Пример применения[править | править исходный текст]

Найти ток методом наложения в цепи, показанной на рисунке. , , .

Пример метода наложения

При отключённом генераторе 2 ток найдём по формуле:

.

При отключённом источнике 1 ток будет

,

а ток будет

.

Тогда ток при обоих включённых источниках будет равен сумме токов и :

.

В задаче за положительные направления токов и приняты направления, совпадающие с направлением, показанным на рисунке для тока . То же самое для тока 

13. Метод эквивалентного активного двухполюсника.

Метод эквивалентного генератора (теорема об активном двухполюснике)

В некоторых случаях бывает необходимо исследовать режим работы только одной ветви схемы, при этом целесообразно воспользоваться  методом эквивалентного генератора. Воздействие всех источников сложной электрической цепи на исследуемую ветвь можно заменить воздействием последовательно соединенного эквивалентного генератора с ЭДС Еэкв и внутренним сопротивлением  Rэкв. Эквивалентная ЭДС будет равна  разности потенциалов на зажимах схемы при исключении данной ветви.

Рисунок 1.15 - Суть метода эквивалентного генератора

Эквивалентное сопротивление равно сопротивлению всей схемы при исключении из рассмотрения данной ветви и равенстве нулю всех источников тока и ЭДС. В итоге искомый ток находится следующим образом:

(1.27)

Пример:

Найти ток I₄ в схеме предыдущего примера.

 

Рисунок 1.16 - Исключение ветви с искомым током из схемы

Методом узловых потенциалов запишем решение. Так как узлов всего 2 (1 и 0). Принимаем , матрица будет 1×1, то есть всего одно уравнение:

(1.28)

Отсюда находим :

(1.29)

 

Рисунок 1.17 - Исключение всех источников из схемы

Находим эквивалентное сопротивление  на зажимах 0 и 2. Для этого можно воспользоваться правилом параллельного и последовательного соединений. По закону Ома:

                                                     (1.30)

Если Е=1, то .

Подключаем единичную ЭДС к этим зажимам:

(1.31)

где Δ и Δ₃ - определители системы

Рисунок 1.18 - Реализация метода эквивалентного генератора

Далее находим искомый ток I₄:

33. Анализ электрического состояния цепей с несколькими источниками электрической энергии с помощью законов Кирхгофа.

Применение законов Кирхгофа для описания состояния электрических цепей.

Основными законами, используемыми для анализа и расчёта электрических цепей, являются первый и второй законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в любом узле заряд одного знака не может ни накапливаться, ни убывать. Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:

При этом токи, направленные от узла, следует брать со знаком плюс, а токи, направленные к узлу,- со знаком минус.

Второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю. Изменение потенциала между двумя точками участка цепи характеризуется разностью потенциалов, которую можно измерить вольтметром. В электротехнике разность потенциалов между двумя любыми точками цепи принято называть напряжением. Поэтому согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений всех участков замкнутого контура равна нулю:

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа слагаемые берут со знаком плюс в случае, когда направление обхода контура совпадает с направлением соответственно напряжения, тока или э.д.с., в противном случае берут со знаком минус.

Рекомендуется следующий порядок составления уравнений по законам Кирхгофа: определяют число ветвей, узлов и независимых контуров, устанавливают число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа, остальные уравнения составляют по второму закону Кирхгофа.

Для определения неизвестных токов в ветвях необходимо составить уравнения по первому второму закону Кирхгофа, количество которых должно быть равно количеству неизвестны4х токов. По первому закону Кирхгофа можно составить y-1 независимых уравнений, где y- количество узлов цепи. Использовать все y уравнений невозможно, так как одно из них обязательно будет зависимым.

Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, должно быть равно количеству независимых контуров. Независимым называют контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь.

Если в результате решения этих уравнений получатся отрицательные значения токов, то это означает, что истинные направления токов в ветвях цепи противоположны тем направлениям, для которых составлялись уравнения.

33. Особенности электромагнитных процессов в электрических цепях переменного тока.

Рассматривая конструктивные особенности электромагнитных устройств переменного тока, следует остановиться на электромагнитах, с помощью которых создаются тяговые усилия в различных устройствах. Когда магнитный поток, созданный под действием МДС втягивающей обмотки, падает до нуля, исчезает и тяговое усилие электромагнита. Естественно, что из-за сил тяжести, действия пружин и т. д. якорь стремится отойти (или отходит) от неподвижной части магнитопровода. Когда магнитный поток возрастает, якорь снова притягивается и т. д. В результате возникают колебания якоря, амплитуда которых зависит от частоты и амплитуды напряжения источника, сил сопротивления перемещению и инерционности всех подвижных частей. Колебания якоря сопровождаются значительным шумом, и результате колебаний может нарушиться соединение контактов коммутационных аппаратов и т. д.

