- •Тема 1 : Метрические и топологические пространства
- •Тема 2: Линейные нормированные пространства
- •Тема 3: Гильбертовы пространства
- •Тема 4 : Компактность
- •Тема 5: Линейные операторы и функционалы
- •Тема 6: Основные принципы функционального анализа
- •Тема 7 : Сопряженное и второе сопряженное пространство
- •Тема 8: Элементы спектральной теории
Тема 3: Гильбертовы пространства
Вопрос № 23
V3 |
Если (x , y) : H×H → R1 скалярное произведение, то для любых x,y,z X, любого λ R1 выполнена аксиома скалярного произведения: |
1 |
(x,y) = (y,x) |
1 |
(λx, y) = λ(x, y) |
1 |
( x + y,z) =( x, z) + (y , z) |
0 |
(x, x) < 0 |
0 |
(x,y) = - (y,x) |
0 |
( x + y,z) > ( x, z) + (y , z) |
0 |
( x + y,z) < ( x, z) + (y , z) |
0 |
(x,y) > 0 |
Вопрос № 24
V3 |
Если х , у ортогональные элементы, то |
1 |
(х, у) = 0 |
1 |
Элементы х, у линейно независимы |
1 |
|| x ||2 + || y ||2 = || x + y ||2 |
0 |
|| x ||2 + || y ||2 > || x + y ||2 |
0 |
|| x ||2 + || y ||2 < || x + y ||2 |
0 |
Найдется λ≠ 0 такой, что у =λ х |
0 |
Для любого λ≠ 0 верно у =λ х |
0 |
Элементы х и у линейно зависимы |
Вопрос № 25
V3 |
Ортонормированная система векторов - |
1 |
Линейно независимая система |
1 |
Норма любого элемента равна 1 |
1 |
ортогональна |
0 |
Линейно зависимая система |
0 |
Полная |
0 |
замкнутая |
0 |
Не ортогональная |
0 |
Норма любого элемента больше 1 |
Вопрос № 26
V3 |
Свойство скалярного произведения в евклидовом пространстве H |
1 |
Непрерывность скалярного произведения: xn → x , yn →y при n → ∞, тогда (xn ,yn)→(x,y) при n → ∞ |
1 |
| (x, y) | ≤ || x || ∙ || y|| , x , yH |
1 |
|| x || = ,xH |
0 |
x , y H : | (x, y) | > || x || ∙ || y|| |
0 |
|| x || = (x, x) |
0 |
(x, y) =0 , x , yH |
0 |
xn → x , yn →y при n → ∞, тогда (xn ,yn ) не сходится к (x,y) |
0 |
xn → x , yn →y при n → ∞, тогда (xn ,x) → (yn , y ) |
Вопрос № 27
V3 |
Скалярное произведение (x, y) = |
1 |
в пространстве Em |
1 |
в пространстве |
1 |
в пространстве L2[a; b] |
0 |
в пространстве Em |
0 |
в пространстве |
0 |
в пространстве L2[a; b] |
0 |
в пространстве Em |
0 |
в пространстве L2[a; b] |
Вопрос № 28
V3 |
Скалярное произведение векторов x =(1, 0, 0, …) и y =(0, 1, 0,0,…) в гильбертовом пространстве принадлежит промежутку |
1 |
[-1/2; 1/2] |
1 |
[0; 2] |
1 |
[0; 1] |
0 |
[2; 4] |
0 |
[6; 3] |
0 |
[10; 17] |
0 |
[25; 30] |
0 |
[-4; -3] |
Вопрос № 29
V3 |
Скалярное произведение векторов x =(1, 0, 0, …) и y =(-1, 0,0,…) в гильбертовом пространстве принадлежит промежутку |
1 |
[-2; 2] |
1 |
[-3; 0] |
1 |
[-1; 1] |
0 |
[2; 4] |
0 |
[6; 3] |
0 |
[10; 17] |
0 |
[25; 30] |
0 |
[-4; -3] |
Вопрос № 30
V3 |
Скалярное произведение векторов x =(1, -1, 0, 0,0, …) и y =(-1, 1, 0,0,0,0…) в гильбертовом пространстве принадлежит промежутку |
1 |
[-2; 2] |
1 |
[-4;-1] |
1 |
[-3; 3] |
0 |
[2; 4] |
0 |
[6; 3] |
0 |
[10; 17] |
0 |
[25; 30] |
0 |
[-14; -10] |
Вопрос № 31
V3 |
Скалярное произведение векторов x =(1, 1/2, 0,0, …) и y =(0, 1, 0,0,…) в пространстве принадлежит промежутку |
1 |
[-1/2; 1/2] |
1 |
[0; 2] |
1 |
[0; 1] |
0 |
[2; 4] |
0 |
[6; 3] |
0 |
[10; 17] |
0 |
[25; 30] |
0 |
[-4; -3] |
Вопрос № 32
V3 |
Скалярное произведение векторов x =(-5, 0, 0, …) и y =(1, 0, 0,0,…) в гильбертовом пространстве принадлежит промежутку |
1 |
[-5; 0] |
1 |
[-10; 2] |
1 |
[-7; 7] |
0 |
[2; 4] |
0 |
[6; 3] |
0 |
[10; 17] |
0 |
[25; 30] |
0 |
[-4; -3] |
Вопрос № 33
V3 |
Скалярное произведение векторов x =(-8, 0, 0, …) и y =(-2, 0,0,0…) в гильбертовом пространстве принадлежит промежутку |
1 |
[-16; 16] |
1 |
[0; 20] |
1 |
[-1; 17] |
0 |
[2; 4] |
0 |
[6; 3] |
0 |
[10; 15] |
0 |
[25; 30] |
0 |
[-4; -3] |
Вопрос № 34
V3 |
Замкнутая система {φk } в сепарабельном евклидовом пространстве H |
1 |
Удовлетворяет равенству Парсеваля |
1 |
Полная ортогональная нормированная система |
1 |
Для любого f H верно = ||f || , где ck = (f, φk) |
0 |
Для любого f H верно > ||f || , где ck R1 |
0 |
f H ,что < || f || , где ck R1 |
0 |
Имеет мощность континуума |
0 |
Не ортогональная |
0 |
Не полная ортогональная система |