1) ; 2).

Задача 35. Даны точки ,,,. Проверить, что векторы,коллинеарные, установить какой из них длиннее и во сколько раз, как они направленыв одну или в противоположные стороны.

Задача 36. Найти единичный вектор , параллельный вектору.

Скалярное произведение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов иназывается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то скалярное произведение, по определению, полагается равным нулю. Обозначаетсяили.

Из определения

.

Так как ,, то

.

Свойства скалярного произведения

1. .

2. .

3. .

4. .

5. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны (ортогональны).

Скалярное произведение в ПДСК

Если известны координаты двух векторов в ПДСК и, то

. (7)

Отсюда следует необходимое и достаточное условие ортогональности векторов:

.

Угол между векторами ивычисляется по формуле

. (8)

Задача 37. Определить углы треугольника с вершинами,,.

Решение. Определим угол при вершине . Он образован векторамии(Рис.7).

По формуле (8)

.

Найдём координаты указанных векторов по формуле (5). Получим

,

.

Вычислим длины векторови, используя формулу (6):

, .

Вычислим скалярное произведение векторов , используя формулу (7)

.

Так как скалярное произведение равно нулю, то векторы иортогональны и треугольник прямоугольный. Следовательно, . Так как , то треугольник равнобедренный. Значит,.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 38. Вычислить , если:

1) и;

2) и.

Задача 39. Определить при каком значении векторыиортогональны, если:

1) и;

2) и.

Задача 40. Вычислить косинус угла, образованного векторами и, если:

1) и;

2) и.

Задача 41. Найти и, если:

1) и;

2) и.

Задача 42. Даны вершины треугольника . Определить угол при вершинеесли:

1) ,,;

2) ,,.

Векторное произведение.

Пусть задана тройка векторов . Будем называть еёупорядоченной, если указано, какой из векторов считать первым, какой вторым, какой третьим.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу, из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка левая.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, удовлетворяющий следующими трём условиям:

1) , гдеугол между векторамии;

2) и;

3) векторы образуют правую тройку.

Обозначается векторное произведение

Свойства векторного произведения

1. Векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

2. Модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах:

. (9)

3. .

4. .

5.

Векторное произведение в ПДСК

Если векторы и, то векторное произведение вычисляется по формуле:

. (10)

Задача 43. Вычислить площадь треугольника , если,,и найти длину высоты треугольника, которая опущена из вершины.

Решение. Найдём координаты векторов ,и(см. (5)):

, ,

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторахи. Найдём площадь параллелограмма по формуле (9). Для этого вычислим векторное произведение этих векторов, используя формулу (10):

.

Следовательно,

.

Из школьного курса геометрии известно, что, , гдевысота треугольника,длина стороны, на которую опущена высота. Следовательно,

.

Тогда

.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 44. Упростить:

1) ;

2) ;

3). .

Задача 45. Найти векторное произведение , если:

1) и;

2) и.

Задача 46. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и, если:

1) и;

2) и.

Задача 47. Вычислить площадь треугольника , если:

1) ,,;

2) ,,.

Задача 48. Даны вершины треугольника . Найти длину его высоты, которая опущена из вершиныесли:

1) ,,;

2) ,,.

Задача 49* . Вектор , ортогональный к векторами, образует с осьютупой угол. Зная, что, найти его координаты.

Задача 50^* . Вектор , перпендикулярный к осии к вектору, образует с осьюострый угол. Зная, что, найти его координаты.

Задача 51^*.Найти вектор , зная, что он перпендикулярен к векторамии удовлетворяет условию

Смешанное произведение трёх векторов.

Смешанным произведением трёх векторов называется произведение вида , где векторное произведение первых двух векторов умножается скалярно на третий вектор. Обозначается

.

Смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах, взятому со знаком «+», если тройка правая, со знаком «» если тройка левая.

Если векторы компланарные, то.

Смешанное произведение в ПДСК

Если известны координаты векторов ,,, то смешанное произведение вычисляется по формуле

.

Объём параллелепипеда, построенного на векторах равен

.

Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах равен

.

Задача 52. Даны вершины треугольной пирамиды ,,,. Найти длину её высоты, которая опущена на грань(Рис. 8).

Решение. Рассмотрим векторы ,,, на которых построена треугольная пирамида. Найдём их координаты:

, ,.

Из школьного курса геометрии известна формула объёма пирамиды:

.

В основании лежит треугольник , его площадь

.

Следовательно,

.

С другой стороны,

.

Тогда

.

Вычислим смешанное произведение:

.

Вычислим векторное произведение:

.

Далее, найдём модуль этого векторного произведения:

.

Тогда высота пирамиды

.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 53. Вычислить , если

1) ,,;

2) ,,.

Задача 54. Установить, компланарны ли векторы , если:

1) ,,;

2) ,,.

Задача 55. Доказать, что точки лежат в одной плоскости, если:

1) ,,,;

2) ,,,.

Задача 56. Вычислить объём пирамиды , если:

1) ,,,;

2) ,,,.

Задача 57. Найти длину высоты пирамиды , которая опущена на грань, если:

1) ,,,;

2) ,,,.

Задача 58. Объём тетраэдра . Три его вершины находятся в точках,,. Найти координаты четвертой вершины, если известно, что она лежит на оси.