Lysenko_physics_lek_2[1]

частині того самого рівняння, такої властивості не має. Покажемо це. Для визначення åIk

потрібно подумки натягнути на контур Γ деяку поверхню інтегрування й знайти струм, який пронизує цю поверхню. Виберемо поверхню інтегрування S1 такою, щоб вона перетинала провідник зі струмом (див. рис. 23.1). У цьому випадку

Якщо ж ми виберемо за поверхню інтегрування поверхню S2 , що проходить між обкладками конденсатора, яка не перетинає провідник зі струмом, то знайдемо, що

Отримана нами суперечність між (23.12) і (23.13) вказує на те, що у випадку змінних з часом полів рівняння (23.8), а отже, і (23.11) виявляються неправильними.

На несправедливості рівності (23.11) для випадку нестаціонарних полів указують також такі міркування. Візьмемо дивергенцію від обох частин рівняння (23.11):

div(rotH ) = divj .

Відомо, що дивергенція ротора завжди дорівнює нулю: div(rotH ) = 0 . Звідси випливає, що

відбувається з густиною заряду на обкладках конденсатора при його розрядці). У цьому випадку згідно з (23.7) дивергенція j не дорівнює нулю.

4 Щоб рівняння (23.8) і (23.11) були правильними для змінних у часі полів, Максвелл увів у праву частину рівняння (23.11) ще один доданок. Природно, що цей доданок повинен мати розмірність густини струму. Максвелл назвав його густиною струму зміщення.

Таким чином, відповідно до припущення Максвелла рівняння (23.11) повинне мати вигляд

Суму струму провідності й струму зміщення називають повним струмом. Густина повного струму дорівнює

Щоб зв'язати струм зміщення з величинами, що характеризують зміну електричного поля з часом, використаємо співвідношенням (23.2). Продиференціювавши співвідношення (23.2) за часом, отримаємо, що

¶¶t divDr = ¶¶rt .

Тепер змінимо в лівій частині порядок диференціювання за часом і за координатами. У результаті прийдемо до рівності

51

Таким чином, відповідно до (23.18) густина струму зміщення дорівнює похідній за часом від індукції електричного поля. Підставивши вираз (23.18) у формулу (23.14),

прийдемо до рівняння

яке є одним з основних у теорії Максвелла.

Підкреслимо, що термін «струм зміщення» є умовним. По суті, струм зміщення – це доданок, який пов’язаний з похідною від електричного поля за часом. Підставою для того,

щоб назвати «струмом» величину (23.12), є лише те, що розмірність цієї величини збігається з розмірністю густини струму. Із всіх фізичних властивостей, які має струм провідності, струм зміщення має тільки одне – здатність створювати магнітне поле.

Введення струму зміщення «зрівняло в правах» електричне й магнітне поля. З явища електромагнітної індукції випливає, що змінне у часі магнітне поле породжує електричне поле. З рівняння (23.19) випливає, що змінне у часі електричне поле, створює магнітне поле.

5 Проінтегрувавши по поверхні праву й ліву частини рівняння (23.19), використавши теорему Стокса нескладно перейти до інтегрального вигляду теореми (23.19) (порівняйте з

(23.8))

диференціальній формі. Матеріальні рівняння [9]

1 Відкриття струму зміщення дозволило Максвеллу створити єдину теорію електричних і магнітних явищ. Ця теорія пояснила всі відомі на той час експериментальні факти й передбачила ряд нових явищ, існування яких підтвердилось з часом. Основним наслідком теорії Максвелла був висновок про існування електромагнітних хвиль, які поширюються зі швидкістю світла. Теоретичне дослідження властивостей цих хвиль привело Максвелла до створення електромагнітної теорії світла.

Основу теорії утворюють рівняння Максвелла. У вченні про електромагнетизм ці рівняння відіграють таку саму роль, як закони Ньютона в механіці або основні закони (принципи) у термодинаміці.

