Тема 6: Основные принципы функционального анализа

V3

L(X, Y)= {A : X → Y | A – линейный непрерывный оператор , D(A)=X } совокупность всех линейных непрерывных операторов из Х в Y ( Х , Y – линейные нормированные пространства) -

1

Линейное

1

Нормированное пространство

1

банахово пространство, если Y – банахово

0

Не полное

0

рефлексивное

0

сепарабельное

0

Не линейное

0

гильбертово

V3

Основные принципы функционального анализа

1

Принцип равномерной ограниченности – теорема Банаха-Штейнгауза

1

Принцип открытости отображения – теорема Банаха

1

Принцип продолжения функционала без увеличения нормы – теорема Хана- Банаха

0

Теорема о вложенных шарах

0

Принцип сжимающих отображений

0

Принцип двойственности

0

Теорема Бэра о категориях

0

Теорема Рисса

V3

A : X → Y замкнутый линейный оператор

1

Если x_n D(A ) , x_n → x, а Ax_n → y, то x D(A ) и y = Ax.

1

Его график {x, Ax } является замкнутым множеством в X× Y

1

Если A^-1 существует, то A^-1 также замкнут

0

сопряженный

0

неограниченный

0

Если A^-1 существует, то A^-1 не замкнут

0

Вполне непрерывный

0

Его график {x, Ax } является открытым множеством в X× Y

V3

Если X* сопряженное пространство, то оно

1

банахово

1

состоит из линейных непрерывных функционалов, определенных на Х

1

Линейное нормированное

0

конечномерное

0

Не полное

0

В нем отсутствует метрика

0

В нем отсутствует норма

0

самосопряженное

V3

A^* - cопряженный оператор к линейному непрерывному оператору

A : X → Y

1

< Ax, f > = < x, A* f >, xD(A),fY*

1

замкнутый линейный оператор

1

|| A * || = || A ||

0

неограниченный оператор

0

самосопряженный

0

|| A * || < || A ||

0

|| A * || > || A ||

0

Нелинейный оператор

V3

A : X → Y вполне непрерывный (компактный) оператор

1

Любое ограниченное в Х множество он переводит в множество предкомпактное в Y

1

A^* - вполне непрерывен

1

Замкнутый единичный шар пространства Х он переводит в предкомпактное множество пространства Y

0

А - непрерывный

0

А- ограничен

0

А - замкнутый

0

А - единичный

0

А - самосопряженный

V3

A : X → Y линейный оператор, где X, Y – банаховы пространства переводит любую

1

сходящуюся последовательность x_n X в сходящую последовательность Ax_n Y

1

Cлабо сходящуюся последовательность x_n X в слабо сходящую последовательность Ax_n Y

1

сходящуюся последовательность x_n X в слабо сходящую последовательность Ax_n Y

0

Cлабо сходящуюся последовательность x_n X в сходящую последовательность Ax_n Y

0

сходящуюся последовательность x_n X в расходящуюся последовательность Ax_n Y

0

Ограниченную последовательность x_n X в неограниченную последовательность Ax_n Y

0

неограниченную последовательность x_n X в неограниченную последовательность Ax_n Y

0

неограниченную последовательность x_n X в ограниченную последовательность Ax_n Y

V3

A : X → Y вполне непрерывный (компактный) оператор

1

Любое ограниченное в Х множество он переводит в множество предкомпактное в Y

1

Предел последовательности конечномерных операторов

1

переводит любую слабо сходящуюся последовательность x_n X в сходящую последовательность Ax_n Y

0

А - непрерывный

0

А- ограничен

0

А - замкнутый

0

А -единичный

0

А - самосопряженный

V3

A : X → Y вполне непрерывный (компактный) оператор

1

Оператор Фредгольма

1

Предел последовательности вполне непрерывных операторов

1

Сопряженный оператор к вполне непрерывному оператору

0

неограниченный оператор

0

разрывный оператор

0

Единичный (тождественный) оператор

0

Обратный оператор

0

Самосопряженный

V3

A : X → Y замкнутый линейный оператор ( X, Y – банаховы пространства)

1

Если x_n D(A ) , x_n → x, а Ax_n → y, то x D(A ) и y = Ax.

1

Его график {x, Ax } является замкнутым множеством в X× Y

1

с областью определения D(A ) замкнутой в Х ограничен

0

сопряженный

0

неограниченный

0

Если A^-1 существует, то A^-1 не замкнут

0

Вполне непрерывный

0

Его график {x, Ax } является открытым множеством в X× Y

V3

A : X → Y замкнутый линейный оператор ( X, Y – банаховы пространства)

1

Если x_n D(A ) , x_n → x, а Ax_n → y, то x D(A ) и y = Ax.

1

с D(A )= Х непрерывен

1

с D(A )= Х ограничен

0

сопряженный

0

неограниченный

0

Если A^-1 существует, то A^-1 не замкнут

0

Вполне непрерывный

0

Его график {x, Ax } является открытым множеством в X× Y

V3

Оператор A : X → Y обратимый линейный оператор

1

Если существует оператор B : Y → X такой, что BA = I, AB = I

1

Отображение A : X → Y является взаимно однозначным

1

Ядро оператора А равно нулю : N(A)= { 0 }

0

Ядро оператора А не равно нулю

0

Если существует оператор B : Y → X такой, что BA =AB

0

Если существует оператор B : Y → X такой, что BA = C

0

Отображение A : X → Y не является взаимно однозначным

0

А вполне непрерывный