящих моментов
- •4. Напряжения и расчет на прочность
- •Задача 2. Расчет стального бруса при кручении
- •Числовые данные к задаче № 2
- •Основные теоретические сведения и расчетные формулы
- •1.Определение величины неизвестного крутящего момента х.
- •2. Построение эпюры крутящих моментов.
- •4. Проверка условия жесткости.
- •5. Построение эпюры углов закручивания.
- •Вопросы для контроля знаний
Условие прочности при кручении стержней круглого сечения имеет вид
, (5.19)
где — наибольший крутящий момент в стержне от действия нормативных нагрузок;Wp — полярный момент сопротивления; [τ] — допускаемое касательное напряжение.
Из условия прочности (5.19) получим формулу для подбора сечения
.
Отсюда находим требуемые размеры сечения стержня. Для стержня сплошного круглого сечения с учетом (5.16) имеем
. (5.20)
Для трубчатого стержня с учетом (5.17)
. (5.21)
Стержни, работающие на кручение, должны обладать достаточной жесткостью. Условие жесткости при кручении имеет вид
, (5.22)
где [φ'] — допускаемый относительный угол закручивания, обычно принимаемый в пределах 0,15 ÷ 2 град/м.
Из условия жесткости (5.22) имеем
.
Отсюда находим требуемые размеры поперечного сечения стержня. Для стержня сплошного круглого сечения с учетом (5.12) имеем
. (5.23)
Для трубчатого стержня с учетом (5.17) получим
. (5.24)
При расчете стержня на прочность и жесткость из двух требуемых значений диаметра надо принять большее.
Допускаемое напряжение при кручении :
для хрупких материалов
для пластических материалов
.
3. Построение эпюр крутящих моментов
Пример 1. Построить эпюру крутящих моментов для вала.
1. Изображаем расчетную схему (рис. 5.17, а). Реакцию в заделке определять не обязательно, так как в соответствии с методом сечений можно отбрасывать каждый раз правую часть вала с заделкой. Вал имеет четыре силовых участка:
I участок :
II участок :
III участок :
IV участок :
Рис. 5.17
2. Строим эпюру крутящих моментов (рис. 5.17, б).
Выполняем проверку правильности эпюры. Место расположения скачков, их направление и величина соответствуют внешним приложенным крутящим моментам.
4. Напряжения и расчет на прочность
Рассчитать стержень круглого поперечного сечения на прочность (рис. 5.18). Расчет на прочность выполняется с использованием условия прочности при кручении. Во-первых, необходимо расчетным путем определить максимальные касательные напряжения , возникающие в опасном поперечном сечении. Этот расчет производится по формуле:
. (5.25)
Как видно из формулы предварительно необходимо определить максимальный крутящий момент , возникающий от действия внешней нагрузки. Крутящий момент характеризует уровень внутренних сил, возникающих в стержне и уравновешивающих внешнюю нагрузку. Чем больше значение , тем выше уровеньвнутренних сил, возникающих в стержне. Следовательно, прочность стержня будет определять то поперечное сечение стержня, в котором крутящий момент имеет максимальное значение .Размерность крутящего момента — кГ· см, кГ·м, Н·м, кН·м и т. д.
Рис. 5.18
Обратимся к рис. 5.18 и подробно рассмотрим эпюру крутящих моментов , возникающих в рассматриваемом стержне постоянного поперечного сечения. Как видно из эпюры наибольшие по величине крутящие моменты возникают в поперечных сечениях участка II
кН·м.
Следовательно, опасное сечение определяющее прочность всего стержня, будет сечение участка II. Затем, после определения максимального значения крутящего момента, необходимо определить характеристику поперечного сечения, определяющую прочность круглого стержня при кручении, которая называется полярным моментом сопротивления и обозначается .
Рассмотрена часть задачи, а именно только определение максимальных касательных напряжений , которые определяют прочность стержня, но не дают ответа на вопрос, выдержит ли рассматриваемый стержень внешнюю нагрузку без разрушения или нет. Для решения поставленной задачи еще необходимо знать допускаемые напряжения , в сравнении с которыми максимальных напряжений и выносится решение о прочности или непрочностирассчитываемого вала. Определяется это с использованием условия прочности при кручении (5.25)
.
Таким образом, путем сравнения максимальных напряжений, возникающих в опасном сечении стержня круглого поперечного сечения с допускаемыми и принимается решение о прочностистержня.
С использованием условия прочности возможно решение двух задач.
1. Первая задача носит название проверочной.
2. Вторая задача называется проектировочной.
Иногда решается так же задача определения предельно допустимой нагрузки на элементы конструкции. Рассмотрим решение первых двух на конкретных примерах.
Проверочная задача. При постановке и решении проверочной задачи ищется ответ на вопрос, выдержит конкретный стержень круглого поперечного сечения, конкретного диаметра D, выполненный из конкретного материала приложенную к нему внешнюю нагрузку без разрушения или нет. Проиллюстрируем изложенное на примерах.