У систему фундаментальних рівнянь Максвелла входить чотири рівняння. В

інтегральній формі вони мають такий вигляд:

52

Рівняння (24.1) та (24.5) – теорема про циркуляцію магнітного поля, яка була доповнена Максвеллом струмом зміщення. Фізична сутність цих рівнянь: електричні струми та змінне у часі електричне поле створюють магнітне поле.

Рівняння (24.2) та (24.6) – закон електромагнітної індукції. Фізична сутність цих рівнянь: змінне у часі магнітне поле створює вихрове електричне поле.

Рівняння (24.3) та (24.7) – теорема Гаусса для електричного поля у речовині. Фізична сутність цих рівнянь: електричні заряди є джерелами електричного поля.

Рівняння (24.4) та (24.8) – теорема Гаусса для магнітного поля. Фізична сутність цих рівнянь: магнітні заряди у природі відсутні.

До фундаментальних рівнянь не включено рівняння неперервності, яке виражає закон збереження електричного заряду, тому, що це рівняння є наслідком рівнянь (24.1) і (24.3) (або (24.5) й (24.7)).

2 Фундаментальні рівняння Максвелла у формі (24.1)-(24.4) або (24.5)-(24.8) не утворюють ще повної системи рівнянь електромагнітного поля. Серед них два векторних рівняння і два скалярних. Якщо їх записати у координатній формі, то отримаємо всього вісім

рівнянь, що пов'язують 16 величин: п'ятнадцять складових векторів E , D , B , H , j і скаляр ρ . Ясно, що для 16 величин вісім рівнянь недостатньо. Фундаментальні рівняння Максвелла

не містять ніяких сталих, що характеризують властивості середовища, у якій збуджено електромагнітне поле. Необхідно доповнити ці рівняння такими співвідношеннями, у які входили б величини, що характеризують індивідуальні властивості середовища. Ці співвідношення називають матеріальними рівняннями.

Найбільш прості матеріальні рівняння у випадку слабких електромагнітних полів, що порівняно повільно змінюються у просторі й часі. У цьому випадку для ізотропних неферомагнітних і несегнетоелектричних середовищ матеріальні рівняння можуть бути записані у такому вигляді:

де ε , μ , σ – сталі, що характеризують електромагнітні властивості середовища. Вони

називаються діелектричною й магнітною проникністю й електричною провідністю середовища.

Сукупність фундаментальних і матеріальних рівнянь складають повну систему рівнянь Максвелла. Ця система повністю описує електромагнітне поле. Вона дозволяє за відомими початковими і граничними умовами визначити електромагнітне поле й причому єдиним способом.

53

РОЗДІЛ 2 КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

ТЕМА 5 КОЛИВАЛЬНІ ПРОЦЕСИ

§ 25 Гармонічні коливання та їх характеристики. Диференціальне рівняння гармонічних коливань. Зміна енергії при гармонічному коливанні [5]

1 Загальні відомості про коливання. Коливаннями називаються рухи або процеси,

що так чи інакше повторюються у часі. Таку властивість мають, наприклад, рух маятника годинника, коливання струни або ніжок камертона, напруга між обкладками конденсатора в контурі радіоприймача й т.п.

Коливання часто зустрічаються в природі й техніці. Коливання можуть бути різної природи, наприклад, механічними, електромагнітними і т.д.

Залежно від характеру впливу на коливальну систему розрізняють вільні (або власні) коливання, вимушені коливання, автоколивання й параметричні коливання.

Вільними, або власними називаються такі коливання, що відбуваються в системі, яка надана сама собі, після виведення її з положення рівноваги. Прикладом можуть бути коливання кульки, яка підвішена на нитці (маятник). Для того щоб викликати коливання, можна або штовхнути кульку, або, відвівши убік, відпустити її.

Вимушеними називаються такі коливання, у процесі яких на коливальну систему діє зовнішня періодична сила. Прикладом є коливання моста, які виникають при проходженні по ньому людей, що крокують у ногу.

