metodichka_excel_2sem от шуваловой 1
.pdf13
Метод простой итерации.
Постановка задачи: Дана система линейных уравнений
7*x1+3*x2-x3+2*x4=5
2*x1-4*x2+x4=3
2*x1-x2+5*x3+x4=4 Найти приближѐнное решение с точностью eps=0,001. -x2+3*x2+х3+6*x4=-1
Документ MS Excel:
14
Выводы: точность eps=0.01 для всех корней выполняется на 12-й итерации,
корни x1=0,872 x2=-0,296 x3=0,379 x4==0,061
Метод Зейделя.
Постановка задачи: Дана система линейных уравнений
7*x1+3*x2-x3+2*x4=5
2*x1-4*x2+x4=3
2*x1-x2+5*x3+x4=4 Найти приближѐнное решение с точностью eps=0,001. -x2+3*x2+х3+6*x4=-1
Документ MS Excel:
15
Выводы: точность eps=0.01 для всех корней выполняется на 5-й итерации,
корни x1=0,876 x2=-0,296 x3=0,378 x4==0,064
Лабораторная работа №3
Аппроксимация и Интерполяции.
Постановка задачи: Дана таблица координат точек {xi,yi}
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
x |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
|
аппроксимировать точки полиномом 1-й и 2-й |
y |
1 |
-1 |
2 |
-2 |
0 |
|
степени; |
|
|
|
|
|
|
|
интерполировать точки (методом неопределѐнных |
коэффициентов) полиномом 1-й и 2-й степени;интерполировать точки (методом Ньютона) полиномом 1-й и 2-й степени;
Таблица
Название метода |
Система для нахождения коэффициентов |
Ответ |
||
|
|
полинома |
|
|
Метод |
|
полином 1-й степени |
P1(x)=a0+a1*x |
|
наименьших |
|
na0 xi a1 |
yi |
|
квадратов |
|
i |
i |
|
(аппроксимация) |
|
|
xi yi |
|
xi a0 xi 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
i |
i |
i |
|
Название метода |
Система для нахождения коэффициентов |
Ответ |
||
|
|
полинома |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
Метод |
|
|
|
полином 2-й степени |
|
|
P2(x)=a0+a1*x+a2*x2 |
|
наименьших |
|
|
|
xi a1 xi2a2 yi |
|
|
||
квадратов |
|
na0 |
|
|
||||
(аппроксимация) |
|
|
|
i |
i |
i |
|
|
|
|
xi a0 |
xi 2a1 xi3a2 xi yi |
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
i |
|
i |
i |
i |
|
|
|
|
2 |
a0 |
3 |
4 |
2 |
yi |
|
|
xi |
xi |
a1 xi a2 xi |
|
||||
|
i |
|
i |
i |
i |
|
|
Документ MS Excel:
Таблица
Название метода |
Система для нахождения коэффициентов |
Ответ |
||||
|
полинома |
|
||||
Метод |
полином 1 степени |
P1(x)=a0+a1*x |
||||
неопределѐнных |
a |
a x |
y |
|
||
коэффициентов |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
(интерполяция) |
a0 |
a1 |
x1 |
y1 |
|
|
полином 2 степени |
P2(x)=a0+a1*x+a2*x2 |
|||||
|
||||||
|
|
|
|
|
17
a0a0
a0
a1x0 a2 x02 y0
a1x1 a2 x12 y1
a1x2 a2 x22 y2
Документ MS Excel:
Пусть задана таблица {xi, yi}. Интерполирование состоит в следующем: строят интерполирующую функцию р(x) , которая принимает в xi (узлы интерполяции) значения yi , т.е. р(xi) = yi. При этом предполагается, что среди узлов xi нет одинаковых. xi – узлы интерполяции.
X |
X0 |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
Y |
Y0 |
Y1 |
Y2 |
Y3 |
Y4 |
Функция р(x) называется в этом случае интерполирующей функцией.
Чаще всего интерполирующую функцию ищут в виде многочлена (полинома). Для любой табличной функции найдется единственный интерполяционный многочлен, степень которого на единицу меньше количества узлов интерполирования. Для поиска коэффициентов аi составляется система из n + 1 уравнения.
