2_semestr мех мат

ку Вейєрштрасса. Для цього знайдемо найбiльше значення функцiї an на

R

: Маємо: a0 (x) = (4x3

¡

2nx5)e¡nx2

= 0 при x = 0; x =

2

:

n

: Тому

x 2R j n

j

§pn

an(0) = 0; an µ§pn¶ = n2 e¡

n µ§pn

¶

2

4

2

max a (x)

= a

2

=

2

2

1

=

n2

e¡

= bn; n ¸ 1: Ряд n=1 bn збiгається як узагальнений гармонi-

> 1:

Тому за ознакою Вейєрштрасса ряд

чний ряд з показником ® = 2P

1

an(x) збiгається рiвномiрно на R:

=1

nP

1

2

1

n

6.

1

n

3

nP3

bny

Нехай bn = n34n ; y := (x ¡ 4) : Тодi степеневий ряд

=1

lim 4( p

має радiус збiжностi r =

=

)

= 4

¢

1

= 4:

n

lim

n

n!1

pbn

n!1

кiнцевих точках y = §4 маємо jbny

n

j =

1

1

1

: Ряд n=1

збiгається як

n3

n3

узагальнений гармонiчний ряд з показником

® = 3 > 1:

P Тому степеневий

ряд

1

n

збiгається абсолютно при

y 2 [¡4; 4] i розбiгається при

n=1 bny

y

> 4:

Отже, маємо, що при

(x

¡

4)2

·

4;

тобто при

x

2

[2; 6]

j j

P

, заданий

в умовi ряд збiгається абсолютно, а при x 62[2; 6] – розбiгається.

7.

Користуючись розкладом

у

ряд

Тейлора

–

Маклорена

f(x) = 1 ln

1

¡ x

=

1 ln(1

¡

x)

¡

1 ln(1 + x) =

nP

2

1

+ x

2

P

2

= 1

xn

1

P

1

x2n¡1

( 1

( 1)n¡1)xn

=

1

1

(¡1)n¡1xn =

1 1

2

=1

¡n

¡ 2

n=1

nP

n

n=1

2

¡

¡ ¡

n

= ¡

¡

; x 2 (¡1; 1):

=1

2n

1

якщо:

0;

x = 0;

;

a = ¡1; b = 1; ;

1) f(x) = (1; x

[ 1; 1] 0

2 ¡

nf g

2) f(x) =

0;

x = 0;

81

¡

x; x

2

(0; 1) ; a = 0; b = 1;

>

<

>2;

x = 1;

:

1)

f(x) = 1; x 2 Q;

0;

x 2 RnQ;

0;

x = 0;

2)

f(x) = (sin

¼ ;

x

2

(0; 1];

0;

x

x = 0;

3)

f(x) = (x sign

sin ¼

; x

2

(0; 1]:

f

¡

x

3.

Нехай функцiя

BV([a; b]); g(x) = Af(x) + B; x [a; b]:

¢

2

2

Довести, що V (g; [a; b]) = jAjV (f; [a; b]):

4.

Нехай функцiя f 2 C([a; b]) така, що jfj 2 BV([a; b]): Довести, що

2)

f(x) =

¡x ¡ 1;

x 2 [¡1; 0];

[a; b] = [ 1; 1];

(x ¡ x2;

x 2 (0; 1];

¡

x ¡ 1;

x 2 [0; 1);

3)

f(x) =

85;

x = 1;

[a; b] = [0; 2];

>

2

<

>x2

;

x 2¼(1; 2];

4)

f(x) =

:x

sign(sin x); x 2 (0; 1];

[a; b] = [0; 1]:

(0;

x = 0;

3.

Нехай f 2 BV([a; b]): Довести, що jfj 2 BV([a; b]):

4.

Функцiя f 2 C(1)([a; b]): Довести, що f 2 BV([a; b]) i

b

jf0(x)j dx:

V (f; [a; b]) =

Нехай функцiя f 2 BV([a; b])

a

:= V (f; [a; x]); x 2 [a; b]:

5.

iRF (x)

Визначити функцiю F; якщо

1)

f(x) = j sin x2j; [a; b] = [0; 2¼];

6.