Автоколивання, як і вимушені коливання, супроводжуються впливом на коливальну систему зовнішньої сили, однак моменти часу, коли здійснюються ці впливи, задаються самою коливальною системою, тобто система сама керує зовнішнім впливом. Прикладом автоколивальної системи є годинник, у яких маятник отримує поштовхи за рахунок енергії піднятої гирі або закрученої пружини. При цьому ці поштовхи відбуваються в моменти проходження маятника через середнє положення.

При параметричних коливаннях за рахунок зовнішнього впливу відбувається періодична зміна будь-якого параметра системи. Наприклад, періодично може змінюватися довжина нитки, до якого підвішена кулька, що виконує коливання, або ємність конденсатора, яка включена в коливальний контур.

Найпростішими є гармонічні коливання, тобто такі коливання, при яких коливальна величина змінюється з часом за законом синуса або косинуса. Цей вид коливань особливо важливий через такі причини: по-перше, коливання в природі й техніці часто мають характер, дуже близький до гармонічних коливань, і, по-друге, періодичні процеси іншої форми (з іншою залежністю від часу) можуть бути подані як суперпозиція декількох гармонічних коливань.

2 Гармонічні коливання та їх характеристики. У випадку гармонічних коливань зміни з часом коливальної величини x описуються формулою

Надалі ми будемо віддавати перевагу запису гармонічних коливань за допомогою косинуса.

Величина x характеризує зміщення величини, що коливається, від положення рівноваги і називається зміщенням.

Найбільше значення величини, що коливається, називається амплітудою коливань.

Амплітуда A – стала додатна величина. Надалі, крім букви A , ми будемо позначати амплітуду символом коливальної величини з індексом m , наприклад, xm .

Величина (ω0t + α) , що стоїть під знаком косинуса (або синуса), називається фазою коливань.

54

Стала величина α – значення фази в момент часу t = 0 – називається початковою фазою коливань. Через те що значення x не змінюється при додаванні або відніманні з фази цілого числа 2π, завжди можна виконати умову, щоб початкова фаза була за модулем менше π . Тому, як правило, розглядаються тільки значення α , що лежать у межах від − π до + π .

Найменший проміжок часу, через який коливальна величина повертається у вихідне положення, називається періодом коливань T . Оскільки косинус – періодична функція з періодом 2π, то однаковим станам коливальної системи, що повторюються через період T , відповідає зміна фази на 2π. Звідси знаходимо, що

Величину ω0 з співвідношення (25.1) називають круговою, або циклічною, частотою. Вона пов'язана зі звичайною частотою ν співвідношенням

визначає зміщення тіла відносно положення рівноваги.

Продиференцiюємо (25.6) за часом і отримаємо вираз для проекції швидкості тіла на вісь X :

Із цієї формули випливає, що швидкість також змінюється за гармонічним законом, причому амплітуда швидкості дорівнює Aω0 . З порівняння виразів (25.6) і (25.7) випливає, що

швидкість випереджає зміщення за фазою на π / 2.

Продиференцiюємо (25.7) ще раз за часом і знайдемо вираз для проекції прискорення

Порівнюючи (25.8) з (25.6), можна зробити висновок, що прискорення й зміщення знаходяться у протилежних фазах (різниця відповідних фаз дорівнює π ). Це означає, що в той момент, коли зміщення досягає найбільшого додатного значення, прискорення досягає найбільшого за модулем від’ємного значення і навпаки.

Замінимо у (25.8) Acos(ω0t + α) через x (див. (25.6) і отримаємо

Співвідношення (25.9) називають диференціальним рівнянням гармонічних коливань.

Очевидно, що функція (25.6) є загальним розв’язком цього рівняння. Величини A й α – довільні сталі, значення яких для кожного конкретного коливання визначаються з початкових умов. У всіх випадках, коли з'ясовується, що деяка величина x задовольняє

55

рівнянню &x&+ bx = 0 (де b > 0 ), можна стверджувати, що ця величина змінюється з часом за гармонічним законом, причому корінь із b дає кругову частоту коливань.