Дано: =3,5кН·м =3,5∙103 Н·м; D= 0,02 м; =100МПа =100∙106 Па.
Вопрос: Условие прочности выполняется или нет?
Решение.
Определим полярный момент сопротивления:
.
Определим максимальные касательные напряжения:
3. Воспользуемся условием прочности:
.
Проведенные вычисления показывают, что условие прочности не выполняется, а именно, максимальные касательные напряжения в опасном сечении Па, значительно больше допускаемых напряжений , следовательно рассчитываемый стержень (вал) разрушится.
Ответ: Условие прочности не выполняется.
Проектировочная задача. Рассмотрим другую задачу, возникающую при кручении стержня круглого поперечного сечения.
Необходимо расчетным путем определить D — диаметр поперечного сечения стержня, воспринимающего заданную внешнюю нагрузку без разрушения. Так же как и проверочная задача, проектировочная решается с использованием известного условия прочности (5.25).
Сначала подставим в условие прочности вместо его выражение, т. е.
,
в результате чего получим:
Решив полученное неравенство относительно D, мы фактически решим, в общем виде, поставленную задачу:
Совершенно очевидно, что полученная формула позволяет вычислить D — наименьший диаметр поперечного сечения стержня, удовлетворяющий условию прочности.
Определить наименьший диаметр вала D. Дано: = 3,5 кНм =3,5·103 Нм; = 100МПа =100·106 Па.
Решение. Поставленная задача решается в одно действие, а именно:
Следовательно, стержень постоянного поперечного сечения диаметром D = 5,63·10-2 м выдержит приложенную к нему заданную внешнюю нагрузку без разрушения.
Вал трубчатого сечения. Однако стержень круглого сплошного поперечного сечения не является идеальным при работе на кручение. Из рис. 3, б видно, что касательные напряжения в поперечном сечении изменяются от нуля, в центре тяжести, до , на границекруга. Следовательно, основная доля внутренних сил приходится на ту часть сечения, которая наиболее удалена от центра тяжести, а центральная часть сечения практически не работает, и материал израсходован нерационально.
Рассмотрим круглое поперечное сечение, выполненное в виде полой трубы (рис. 5.19). Полярный момент инерции для трубы вычисляется по формуле:
Рис. 5.19
Полярный момент сопротивления полой трубы определяется формулой
.
Условие прочности для стержня трубчатого поперечного сечения:
.
Решив полученное неравенство относительно D, получим
Расчет на жесткость при кручении. Рассмотрим расчет стержня круглого поперечного сечения на жесткость (рис. 5.19) на следующем примере.
Определить максимальный угол закручивания стержня круглого поперечного сечения.
Дано: =7 кНм =7·103 Нм; D = 0,04 м; G = 8·104 МПа =8·1010 Па; l =7м.
Решение. Строим эпюру крутящих моментов стержня отдействия заданной внешней нагрузки (рис. 5.20, б).
Рис. 5.20
Определяем максимальный угол закручивания стержня
,
где
.
ЗАДАЧА
Стальной брус круглого поперечного сечения нагружен системой внешних моментов (рис.11.а), а именно: ,,.
Размеры отдельных частей бруса: ,,,.
Механические свойства материала бруса:
, ,.
Требуется:
Построить эпюру крутящих моментов.
Определить диаметр бруса из расчёта на прочность и жёсткость.
Построить эпюру максимальных касательных напряжений.
Построить эпюры абсолютных и относительных углов поворота поперечных сечений.
Решение:
Из условия равновесия находим реактивный момент в защемлении:или.
Методом сечений определяем крутящие моменты в произвольном сечении каждого из участков бруса (рис.11.б).
Участок I: ;.
Участок II: ;.
Участок III: ;
Крутящий момент на участке III проще получить, рассматривая правую часть бруса: .
Участок IV: ;.
По полученным данным построена эпюра крутящих моментов (рис12.в), из которой видно, что участок I бруса является наиболее опасным, так как в поперечных сечениях этого участка крутящий момент имеет максимальное значение: .
Определяем диаметр бруса круглого сечения:
А) из условия прочности ,
тогда
Б) из условия жёсткости ,
где ,
тогда .
Окончательно принимаем большее из полученных значений с округлением в большую сторону, .
При этом, ,
.
Вычисляем величины наибольших касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях отдельных участков бруса:
,
,
.
Знак касательного напряжения не имеет физического смысла и здесь указан лишь для достижения соответствия эпюр касательных напряжений и крутящих моментов (рис.11.г).
Углы поворота граничных сечений участков относительно неподвижного сечения О определяем по формуле .
В пределах между границами участков величины углов поворота изменяются по линейному закону.
Жёсткость поперечного сечения рассчитываемого бруса
.
Угол поворота сечения А относительно сечения О
.
Угол поворота сечения В относительно сечения А
.
Угол поворота сечения В относительно сечения О
.
Аналогично, ,
, ,.
Эпюра дана на рис.11.д.
Определяем относительные углы закручивания на отдельных участках бруса:
, ,
, .
Эпюра построена на рис.11.е.
Рис.11.