Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2_semestr мех мат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

468.78 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

(x + 1)n;

Показати, що послiдовнiсть fn(x) =

n arctg x ; n ¸ 1 збiгається рiв-

номiрно на iнтервалi (¡1; +1);

lim f

(x)

= lim f

(1):

але ³n!12

1 ´jx0 =1

6 n!1¼

Показати, що послiдовнiсть fn(x) = x

n sin(nx + 2 ); n ¸ 1

збiгається рiвномiрно на

; але

lim fn(x)

= lim f0

(x):

6 n

nx2

1 збiгається на

; n

Показати, що послiдовнiсть fn(x) = nxe¡

вiдрiзку [0; 1]; але 0

lim f (x)

dx =

lim

(x)dx:

³n!1 n

6 n!1

iнтеграла

виразi

Чи можна

перейти

до границi

пiд

знаком

lim

dx?

n!1 R0

1 + n2x2

1 ¡ x

9. Виходячи з рiвностi (1 + x)(1 + x2)(1 + x4):::(1 + x2

) =

;

¡2n¡1

визначити суму

sn(x) =

+ ::: +

1 + x

2n¡1

1 + x

Дослiдити збiжнiсть ряду

1 2n¡1x2n¡1

i знайти його суму.

=1 1 + x

2n¡1

ЗАНЯТТЯ 25

СТЕПЕНЕВI РЯДИ. РАДIУС ЗБIЖНОСТI. ВЛАСТИВОСТI СУМИ

Контрольнi запитання

1.Формули для радiуса збiжностi степеневого ряду.

2.Теорема Кошi – Адамара.

3.Теорема про рiвномiрну збiжнiсть степеневого ряду.

А25

1. Визначити

P1 xn

1) n=1 np ;

радiус i множину збiжностi степеневих рядiв:
4)	nP
	1 3n + (¡2)n
	=1	n

n=1(1 + n)

;

; a > 0;

n=1 (2n)!x

;

n=1 ³1 +

2 +

3 + ::: + n´x ;

1 n

(n!)2 n

1 (3 + (¡1)n)n xn;

1 xnn2 :

n=1

n=1 2

Знайти множини збiжностi рядiв:

¡n2

n=1

sin

;

n=1 ³1 + n

e¡

Нехай ряд

anx

має радiус збiжностi r:

n=1

1) Довести, що радiус збiжностi кожного з рядiв

n=1 nanx ; n=1(n

+ 1)anx ;

n=1

x ; n=1 n

anx

; ® 2 R

n + 3

також дорiвнює r:

2) Нехай r 2 (0; +1): Знайти радiус збiжностi рядiв:

1 an

n x ;

x :

n=1

Визначити множину Pточок збiжностiPA i множину точок абсолютної

збiжностi B рядiв. Чи збiгаються вони рiвномiрно на множинi C?

1 xn

1 1

x + 1

; C = A:

n=1 n ; C = [¡1; 0];

n=1 n

Д1. Визначити радiус i множину збiжностi степеневих рядiв:

5:::(2n 1)

n=1

¢2 ¢

¢4 ¢ 6:::(2¡n)

(x ¡2 1)n;

P1 (¡1)n (n)nxn:

Д2. Описати всi степеневi ряди, що рiвномiрно збiгаються на R:

Д3. Нехай an ¸ 0;

n ¸ 0; ряд

1 anxn = a(x) збiгається на iнтервалi

n=0

(

r; r); r > 0

lim

a(x):

Довести збiжнiсть ряду

i iснує границя x

! ¡

Д4. Навести приклад степеневого ряду, збiжного на R; сума якого f(x) задовольняє умови: 1) 8n 2 N : jx¡nf(x)j ! +1; jxj ! +1;

2) 8® > 0 : e¡®xf(x) ! 0; jxj ! +1:

Б25

1. Визначити радiус, множини абсолютної та умовної збiжностi степеневих рядiв:

1 an2 xn; 0 < a < 1;

1 2nx2n;

n=1

; a > 0; b > 0;

2nxn

n=1 a + b

n=1

(2n)!!

x ;

n=1

(2n + 1)!!

