-
Понятие модуля. Решение простейших уравнений и неравенств с неизвестным под знаком модуля.
Модуль и его свойства.
1. Определение модуля числа:
.
2. Геометрически есть расстояние от точки числовой оси до начала отсчета – точки
.
3. есть расстояние между точками и числовой оси.
4. Модуль произведения, частного и степени.
.
5. .
Уравнения, содержащие знак модуля.
Уравнения, содержащие знак модуля, можно условно классифицировать по видам, в зависимости от расположения знака модуля. Рассмотрим некоторые виды таких уравнений и методы их решения.
-
Уравнения вида . Наиболее рациональный путь решения – переход к совокупности
-
Уравнения вида можно двумя способами заменить равносильными условиями: 1)
2)
Выбор способа замены зависит от того, какое из неравенств или решить легче.
-
Уравнения вида . Их решение состоит в возведении обеих частей уравнения в квадрат, так как по свойству модуля . Тогда
-
Уравнения вида . Уравнения этого вида можно решать, используя замену .
Пример. Решить уравнение
Решение: Исходное уравнение равносильно совокупности:
Решая эти уравнения, получим корни .
Ответ: .
Пример. Решить уравнение
Решение: Данное уравнение равносильно системе:
.
Решая эти уравнения, получим корни . Выберем из них те, которые удовлетворяют условию .
Ответ: .
Пример. Решить уравнение
Решение: Поскольку в уравнении функция, стоящая под знаком модуля, проще, то лучше записать уравнение, как совокупность двух систем:
.
Уравнение из первой системы совокупности корней не имеет. Решая уравнение, находим, что
Ответ:
Пример. Решить уравнение
Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат:
Ответ:
Пример. Решить уравнение
Решение: Так как , данное уравнение примет вид:
Сделаем замену: получим новое уравнение: , которое имеет два положительных корня . Значит, , откуда .
Ответ:
Дополнительные задачи:
1. Решите уравнение .
Решение: .
Ответ: .
2. Найти сумму целых решений уравнения .
Решение: .
Целое решение только одно: 4, поэтому сумма решений равна значению единственного целочисленного решения: 4.
Ответ: .
3. Найти сумму всех корней уравнения .
Решение:
Сумма корней равна .
Ответ:.
4. Решите уравнение .
Решение:
.
Ответ:.
5. Решите уравнение .
Решение: заметим, что , решим уравнение:
.
Ответ:.
6. Укажите наибольший корень уравнения .
Решение: Расставим знаки выражений, стоящих под знаком модуля, на промежутках:
Теперь легко раскрыть модули и получить соответствующие уравнения на промежутках:
1) .
2)
3) .
Отсюда следует, что наибольшим корнем является число 2.
Ответ:.
7. Решите уравнение .
Ответ:.
Для самостоятельного решения:
Решить уравнения:
Неравенства, содержащие знак модуля.
Перечислим некоторые частные случаи неравенств, содержащих знак модуля, и рассмотрим методы их решения.
-
Неравенство вида , где и - некоторые функции, равносильно системе
В частности, неравенство при любом равносильно системе:
или
При неравенство не имеет решений.
-
Неравенство вида , где и - некоторые функции, равносильно совокупности:
В частности, неравенство равносильно совокупности:
При неравенство выполняется для всех при которых функция имеет смысл.
-
Неравенство вида равносильно неравенству . Преобразуя последнее неравенство, получим:
,
которое решается методом интервалов.
-
Неравенство вида можно решать, используя замену .
Пример. Решить неравенство
Решение: Запишем систему, равносильную исходному неравенству:
Ответ: .
Пример. Решить неравенство
Решение: Запишем систему, равносильную исходному неравенству:
Ответ: .
Пример. Решить неравенство .
Решение: Приведем исходное неравенство к виду :
Перейдем к равносильной системе:
,
Имеем:
Решение первого неравенства системы является любое , а решением второго является или
Ответ: .