Чтобы исключить это, торцевая часть стержней магнитопровода разрезается и часть площади поперечного сечения стержня 1 охватывается короткозамкнутым витком 2 (рис. 6.24). Магнитный поток Ф, созданный под действием МДС намагничивающей обмотки, делится при этом на две части: одна из них Ф' проходит через площадь стержня S', охваченную корот­козамкнутым витком, другая Ф'' — через площадь S''.

Магнитным потоком Ф' в короткозамкнутом витке индуктируется ЭДС взаимной индукции  е_к = - dФ'/dt, под действием которой в витке возникает ток i_к . В результате действия МДС намагничивающей обмотки и короткозамкнутого витка через площадь S' будет проходить результирующий магнитный поток Ф_рез, который отличается от потока Ф' как по значению, так и по фазе. Так как магнитный поток Ф_рез не совпадает по фазе с потоком Ф', он не будет совпадать по фазе и с потоком Ф''. Вследствие этого оказывается, что когда Ф'' = 0, Ф_рез ≠ 0 и наоборот. Таким образом, общий магнитный поток стержня и, следовательно, тяговое усилие никогда не снижаются до нулевого значения, благодаря чему и устраняются указанные выше недостатки.

33. Способы представления электрических величин синусоидальными функциями, временными диаграммами, векторами на комплексной плоскости.

Синусоидальные ЭДС, напряжения и токи можно изображать графически в виде соответствующих синусоид,  такие графики в электротехнике называют волновыми диаграммами (см. рис. 13).

Обычно на  одной волновой диаграмме изображают несколько синусоид переменных величин (напряжений,  токов),  относящихся к одной и той же цепи. Для  оценки их взаимного расположения вдоль оси абсцисс вводится разность их начальных фаз,  называемая фазовым  сдвигом.  Чаще  всего встречается фазовый сдвиг между током и напряжением.

Если , то говорят, что напряжение опережает ток по фазе, принапряжение отстает по фазе от тока, принапряжение и ток совпадают по фазе, а если, то напряжение и ток находятся в противофазе.

Волновые диаграммы не всегда удобны  для  исследования,  особенно при сложных разветвленных цепях. Проще в этом случае изображать  синусоидальные величины вращающимися векторами. Изобразим вращающийся вектор, соответствующий току:

Длина отрезка ОА в принятом масштабе равна амплитуде тока .  Проекция вектора на ось ординат (ОВ) равна мгновенному значению  тока  в момент  времени. При вращении вектора в положительном направлении  (т.е.  против  часовой стрелки) с угловой скоростью    в любой  момент времениего проекция  на ось ординат  будет равна  соответствующему  мгновенному значению тока:

Любой вектор  на  плоскости,  проведенный  из  начала координат и изображающий значение ЭДС, напряжения или тока, однозначно определяется точкой, соответствующей концу этого вектора (точка на рисунке).

Комплексное число (соответствующее точке) имеет  вещественную (ОС) и мнимую (ОВ) составляющие на комплексной плоскости.

Представленная форма   записи  называется  алгебраической  формой комплексного числа.

Кроме алгебраической  существует показательная форма записи комплексного числа:

где - модуль (длина) вектора

- поворотный множитель

 - аргумент,  т.е.  угол, на который повернут вектор в положительном направлении относительно вещественной оси.

Перевод комплексных  чисел из одной формы в другую можно производить по следующим формулам:

;      

 ;        

При сложении  и  вычитании  комплексных чисел удобно пользоваться алгебраической формой записи:

При умножении,  делении, возведении в степень удобно пользоваться показательной формой

Если комплексное число  , то комплексное числоназывается сопряженным комплексным числом.

Синусоидальное ЭДС можно представить комплексным числом:

Для напряжения и тока аналогично.

При расчетах цепей синусоидального тока целесообразно перейти  от гармонических функций  времени к их изображениям в комплексной форме и производить все расчеты, используя комплексные числа. Конечный результат может быть представлен снова в виде синусоидальной функции времени.

 

33. Элементы схем замещения: резистивный , индуктивный, емкостный.

