Лекция 7. Евклидовы и метрические пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Существование ортонормированного базиса

В теории квадратичных форм важную роль играют евклидовы пространства и самосопряжённый оператор. Перейдем к описанию этих понятий.

1. Евклидовы и метрические пространства

Пусть линейное пространство над множеством действительных чисел

Определение 1. Пространство называетсяевклидовым пространством, если в нем для любой пары векторов иопределено числоназываемоескалярным произведением и, удовлетворяющее следующим свойствам:

1. П.О. 2.С. 3.Л.

(здесь произвольные векторы,произвольные числа).

Например, обычное скалярное произведение в геометрическом пространстветрехмерных векторов удовлетворяют свойствам 1-3, поэтому- евклидово пространство. Очевидно, что пространство(мерных векторов-столбцов) также является евклидовым пространством со скалярным произведением

также является евклидовым пространством. Обычно евклидовы пространства обозначают буквой и мы будем пользоваться этим обозначением.

Если линейное пространство над множеством комплексных чисели если в нем введено скалярное произведениеудовлетворяющее аксиоме 1 и аксиомам

то пространство называетсяунитарным пространством (здесь черта вверху означает комплексное сопряжение:). Мы будем рассматривать в основном евклидовы пространства. Однако все приводимые ниже понятия и утверждения почти дословно переносятся и на унитарные пространства.

Определение 2. Два вектора называютсяортогональными, если

Имеет место следующее утверждение: любая системапопарно ортогональных векторов влинейно независима. Действительно, пусть. Умножая это равенство скалярно набудем иметь

Таким образом, равенство выполняется тогда и только тогда, когда все числаодновременно равны нулю. Это означает, что векторы линейно независимы.

Определение 3. Базис пространства называетсяортонормированным, если

Например, базис в пространствеявляется ортонормированным.

Введем теперь в рассмотрение понятие метрического пространства.

Определение 4. Линейное пространство называетсяметрическим пространством, если в нем для любых векторов иопределено числоназываемоерасстоянием между и (илиметрикой в ), обладающее следующими свойствами:

4. П.О. 5. С. 6. Т.

(произвольные векторы из пространства ).

Любое евклидово пространство является одновременно и метрическим пространством с метрикой (проверьте выполнение свойств 4-6). Заметим, что число называетсядлиной (или нормой) вектора Так чтов евклидовом пространстве

В любом евклидовом пространстве имеет местонеравенство Коши-Буняковского:

Отсюда следует, что имеет смысл называемое косинусом угла между векторамии

Теорема 1. В любом евклидовом пространстве размерностисуществует ортонормированный базис . Координаты векторав этом базисе имеют вид

Доказательство первой части этой теоремы проводить не будем. Перейдем ко второй части. Имеем . Умножая скалярно это равенство набудем иметь

Теорема доказана.

Введем следующее важное понятие.

Определение 5. Оператор действующий в унитарном (в частности, в евклидовом) пространственазываетсясопряженным к оператору если для всех

имеет место равенство Обозначение:

Теорема 2. В любом ортонормированном базисе унитарного пространстваматрица оператораявляется сопряженной по отношению к матрице операторат.е. еслиматрица операторато матрицей операторабудет матрица

И, наконец, заметим, что квадратная матрица называетсясимметрической, т.е.Нетрудно показать, что все собственные значения симметрической матрицы действительны; при этом и отвечающие им собственные векторы также можно выбрать действительными.