Знайти множину збiжностi узагальнених степеневих рядiв:

1 x

1 33n(n!)2

n=1

2n + 1

1 +¡ x

;

n=1 (3n)!

Нехай ряд

1 anxn має радiус збiжностi r; 0 < r < +1: Визначити

радiус збiжностi рядiв 1)

2 anx ;

2) n

anx :

n=1

Визначити множину

точок збiжностi A i множину точок абсолютної

збiжностi B наступних рядiв. Чи збiгаються вони рiвномiрно на множинi C?

	P	n	n	1	1	´; 2)	P	n+1	2n(1	x)
	1	n	n	1	1		1	n+1	2n(1	x)
1)	n=1	2n	(3x ¡ 1) ; C = h	6	; 3		n=1(¡1)		n¡		; C = A:

ЗАНЯТТЯ 26 РЯД ТЕЙЛОРА

Контрольнi запитання

1.Теорема про розклад функцiї в ряд Тейлора.

2.Основнi розклади в ряд Тейлора – Маклорена.

А26

1. Користуючись основними розкладами, розкласти у степеневий ряд вiд-

носно x функцiї:

sin2 2x;

;

(1 ¡ x)(1 ¡ x2)

sin3 x;

;

; знайти похiдну 1000-го

(1 ¡ x)2

1 + x + x2 + x3

1 + x

;

порядку цiєї функцiї в точцi 0;

1x¡ x

;

x2 ¡ 5x + 6

ln(1 + x + x

+ x ):

2. Розклавши попередньо похiднi, шляхом почленного iнтегрування отримати розклади у степеневий ряд функцiй:


1)	f(x) = arcsin x;			4)	f(x) = x arctg x ¡ ln p				;
								1 + x2
2)	f(x) = ln(x + p		);		f(x) = arccos(1		2x2):
		1 + x2		5)		¡

3)f(x) = arctg 2 ¡2xx2 ;

3.Функцiю f(x) = ln x розкласти за цiлими додатними степенями дробу

x ¡ 1: x + 1

4. Функцiю f(x) = p1 x+ x2 розкласти у степеневий ряд за цiлими

додатними степенями дробу 1 +x x:

5. Чи можливо, що ряд Тейлора функцiї f вiдносно 0 розбiгається всюди, крiм самої точки 0; але функцiя розкладається у степеневий ряд у

деякому околi точки 0?

Д1. Розкласти в ряд Тейлора вiдносно 0 функцiї eex ; esin x; ecos x; ln(2 + ex): Д2. Нехай функцiї f; g розкладаються в ряд Тейлора в деякому околi точки 0:

1)Довести, що функцiї f + g; f ¡ g; f ¢ g також розкладаються в ряд Тейлора у деякому околi точки 0:

2)Довести те ж саме для функцiї f(g), якщо g(0) = 0: Навести приклад, що показує, що умову g(0) = 0; узагалi кажучи, не можна вiдкинути.

3)Нехай min ©k j f(k)(0) 6= 0ª ¸ min ©k j g(k)(0) 6= 0ª. Доозначимо функцiю f=g у точцi 0 за неперервнiстю. Довести, що її можна розкласти

вряд Тейлора у деякому околi точки 0.