Рассмотрим пассивные элементы цепи, их основные характеристики и параметры. ^ 1. Резистивный элемент (резистор) Условное графическое изображение резистора приведено на рис. 1,а. Резистор – это пассивный элемент, характеризующийся резистивным сопротивлением. Последнее определяется геометрическими размерами тела и свойствами материала: удельным сопротивлением ρ (Ом·м) или обратной величиной – удельной проводимостью (См/м). Здесь См – сименс, единица проводимости (g) в системе СИ. (g=1/ρ = 1/Ом·м =1/Ом · 1/м = См · 1/м = См/м). В простейшем случае проводника длиной и сечением S его сопротивление определяется выражением . В общем случае определение сопротивления связано с расчетом поля в проводящей среде, разделяющей два электрода. Основной характеристикой резистивного элемента является зависимость (или ), называемая вольт-амперной характеристикой (ВАХ). Если зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (см.рис. 1,б), то резистор называется линейным и описывается соотношением  или  , где - проводимость. При этом R=const. Нелинейный резистивный элемент, ВАХ которого нелинейна (рис. 1,б), как будет показано в блоке лекций, посвященных нелинейным цепям, характеризуется несколькими параметрами. В частности безынерционному резистору ставятся в соответствие статическое и дифференциальное сопротивления. ^ 2. Индуктивный элемент (катушка индуктивности) Условное графическое изображение катушки индуктивности приведено на рис. 2,а. Катушка – это пассивный элемент, характеризующийся индуктивностью. Для расчета индуктивности катушки необходимо рассчитать созданное ею магнитное поле. Индуктивность определяется отношением потокосцепления к току, протекающему по виткам катушки,  . В свою очередь потокосцепление равно сумме произведений потока, пронизывающего витки, на число этих витков , где . Основной характеристикой катушки индуктивности является зависимость , называемая вебер-амперной характеристикой. Для линейных катушек индуктивности зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (см. рис. 2,б); при этом . Нелинейные свойства катушки индуктивности (см. кривую на рис. 2,б) определяет наличие у нее сердечника из ферромагнитного материала, для которого зависимость магнитной индукции от напряженности поля нелинейная. Без учета явления магнитного гистерезиса нелинейная катушка характеризуется статической и дифференциальной индуктивностями. ^ 3. Емкостный элемент (конденсатор) Условное графическое изображение конденсатора приведено на рис. 3,а. Конденсатор – это пассивный элемент, характеризующийся емкостью. Для расчета последней необходимо рассчитать электрическое поле в конденсаторе. Емкость определяется отношением заряда q на обкладках конденсатора к напряжению u между ними и зависит от геометрии обкладок и свойств диэлектрика, находящегося между ними. Большинство диэлектриков, используемых на практике, линейны, т.е. у них относительная диэлектрическая проницаемость =const. В этом случае зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, (см. рис. 3,б) и  . У нелинейных диэлектриков (сегнетоэлектриков) диэлектрическая проницаемость является функцией напряженности поля, что обусловливает нелинейность зависимости (рис. 3,б). В этом случае без учета явления электрического гистерезиса нелинейный конденсатор характеризуется статической и дифференциальной емкостями.

33. Активное , реактивное и полное сопротивление двухполюсника.

33. Колебания энергии и мощности в электрических цепях.

Энергия и мощность в электрической цепи. Баланс мощности

В источнике электрической энергии, так же, как и в нагрузке (в резисторах) происходит необратимое преобразование электрической энергии в тепло. Это учитывается внутренним сопротивлением R0 источника ЭДС, показываемого на схеме замещения отдельным резистором, включённым последовательно с ЭДС E.

Работа, совершаемая источником электрической энергии за время t, т.е. работа по разделению зарядов сторонними силами в источнике равна W=E*Q=E*I*t.

В приёмнике электрической энергии при напряжении U и токе расходуется энергия

Wпр=U*Q=U*I*t=I2 *R*t=U2 *t/R.

Мощность P характеризует интенсивность преобразования энергии из одного вида в другую за единицу времени.

Для цепей постоянного тока мощность источника

, (1.1.5)

а мощность приёмника

 (1.1.6)

В системе СИ энергия и мощность измеряются в Джоулях (Дж) и Ваттах (Вт) соответственно.

Для всех величин, введённых выше, применяются кратные и дольные единицы измерения (см. приложение 2).

Энергия часто выражается в киловатт-часах. 1кВт*ч=3,6*106 Дж.

На основании закона сохранения энергии мощность, развиваемая всеми источниками электрической энергии, входящими в электрическую цепь, должна быть равна мощности преобразования электрической энергии в другие виды энергии всеми приёмниками, входящими в эту цепь:

, где (1.1.7)

ΣEiIi – алгебраическая сумма мощностей, развиваемых источниками (Если положительное направление тока через источник ЭДС, то источник ЭДС работает в режиме генератора и произведение E*I>0. Если же направление I и E противоположны, то источник ЭДС потребляет энергию, т.е. работает в режиме приёмника и произведение E*I<0).

ΣRjIj2 – сумма мощностей всех приёмников.

Уравнение (1.1.7) называется уравнением баланса мощности для цепей постоянного тока.

33. Коэффициент мощности и способы его повышения.

33. Векторные диаграммы на комплексной плоскости . Фазовые соотношения между токами и напряжениями.

Сложение и вычитание синусоидальных функций времени на комплексной плоскости. Векторная диаграмма.

