3.6.2 Условие применимости метода квадратных корней

Метод квадратных корней разработан для решения линейных систем с симметричной матрицей коэффициентов.

Система имеет определенное единственное решение, если t_ii≠0(i=1, 2, ...,n), так как тогда

Коэффициенты матрицы Т будут действительны, если t_ii²> 0. В дальнейшем мы, вообще говоря, не будем предполагать это последнее условие выполненным.

Из изложенного ранее следует, что

Т'у = b и Тх=у,

или в раскрытом виде

Отсюда последовательно находим:

Изложенный способ решения линейной системы носит название метода квадратных корней. Так как матрица A— симметрическая, а матрицаT—верхняя треугольная, то в вычислительной схеме можно записывать толькоn/2 (n+ 1) верхних коэффициентов а_ijиt_ij. (j≤i).

Метод применим и в случае комплексных корней.

При практическом применении метода квадратных корней прямым ходом с последовательно вычисляются коэффициенты t_ij и у_i{ (i=1, 2, ...,n), а затем обратным ходом находятся неизвестные х_i(i=n,n— 1, ..., 1).

7. Схема Халецкого

3.7.1 Условия применимости схемы Халецкого

Пусть дана линейная система^[1]c.290-294Ax=B,

где А = [а_ij] — квадратная матрица порядкаn.

Представим матрицу А в виде произведения нижней треугольной матрицы В=[b_ij] и верхней треугольной матрицы С=[с_ij] с единичной диагональю, т. е.

A=BC,

где

и.

3.7.2 Обоснование и вывод формул

Тогда элементы b_ijи с_ijопределяются по формулам

Отсюда искомый вектор х может быть вычислен из цепи уравнений

By=b Cx=y

Так как матрицы В и С—треугольные, то уравнения легко решаются, а именно:

Из формул видно, что коэффициенты y_i выгодно вычислять с коэффициентамиc_ij. Данный метод и получил название схемы Халецкого.

8. Теория погрешностей

3.8.1 Источники и классификация погрешностей результата

Получить точное значение при решении задачи на машине практически невозможно. Получаемое решение всегда содержит погрешность и является приближенным. Источники погрешности^[1]c.17-46:

• Погрешность математической модели

• Погрешность в исходных данных

• Погрешность численного метод.

• Погрешность округления или отбрасывания.

Погрешность математической модели определяется выбором математической модели. Так для описания падения тела с высоты и имеющего скоростьиспользуются уравнения:

при допущении, что тело обладает средней плотностью, значительно превышающей плотность воздуха, а его форма близка к шару. В этом случае можно пренебречь сопротивлением воздуха.

Если учитывать силу сопротивления , действующую на тело массой, тогда движение тела можно описать с помощью уравнений:

Погрешность в исходных данных определяется: погрешностью измерения или погрешностью вычислений, с помощью которых они были получены.

Погрешность численного метода определяется точностью выбранного числено метода и вычислительного средства.

3.8.2 Типы погрешностей

Пусть α* – точное (и никогда неизвестное) значение некоторой величины, а α – приближенное значение этой же величины.

Абсолютной погрешностью приближенного значения αназывается величина:

Относительной погрешностью приближенного значения α называется величина:

Так как точное значение α* как правило, неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:

,

Величины иназывают предельной абсолютной и относительной погрешностью соответственно. В вычислениях вместо абсолютной и относительной погрешностей будем использовать предельные погрешности.

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Значащую цифру называют верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре или верной в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Особенности машинной арифметики

Вещественные числа в ЭВМ представляются в экспоненциальном виде (с плавающей точкой):

, где m - мантисса ,b-основание системы счисления n - порядок

Погрешности вычислений.

2. Абсолютная погрешность суммы или разности нескольких чисел не превосходит суммы абсолютных погрешностей этих чисел.

3. Относительная погрешность суммы:

4. Относительная погрешность разности:

5. Относительные погрешности произведения и частного:

6. Абсолютная погрешность дифференцируемой функции многих переменных:

Обусловленность будем определять как отношение

Задачи с большим отношением называют плохо обусловленными, иначе - хорошо обусловленными. Плохо обусловленные задачи лучше не решать, а подумать над другим способом представления модели, выбрать иной метод или изменить алгоритм . Часто это возможно.

Способ записи формулы влияет на точность результата.