- •1. Векторы. Координаты векторов и линейные операции над векторами
- •2. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
- •1. Общее уравнение плоскости и уравнение в отрезках
- •2. Особые случаи расположения плоскости в пространстве
- •3. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Угол между двумя плоскостями
- •4. Решение различных задач на плоскость
- •5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
- •6. Прямая в пространстве
- •1. Матрицы и действия над ними. Матрицы специального вида
- •2. Определители матрицы и их свойства
- •3. Обратимость матриц. Вычисление обратной матрицы
- •4. Ранг матриц. Теорема о базисном миноре
- •1. Элементарные преобразования и приведение матриц к ступенчатому виду
- •2. Линейные системы алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капеллил
- •3. Линейные пространства и базис. Структура общего решения однородной системы уравнений
- •4. Структура общего решения неоднородной системы уравнений. Алгоритм метода Гаусса построения общего решения линейной алгебраической системы уравнений
- •1. Линейные системы уравнений с квадратной матрицей. Правило Крамера
- •2. Линейный оператор и его матрица в фиксированном базисе. Алгебра линейных операторов и ее связь с алгеброй матриц
- •1.Изменение координат вектора и матрицы оператора при переходе к новому базису
- •2. Ядро и образ линейного оператора
- •3. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов
- •Лекция 7. Евклидовы и метрические пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Существование ортонормированного базиса
- •1. Евклидовы и метрические пространства
- •2. Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования
- •2. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •3. Кривые второго порядка на плоскости
3. Кривые второго порядка на плоскости
Множество точек на плоскости6удовлетворяющих уравнению
где не обращаются одновременно в нуль, называется кривой второго порядка на плоскости. Старшие члены в (2) образуют действительную квадратичную форму
с матрицей По теореме 4 ортогональным преобразованием(гдематрица из ортонормированных собственных векторовматрицы
) ее можно привести к каноническому виду , гдесобственные значения матрицыПри этом преобразовании исходное уравнение (2) приводится к виду
Так как то числоявляется определителем квадратичной формыПроведем классификацию кривых второго порядка (2) в случаеВ этом случае ( применяя метод выделения полного квадрата) уравнение (4) можно привести к видуСделав ещё одну замену переменныхполучим уравнение
если иесли
1Полезно запомнить, что в первый индекс номер строка, а номер столбца, на пересечении которых находится элемент
2Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, сохраняющее линейные операции между ними, называетсялинейным изоморфизмом этих множеств.
3Если оператор линейный, то пишутопуская скобки.
4В качестве обычно берут множество действительных чисел или множество комплексных чисел
5Приведение квадратичной формы к виду (1) называют ещёприведением её к главным осям
6Эту плоскость мы будем обозначать так же, как и множество геометрических векторов, буквой .