Положим, что необходимо сложить два тока  одинаковой частоты. Сумма их дает некоторый ток той же частоты:

Требуется найти амплитуду  и начальную фазу  тока г. С этой целью ток , изобразим на комплексной плоскости (рис. 3.4) вектором  а ток  — вектором  Геометрическая сумма векторов  даст комплексную амплитуду суммарного тока Амплитуда тока  определяется длиной суммарного вектора, а начальная фаза  — углом, образованным этим вектором и осью 

Для определения разности двух токов (ЭДС, напряжений) следует на комплексной плоскости произвести не сложение, а вычитание соответствующих векторов.

Обратим внимание на то, что если бы векторы  стали вращаться вокруг начала координат с угловой скоростью  то взаимное расположение векторов относительно друг друга осталось бы без изменений.

Векторной диаграммой называют совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся функции времени одной и той же частоты и построенных с соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга по фазе.

33. Резонансные явления в электрических цепях. Условия возникновения и практическое значение.

Резонансы в цепях синусоидального тока.

Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость) вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением.

 Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами (резонанс напряжений)

 Для цепи на рис.1 имеет место

где

 (1)

(2)

В зависимости от соотношения величин L и  l/(C) возможны три различных случая.

1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно,

. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 2,а.

 

2. В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит,. Этот случай отражает векторная диаграмма на рис. 2,б.

3. - случай резонанса напряжений (рис. 2,в).

Условие резонанса напряжений

 (3)

При этом, как следует из (1) и (2), .

При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В теоретическом случае при R=0  его величина стремится к бесконечности. Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания.

Пусть, например, в цепи на рис. 1 . Тогда, и, соответственно,.

Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике. Однако, если он возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков.

Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной.

Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных и емкостных элементов. Действительно, в этом случае , и соотношение (3) выполняется для эквивалентных значений L_Э и C_Э .

Как показывает анализ уравнения (3), режима резонанса можно добиться путем изменения параметров L и C, а также частоты. На основании (3) для резонансной частоты можно записать

 (4)

Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве их примера на рис. 3 приведены типовые кривые I(f); идля цепи на рис. 1 при U=const.

Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q, определяемая отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе к входному напряжению:

 (5)

- и характеризующая “избирательные” свойства резонансного контура, в частности его полосу пропускания .

Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление, связанное с добротностью соотношением

 (6)

или с учетом (4) и (5) для можно записать:

.

(7)

 

Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами (резонанс токов)

Для цепи рис. 4 имеем

,

где

 

В зависимости от соотношения величин и, как и в рассмотренном выше случае последовательного соединения элементов, возможны три различных случая.

В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно,. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 5,а.

В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит,. Этот случай иллюстрирует векторная диаграмма на рис. 5,б.

- случай резонанса токов (рис. 5,в).

Условие резонанса токов или

 

При этом, как следует из (8) и (9), . Таким образом, при резонансе токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В частности при отсутствии в цепи на рис. 4 резистора R ее входное сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе цепи минимален.

Идентичность соотношений (3) и (5) указывает, что в обоих случаях резонансная частота определяется соотношением (4). Однако не следует использовать выражение (4) для любой резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов.

При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации или, в общем случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исходить из условия вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цепи.

Например, для цепи на рис. 6 имеем

Поскольку в режиме резонанса мнимая часть должна быть равна нулю, то условие резонанса имеет вид

,

откуда, в частности, находится резонансная частота.

Резонанс в сложной цепи

Условие резонанса для сложной цепи со смешанным соединением нескольких индуктивных и емкостных элементов, заключающееся в равенстве нулю мнимой части входного сопротивления или входной проводимости, определяет наличие у соответствующих этому условию уравнений относительнонескольких вещественных корней, т.е. таким цепям соответствует несколько резонансных частот.

При определении резонансных частот для реактивного двухполюсника аналитическое выражение его входного реактивного сопротивления или входной реактивной проводимостиследует представить в виде отношения двух полиномов по степеням, т.е.или. Тогда корни уравнениядадут значения частот, которые соответствуют резонансам напряжений, а корни уравнения- значения частот, при которых возникают резонансы токов. Общее число резонансных частот в цепи на единицу меньше количества индуктивных и емкостных элементов в схеме, получаемой из исходной путем ее сведения к цепи (с помощью эквивалентных преобразований) с минимальным числом этих элементов. Характерным при этом является тот факт, что режимы резонансов напряжений и токов чередуются.

В качестве примера определим резонансные частоты для цепи рис. 7. Выражение входного сопротивления данной цепи имеет вид

Из решения уравнения получаем частоту, соответствующую резонансу напряжений, а из решения уравнения- частоту, соответствующую резонансу токов.

33. Резонанс напряжений.

Резонанс напряжений - резонанс, происходящий в последовательном колебательном контуре при его подключении к источнику напряжения, частота которого совпадает с собственной частотой контура.