2)

f(x) = x ¡ x ; [a; b] = [¡1; 1]:

Подати у виглядi рiзницi двох неспадних функцiй такi функцiї:

1)

f(x) =

(0; x = 0;

1)

1 x2 d®(x); якщо ®(x) =

82;

0 < x < 1;

iнтегральних сум:

1;

x = 0;

0

>

3

:

x = 1;

R

<3;

2)

f(x) d®(x); якщо f(x) =

81;

x

2

[1; 2);

®(x) =

8x;

x

2

(1; 2];

0

>

x

2

[0; 1);

>

1;

x

2

[0; 1];

R

> x;

<x;

x

[2; 3];

<2;

x

(2; 3]:

:

:

2. Обчислити iнтеграли:

>

2

>

2

¡R1

1

x d(arctg x);

1)

1

2

¡R

0;

[¡1; 0];

2)

2x d®(x); якщо ®(x) =

x

1

(1;

x 2

(0; 1];

>

0;

x = 0;

R

>

2

2

³

2

i

<

;

x

3¼

2¼

8x + 1

2

(0; ¼]

3)

sin x d®(x); якщо ®(x) = >

22

3¼

0

>x

;

x

¼;

;

>

2¼

>

³

i

>

>

>

:

x 2

2 ; 2¼

;

R0

>20;

4)

®(x) d(sin x); для функцiї ® з пункту 3).

0

0

1

¸n¡1

¸

4. Нехай у точках xn = n; n ¸ 1

зосередженi маси mn =

e¡

;

(n ¡ 1)!

0

0

5. Нехай f

2 C([a; b]);

® 2 Cx([a; b]) i монотонно не спадає на вiд-

F 2 C([a; b]) \ BV([a; b]):

R

рiзку [a; b]:

Покладемо F (x) :=

f(u) d®(u); x 2 [a; b]: Довести, що

Б30

1.

Обчислити iнтеграли:

a

2¼

1)

R01x2 d(ln(1 + x)); a > 0;

2)

R0

2x d(sign(cos x));

3)

(x2 + 1) d®(x); якщо ®(x) =

1;

x

2

[¡1; 0];

1

(arctg 1 ; x

(0; 1];

¡R1

x

2

2.

4)

¡R1

®(x) d(x2 + 1); де ® – функцiя з пункту 3).

Нехай у точках x1 < x2 < ::: < xn числової прямої вiдповiдно зо-

середженi маси m1; m2; :::; mn;

a < x1;

b > xn: Нехай ®(x) – маса,

що мiститься на вiдрiзку [a; x];

x 2 [a; b]: Побудувати графiк функцiї ®:

f

C([a; b]):

R

R

R

b

b

b

Обчислити iнтеграли: 1)

x d®(x); 2)

x2 d®(x);

3)

f(x)d®(x); де

2

a

a

a

0;

x

[¡1; 0); Довести, що f не належить

3.

Нехай f(x) = ®(x) =

(1;

x

2 [0; 1]:

ВIДПОВIДI

Б1

1

¡2 ln jxj+C; 2)

4

45

24

1217

+

4

43

+C; 3) 2x¡

12 p6

¡

5

3. 1) x¡ x

5x

17x

3x

5

72x +

+2

4x9x

+

6x

9x

¯x +¡

11¯

2x

x

j

j

3 p3

2

C; 4) x+2 ln

¯

x

1

+C; 5) arcsin x+ln x+p

x2 + 1

+C;

ln 4

2

ln 6

ln 9

2¯

¡

¡

¡

6)

+ 2

+

+ C¯ ; 7)

¯ e

e

+ x + C; 8)

x

ctg x + C:

4.

1) x jxj

+ C; 2) 2x2 (x +

x ) + C; 3)x3 + C;

x

j ·

1; x

¡

2 sign x+

3

3

j

j

3

j

3

+C; jxj > 1; 4) cos x ¡ 2 + C; x · 0; ¡ cos x + C; x > 0: 5.

1) C;

2

³

1

´

¡ 4

10h

1

2

´

4 5

h

2

´

5

x

0;

3

; x

3

+ C; x 2

3

;

3

; 2x ¡ 1 + C; x 2

3; 1 ; 3x ¡

¡ 2 + C; x 2 h1; 3

´

; 4x ¡ 3 + C; x 2 h

3; 3´; 5x ¡ 5 + C; x 2xh2

3; 2´;

2) x + C; x · 1; ¡x + 2 + C; 1 < x · 2; x ¡ 2 + C; x > 2; 3) 2

+ C;

x

2

(0; 1);

(x ¡ 1)2 +

1

+ C; x

2

[1; 2); (x ¡ 2)2

+ 1 + C; x

2

[2; 3):

2

2

2

Б2

+C; 3) p3 ln

¯x + qx2 ¡ 3

¯+

1. 1) ¡7p2 ¡ 7x+C; 2) p6 arctg

p2

2

1

p

3

x

1

2(¯ x + 1)

2

¯

¡

¡

2

¡

2

¡

x

1

2x

x

¯

1

¯

+ C; 4)

e¡

e¡

+ C; 5)

ctg

+ C; 6)

¯

+ C¯;

2

1

1

2