4 Зміна енергії при гармонічному коливанні. Визначимо силу F , що діє на тіло масою m , яке виконує гармонічні коливання. Відповідно до другого закону Ньютона проекція сили на вісь X дорівнює Fx = m&x&. Скориставшись співвідношенням (25.9),

отримаємо, що

Таким чином, сила пропорційна зміщенню. Знак мінус означає, що напрями сили й зміщення протилежні. Умові (25.10) задовольняє сила пружності. Тому сили, що мають вигляд (25.10),

незалежно від їх природи називають квазіпружними.

Квазіпружна сила обумовлює наявність у тіла потенціальної енергії

Як відомо, повна енергія системи дорівнює сумі потенціальної та кінетичної енергій. Склавши вирази (25.12) і (25.13) і взявши до уваги рівність (25.11), отримуємо для повної енергії системи вираз

Таким чином, у процесі коливань повна енергія системи залишається постійною, відбувається перетворення кінетичної енергії в потенціальну й навпаки.

§ 26 Періоди коливань фізичного, математичного та пружинного маятників [5]

1 Пружинний маятник. Пружинним маятником називається система, що складається з тіла маси m , яке підвішене на невагомій пружині жорсткості k (рис. 26.1).

У стані рівноваги сила тяжіння mg , яка діє на тіло масою m , врівноважується пружною силою kDl0 :

де Dl0 – видовження пружини. Будемо характеризувати зміщення тіла від положення

рівноваги координатою x , причому вісь X направимо вертикально вниз, а нуль осі розмістимо у положенні рівноваги (див. рис. 26.1). Якщо змістити тіло в положення, яке характеризується координатою x , то видовження пружини стане дорівнювати Dl0 + x і

проекція на вісь X результуючої сили, що діє на тіло, набуде значення

56

У випадку малих коливань ( ϕ << 1 , sin ϕ ≈ ϕ) рівняння (26.13) переходить у диференціальне рівняння гармонічних коливань:

З формул (26.14) і (26.15) випливає, що при малих відхиленнях від положення рівноваги фізичний маятник виконує гармонічні коливання, частота яких залежить від маси маятника, моменту інерції маятника відносно осі підвісу й відстані від точки O підвісу до центра мас C маятника. Використовуючи (26.15) неважко знайти період коливань фізичного маятника:

За теоремою Штейнера момент інерції маятника I може бути поданий у вигляді

I = IC + ml2 ,

де IC – момент інерції відносно осі, яка паралельна осі підвісу й проходить через центр мас C . Тоді циклічна частота (26.15) й період коливань (26.16) можуть бути подані у вигляді

§ 27 Електричний коливальний контур. Частота коливань [5]

1 При розгляді електричних коливань ми маємо справу зі струмами, що змінюються у часі. Закон Ома й правила Кірхгофа були встановлені для постійного струму. Однак вони залишаються справедливими й для миттєвих значень змінних струмів і напруг, якщо тільки їх зміни відбуваються не занадто швидко. Електромагнітні збурювання поширюються вздовж електричного кола з величезною швидкістю, що дорівнює швидкості світла c . Якщо за час t = l / c ( l – довжина кола, c – швидкість світла), який необхідний для передачі збурення в найвіддаленішу точку кола, сила змінного струму майже не змінюється, то миттєві значення сили струму у всіх перерізах кола можна вважати однаковими. Струми, що задовольняють таку умову, називаються квазістаціонарними. Для періодично змінних струмів умова квазістаціонарності має вигляд

t = l / c << T ,

де T – період коливальних процесів. Миттєві значення квазістаціонарних струмів задовольняють закон Ома. Отже, для них справедливі й правила Кірхгофа. При вивченні електричних коливань ми будемо припускати, що розглянуті нами струми є квазістаціонарними.