Линейная интерполяция
1.Ввести исходные данные –значения Х разместить в 1- ой строке значения Y во второй строке
2.Построить диаграмму по всем точкам (тип диаграммы – точечная)
3.Для построения полинома 1степени P1(x)= a0 +a1x выберем две точки (x0 ,y0) и (x4 ,y4)
4.Добавим ряд из этих точек
5.И построим для этого ряда линейный тренд
Квадратичная интерполяция
1.Ввести исходные данные –значения Х разместить в 1- ой строке значения Y во второй строке
2.Построить диаграмму по всем точкам (тип диаграммы – точечная)
3.Для построения полинома 2 степени P2(x)= a0 + a1x + a2x2 выберем три точки (x0 ,y0), (x2 ,y2) и (x4 ,y4)
4.Добавим ряд из этих точек
5.И построим для этого ряда полиномиальный тренд 2 степени
Кусочно-линейная интерполяция (Метод неопределѐнных коэффициентов)
|
Система для нахождения |
Ответ |
|||||||
коэффициентов полинома на |
|
||||||||
|
|
каждом участке |
|
|
|||||
1-й участок |
|
2-й участок |
|
||||||
a1 a1 x y |
a2 a2 x y |
|
|||||||
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
a10 |
a11 |
x1 |
y1 |
a20 |
a21 x2 |
y2 |
|
||
3-й участок |
|
4-й участок |
|
||||||
a3 |
a3 |
x |
y |
a4 a4 x y |
|
||||
|
1 |
2 |
2 |
|
|||||
0 |
|
0 |
1 |
3 |
3 |
|
|||
a30 |
a31 |
x3 |
y3 a40 |
a41 |
x4 |
y4 |
|
Документ MS Excel:
18
Кусочно-линейная интерполяция
1. |
Ввести исходные данные –значения Х разместить в 1- ой строке значения Y во второй |
||||||
|
строке |
|
|
|
|
|
|
2. |
Построить диаграмму (тип диаграммы – точечная) |
|
|
||||
3. |
При построении создать 4 ряда во вкладке Ряд |
|
|
||||
|
|
|
1-ый ряд |
2-ой ряд |
3-ий ряд |
4-ый ряд |
|
|
|
X |
B1:C1 |
C1:D1 |
D1:E1 |
E1:F1 |
|
|
|
Y |
B2:C2 |
C2:D2 |
D2:E2 |
E2:F2 |
|
4. Для каждого ряда создать линейный тренд и показать уравнение на диаграмме
|
P11(x)еслиX |
0 |
X X1 |
|
|
|
X X 2 |
Записать ответ |
P12(x)еслиX |
1 |
|
P1(x) |
|
X X 3 |
|
|
P13(x)еслиX 2 |
||
|
|
|
X X 4 |
|
P14(x)еслиX 3 |
Кусочно-параболическая интерполяция (Метод неопределѐнных коэффициентов)
Система для нахождения |
Ответ |
|||||||||||||
коэффициентов полинома |
|
|||||||||||||
|
на каждом участке |
|
|
|
||||||||||
1-й участок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a1 a1 x |
0 |
a1 |
2 |
x 2 |
y |
0 |
|
|||||||
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
a11 x1 |
|
|
|
|
2 |
y1 |
|
||||
a10 |
a12 x1 |
|
||||||||||||
a1 a1 x |
2 |
a1 |
2 |
x 2 |
y |
2 |
|
|||||||
|
0 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2-й участок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a2 |
0 |
a2 x |
2 |
a2 |
2 |
x2 |
y |
2 |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
a21 x3 |
a22 x32 y3 |
|
||||||||||
a20 |
|
|||||||||||||
a2 |
0 |
a2 x |
4 |
a2 |
2 |
x2 |
y |
4 |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Документ MS Excel: |
|
|
|
|||
1. |
Ввести исходные данные –значения Х разместить в 1- ой строке значения Y во второй |
|||||
|
строке |
|
|
|
||
2. |
Построить диаграмму (тип диаграммы – точечная) |
|||||
3. |
При построении создать 2 ряда во вкладке Ряд |
|||||
|
|
|
|
1-ый ряд |
2-ой ряд |
|
|
|
X |
|
B1:D1 |
D1:F1 |
|
|
|
Y |
|
B2:D2 |
D2:F2 |
|
4. Для каждого ряда создать полиномиальный тренд и показать уравнение на диаграмме
Записать ответ |
P21(x), еслиX |
0 |
X X 2 |
P2(x) |
|
X X 4 |
|
|
P22(x), еслиX 2 |
19
Лабораторная работа №4
Вычисление определѐнного интеграла
b
Постановка задачи: Вычислить определѐнный интеграл I f (x)
a
hx=(b-a)/n- шаг разбиения, n - количество разбиений. Методами:
метод левых прямоугольников;
метод правых прямоугольников;
метод центральных прямоугольников;
метод трапеций;
метод Симпсона;
Таблица
Название метода |
|
Итерационная формула |
|||
|
|
|
|
|
|
Метод левых прямоугольников |
xi=a+i*hx |
|
|
||
|
i=0..n-1 |
|
|
||
|
n1 |
|
|
||
|
I hx f(xi ) |
|
|
||
|
i 0 |
|
|
||
Метод правых прямоугольников |
xi=a+i*hx |
|
|
||
|
i=1..n |
|
|
||
|
n |
|
|
||
|
I hx f(xi ) |
|
|
||
|
i 1 |
|
|
||
|
|
|
|
||
Название метода |
|
Итерационная формула |
|||
|
|
|
|
|
|
Метод центральных |
xi=a+(i-0,5)*hx |
|
|
||
прямоугольников |
i=1..n |
|
|
||
|
n |
|
|
||
|
I hx f(xi ) |
|
|
||
|
i 1 |
|
|
||
Метод трапеций |
xi=a+i*hx |
|
|
||
|
i=1..n-1 |
|
|
||
|
|
f(a) f(b) |
|
|
n1 |
|
I hx( |
|
|
f(xi )) |
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
i1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Метод Симпсона |
xi=a+i*hx |
|
|
||
|
i=1,3..n-1 |
|
|
||
|
S1 f(xi ) |
|
|
||
|
i |
|
|
||
|
xi=a+i*hx |
|
|
||
|
i=2,4..n-2 |
|
|
||
|
S 2 f(xi ) |
|
|
||
|
i |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
20
I hx3 (f(a) 2 S1 4 S 2 f(b))
Вычислить определенный интеграл |
при n=10 |
Документ MS Excel:
1
21
22