1.3. Матрицы

Матрицей размера называется системачисел, расположенных в прямоугольной таблице изт строк истолбцов:

.

Элемент матрицы, стоящий на пересечении ой строки иого столбца, будем обозначать. Тогда.

Частные случаи матриц.

1. Если , матрица называетсяквадратной и го порядка.

2. Если , матрица называетсяпрямоугольной.

3. Если все , матрица называетсянулевой.

4. Квадратная матрица называетсядиагональной.

5. Диагональная матрица вида называетсяединичной.

Каждой квадратной матрице соответствует определитель, составленный из элементов этой матрицы.

Две матрицы иназываютсяравными, если они имеют одинаковую размерность и равны их соответствующие элементы:

.

Суммой двух матриц иодного размераназывается матрицатакого же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов слагаемых матриц:

.

Произведением матрицы на число называется матрицатого же размера, все элементы которой равны произведению соответствующих элементов матрицына число:

.

Свойства операций:

,	,
,	,
	(матрица).

Две матрицы иможно умножить друг на друга тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы, стоящей первым множителем, равно числу строк матрицы, стоящей вторым множителем.

Произведением матрицы на матрицуназывается матрица, имеющаястрок истолбцов, каждый элемент которойравен сумме произведений элементовой строки матрицына соответствующие элементыого столбца матрицы:

.

Свойства операций:

,	,
,	.

Ранг матрицы это наивысший порядок отличного от нуля минора, который можно построить из элементов данной матрицы.

Ясно, что если матрица имеет размер , то.

Если , то матрица называетсянеособой, в противном случае матрица называется особой или вырожденной.

Квадратная матрица порядка будет невырожденной, если её определитель отличен от нуля.

Пусть квадратная невырожденная матрица порядка.

Обратной для матрицы называется матрицапорядка, для которой

.

Заметим, что , поэтому матрицыиназываютсявзаимообратными.

Для невырожденной матрицы обратная матрица будет иметь вид:

. (4)

1.4. Решение систем линейных уравнений в матричной форме

Пусть задана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

Введём обозначения ,,. Тогда систему

можно записать в матричном виде:

.

Пусть определитель матрицы не равен нулю (). Следовательно, существует обратная матрица. Тогда решение системы имеет вид

.

Задача 7. Вычислить и, если

, .

Решение. Матрицы имеют размер . Это означает, что произведение матриц можно вычислить и результат также будет матрицей.

.

.

Задача 8. Найти ранг матрицы .

Решение. Первый способ. Вычислим ранг матрицы по определению: найдём наивысший порядок минора, отличного от нуля.

Найдём хотя бы один минор второго порядка отличный от нуля. Например, минор второго порядка .

Найдём хотя бы один минор третьего порядка отличный от нуля.

, ,,.

Все миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, наивысший порядок минора, отличного от нуля, равен 2. Это означает, что ранг данной матрицы равен 2.

Второй способ. Следующие элементарные преобразования не меняют ранга матрицы:

1) умножение строки или столбца на число не равное нулю;

2) прибавление строки или столбца к другой строчке или столбцу;

3) вычёркивание нулевой строки или столбца.

Выполним следующие преобразования матрицы:

1) разделим третью строку на 2:

;

2) прибавим к третьей строке первую:

;

3) вычеркнем третью нулевую строку:

.

Отсюда видно, что наивысший порядок минора отличного от нуля равен двум, и, следовательно, ранг данной матрицы равен 2.

Задача 9. Решить систему уравнений в матричной форме

Решение. Перепишем систему в матричном виде , где

, ,.

Решение матричного уравнения имеет вид:

.

Найдём обратную матрицу . Для этого вычислим определитель матрицы:

.

Далее, вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

,	,	,
,
		.

Таким образом, по формуле (4) обратная матрица имеет вид:

.

Тогда

Следовательно, ,,.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 10. Вычислить: