Lysenko_physics_lek_2[1]

відстанню від джерела за законом 1/ r (це буде показано далі). Отже, рівняння сферичної хвилі має вигляд

§ 37 Хвильове рівняння. Фазова швидкість поширення хвиль у твердому тілі й газі [5]

1 Хвильовим рівнянням називається лінійне однорідне диференціальне рівняння у частинних похідних, що описує поширення хвиль у середовищі або у вакуумі. Знайдемо вигляд цього рівняння, виходячи з рівняння плоскої гармонічної хвилі

Сума похідних за координатами

відрізняється від похідної за часом множником k2 / ω2 , що дорівнює 1/ υ2 . Отже,

∂2ξ + ∂2ξ + ∂2ξ = 1 ∂2ξ . dx2 dy2 dz2 υ2 dt2

Це і є хвильове рівняння. Його можна написати у вигляді

Зазначимо, що для плоскої хвилі, що поширюється вздовж осі X , хвильове рівняння має вигляд

Незважаючи на те що ми одержали рівняння (37.2), виходячи з функції, яка описує плоску гармонічну хвилю, це рівняння описує й хвилі іншого вигляду. Наприклад, легко переконатися у тому, що будь-яка функція типу

задовольняє хвильове рівняння (37.2).

Також можна стверджувати: будь-яка функція, що задовольняє рівняння типу (37.2), описує деяку хвилю, причому корінь квадратний з величини, обернений коефіцієнту при

∂2ξ / dt2 , дає фазову швидкість цієї хвилі.

2 Використовуючи вищесформульовану властивість можна отримати вирази для швидкості хвиль у різних середовищах.

81

Фазова швидкість поздовжньої пружної хвилі визначається співвідношенням

де ρ – густина речовини; E – модуль Юнга цієї речовини.

Фазова швидкість поперечної пружної хвилі має вигляд

де G – модуль зсуву.

Швидкість поширення звукових хвиль описується такою формулою:

§ 38 Густина енергії пружної хвилі [5]

1 Отримаємо співвідношення для відносної деформації стержня ε . Розглянемо циліндричний стержень із однорідного й ізотропного матеріалу. Припустимо, що вздовж стержня поширюється плоска гармонічна хвиля. У цьому випадку частинки, що лежать у поперечному перерізі стержня, який визначається координатою x , будуть мати зміщення ξ ,

що визначається функцією

де ε – відносне видовження, а V – об'єм стержня. 82

Звідси знаходимо, що у деформованому стані стержень має густину потенціальної енергії (потенціальна енергія одиниці об'єму)

3 Знайдемо густину енергії хвилі, що поширюється у стержні. Виділимо в середовищі елементарний об'єм V , настільки малий, щоб швидкість руху й деформацію у всіх його точках можна було вважати однаковими й такими, що дорівнюють відповідно ∂ξ / ∂t й ∂ξ / ∂x (див. (38.2)). Виділений об'єм має кінетичну енергію

( ρ V – маса об'єму; ∂ξ / ∂t – його швидкість).

Розглянутий об'єм має також потенціальну енергію пружної деформації (див. (38.3):

( ε = ∂ξ / ∂x – відносна деформація об'єму; E – модуль Юнга середовища). Фазова швидкість поширення пружної хвилі у стержні визначається співвідношенням u = E / r . Виразимо модуль Юнга з цього співвідношення E = ru2 (ρ – густина середовища). Тоді вираз для

Диференціювання рівняння (38.1) один раз за t , інший раз за x дає

¶x / ¶t = -Awsin(wt - kx + a), ¶x / ¶x = Ak sin(wt - kx + a).

Підставивши ці вирази у формулу (38.6) і врахувавши, що k2u2 = w2 , отримуємо густину енергії, що виникає в пружному середовищі при поширенні в ній плоскої поздовжньої хвилі:

Можна показати, що для поперечної хвилі густина енергії визначається такою ж формулою, як і для поздовжньої. У випадку хвильових поверхонь будь-якої форми в межах малого об'єму хвилю можна приблизно вважати плоскою. Отже, вираз (38.7) є правильним для гармонічних хвиль будь-якого вигляду (сферичних, циліндричних і т.п.). Цей вираз є правильним також і для загасаючих хвиль.

З (38.7) випливає, що густина енергії в кожний момент часу в різних точках простору різна. В одній і тій самій точці густина енергії змінюється з часом за законом квадрата синуса. Середнє значення квадрата синуса дорівнює 1/2. Відповідно середнє за часом значення густини енергії в даній точці середовища дорівнює

83

називають звуковими хвилями, або просто звуком. Пружні хвилі із частотами, меншими 16 Гц, називаються інфразвуком, а із частотами, що перевищують 20000 Гц, – ультразвуком. Інфрата ультразвуки людське вухо не чує.

Люди розрізняють звуки за висотою, тембром та гучністю. Кожній із цих суб'єктивних оцінок відповідає певна фізична характеристика звукової хвилі.

Будь-який реальний звук є накладенням гармонічних коливань із певним набором частот. Цей набір називається акустичним спектром звуку. Якщо у звуці присутні коливання всіх частот, які перебувають у деякому інтервалі від ν′ до ν′′ , то спектр називається суцільним. Якщо звук складається з коливань дискретних частот ν1, ν2 , ν3 і т.д.,

то спектр називається лінійчастим. Суцільний акустичний спектр мають шуми. Коливання з лінійчастим спектром викликають відчуття звуку з більш-менш певною висотою. Такий звук називається тональним.

Висота тонального звуку визначається основною (найменшою) частотою. Відносна інтенсивність обертонів (тобто коливань із частотами ν2 , ν3 й т.д.) визначає забарвлення,

або тембр звуку. Різний спектральний склад звуків, які створюються різними музичними інструментами, дозволяє відрізнити на слух, наприклад, флейту від скрипки або рояля.

відчуття (див. рис. 40.1; дані, які наведені на цьому рисунку, стосуються середнього нормального слуху).

Суб'єктивно оцінювана гучність звуку зростає набагато повільніше, ніж інтенсивність звукових хвиль. При зростанні інтенсивності в геометричній прогресії гучність зростає приблизно в арифметичній прогресії, тобто лінійно. Тому рівень гучності L визначається як

Вихідну інтенсивність I0 беруть такою, що дорівнює 10-12 Вт/м2, так що поріг чутності при частоті порядку 1000 Гц перебуває на нульовому рівні (L = 0) .

Одиниця рівня гучності, що визначається формулою (40.1), називається белом (Б). Зазвичай користуються в 10 разів меншою одиницею – децибелом (дБ). Значення L у децибелах визначається за формулою

86

За допомогою цієї формули можна виразити в децибелах зменшення інтенсивності (загасання) хвилі на деякому шляху. Наприклад, загасання в 20 дБ означає, що інтенсивність зменшується в 100 разів.

Діапазон інтенсивностей, при яких хвиля викликає в людському вусі звукове відчуття (від 10-12 до 10 Вт/м2), відповідає значенням рівня гучності від 0 до 130 дБ. Нижче наведені орієнтовні значення рівня гучності для деяких звуків:

2 Ефект Допплера для звукових хвиль. Назвемо приймачем пристрій, який здатний сприймати звукові коливання середовища. Якщо джерело і приймач нерухомі відносно середовища, у якій поширюється хвиля, то частота коливань, яка сприймається приймачем, дорівнює частоті n0 коливань джерела. Якщо ж джерело або приймач або вони обоє

рухаються, то частота ν , яка сприймається приймачем, може виявитися відмінною від n0 .

Це явище називається ефектом Допплера.

Припустимо, що джерело і приймач рухаються вздовж прямої, яка їх з’єднує. Швидкість джерела uдж будемо вважати додатною, якщо воно рухається в напрямку до приймача, і від’ємною, якщо воно рухається в напрямку від приймача. Аналогічно швидкість приймача uпр будемо вважати додатною, якщо він рухається в напрямку до джерела, і

від’ємною, якщо він рухається в напрямку від джерела.

Розглянемо процеси поширення хвилі за час Dt . Якщо джерело нерухоме й коливається із частотою n0 , то до моменту закінчення проміжку часу Dt , коли він буде

завершувати n0 ×Dt коливання, яке створене першим коливанням, «гребінь» хвилі встигне

u×Dt . Якщо ж джерело рухається відносно середовища зі швидкістю uдж , то в момент, коли джерело буде завершувати n0 ×Dt коливання, «гребінь», створений першим коливанням, буде знаходитись від джерела на відстані u - uдж (рис. 40.2). Отже, n0 ×Dt «гребенів» і «впадин» хвилі вкладуться на відрізку (u - uдж ) ×Dt . Тому довжина хвилі (довжина, яка припадає у середньому на один «гребінь» або «впадину») буде дорівнювати

Через нерухомий приймач за час Dt пройдуть «гребені» і «впадини», що укладаються на довжині u×Dt . Якщо приймач рухається зі швидкістю uпр , то наприкінці проміжку часу

87

зокрема порушується пропорційність між деформацією й напругою у середовищі (порушується закон Гука).

Якщо коливання, які обумовлені окремими хвилями в кожній із точок середовища, мають постійну різницю фаз, то хвилі називаються когерентними. При додаванні когерентних хвиль виникає явище інтерференції, що полягає в тому, що коливання в одних точках підсилюють, а в інших точках послабляють одна одну.

Важливий випадок інтерференції спостерігається при накладенні двох зустрічних плоских хвиль із однаковою амплітудою. Коливальний процес, що виникає у результаті цього,

називається стоячою хвилею.

2 Знайдемо рівняння стоячої хвилі. Напишемо рівняння двох плоских хвиль, що

З рівняння (41.2) видно, що в кожній точці стоячої хвилі відбуваються гармонічні коливання тієї самої частоти, що й у зустрічних хвиль, причому амплітуда залежить від x :

амплiтуда = 2Acos 2p lx .

У точках, координати яких задовольняють умову

амплітуда коливань максимальна. Ці точки називаються пучностями стоячої хвилі. З (41.3) знаходимо значення координат пучностей:

амплітуда дорівнює нулю. Ці точки називаються вузлами стоячої хвилі. Точки середовища, що містяться у вузлах, коливань не здійснюють. Координати вузлів мають значення:

89

Вузол, як і пучність, являє собою не точку, а площину, точки якої мають значення координати x , що визначені формулою (41.5).

З (41.4) і (41.5) випливає, що відстань між сусідніми пучностями, так само як і відстань між сусідніми вузлами, дорівнює λ / 2 . Відстань між сусідніми вузлами

(пучностями) називають довжиною стоячої хвилі. Таким чином, довжина стоячої хвилі

відбуваються незалежні гармонічні коливання. Ніякого передавання руху від однієї області до іншої, а отже, і перетікання енергії через вузли не відбувається. Інакше кажучи, немає ніякого поширення збурення вздовж хвилі. От чому збурювання, що подані виразом (41.2),

( υ – фазова швидкість хвилі, обумовлена силою натягу струни й масою одиниці довжини, тобто лінійною густиною струни).

Частоти νn називаються власними частотами струни. Вони є кратними частоті

ν1 = υ / 2l ,

яку називають основною частотою.

90