Д3. Довести, що функцiя f 2 C1((¡"; ")); " > 0 розкладається в ряд Тейлора в деякому околi точки 0 тодi й лише тодi, коли

9C > 0 9± > 0 8x 2 (¡±; ±) 8k ¸ 0 : jf(k)(x)j · C ±kk! :

Б26

1. Користуючись основними розкладами, розкласти в ряд за невiд’ємними степенями x функцiї:

		ln(1	¡		x)
1)	x + x2		¡				;
2)		x				;
2)		1 + x ¡ 2x2				;
3)		1 + x		;
3)	(1 ¡ x2)2			;
	(1 ¡ x2)2

4)e¡x2 ;

5)cos2 x;

6)p1 x¡ 2x;

7)1 ¡ 5x1+ 6x2 :

2. Розклавши попередньо похiднi, шляхом почленного iнтегрування отримати розклади у степеневий ряд функцiй:

f(x) = arctg x; знайти суму ряду

1 (¡1)n+1

;

=1 2n

f(x) = 1 ln

1 + x

1 arctg x;

4 1 ¡ x

f(x) = x arcsin x + p

1 ¡ x2

Розкласти в ряд Тейлора в околi точки 1 функцiю:

(x + 1)ex;

x(ln x ¡ 1):

Функцiю f(x) =

розкласти у степеневий ряд за цiлими вiд’єм-

1 ¡ x

ними степенями змiнної x.

ЗАНЯТТЯ 27

ДIЇ ЗI СТЕПЕНЕВИМИ РЯДАМИ. РЯДИ В КОМПЛЕКСНIЙ ПЛОЩИНI

Контрольнi запитання

1.Теорема про почленне диференцiювання степеневого ряду.

2.Теорема про почленне iнтегрування степеневого ряду.

3.Означення збiжностi ряду з комплексними членами.

4.Теорема Кошi -- Адамара для степеневих ряду в комплекснiй площинi.

А27

1. Виконуючи дiї зi степеневими рядами, розкласти у степеневi ряди функцiї:

1) f(x) = ln2(1 ¡ x);

ln(1 + x) 2) f(x) = 1 + x ; 3) f(x) = Rx arctg tdt;

	x	tdt
	4) f(x) = R0	tdt
	4) f(x) = R0	ln(1 + t)

(виписати чотири члени).

2.Застосовуючи почленне диференцiювання, обчислити суми рядiв:

1)x ¡ x33 + x55 ¡ :::;

2)1 + x2!2 + x4!4 + :::;

3) 1 + 1x + 1	¢ 3x2	+ 1	¢ 3	¢ 5x3	+ :::
2 2	¢ 4	2	¢ 4	¢ 6

Вказiвка. Похiдну ряду домножити на 1 ¡ x.

3.Застосовуючи почленне iнтегрування, обчислити суми рядiв:

1)x ¡ 4x2 + 9x3 ¡ 16x4 + :::;

2)1 ¢ 2x + 2 ¢ 3x2 + 3 ¢ 4x3 + ::: :

4.За допомогою розкладу пiдiнтегральних функцiй у ряди обчислити з точнiстю до 0:001 iнтеграли:

	4	1		1 arctg x
1)	R2	ex dx;	2)	R0 x	dx:

5. Визначити радiус i круг збiжностi степеневих рядiв у комплекснiй площинi:

1)	1 (z		¡		1 n		i)n ;
			¡		¡
	n=1			n2
	1	z		n
2)	P	z				;
2)	=1	n®+i¯				;
	nP

nP
1	n!zn
3)	(1 + i)(1 + 2i):::(1 + ni)	:
=1

6. Використовуючи ряди у комплекснiй площинi, отримати розклади у степеневий ряд вiдносно x наступних функцiй:

1)		1	;	3)		x sin a		:
		1 + x + x2			1 ¡ 2x cos a + x		2
2)	ex cos a cos(x sin a);

Д1. Нехай P – полiном на комплекснiй площинi, P (0) =6 0. Довести, що функцiя P1 розкладається в ряд Тейлора у крузi радiуса

R = min fjzj j P (z) = 0g :

Д2. Розкласти функцiю	1	у ряд Тейлора в комплекснiй площинi:
	1 + z2

1) в околi точки 0; 2) в околi точки a > 0; 3) в околi точки ¡a: Знайти вiдповiднi радiуси збiжностi.

Б27

1. Виконуючи дiї зi степеневими рядами, розкласти у степеневi ряди вiдносно x функцiї:

1)f(x) = (1 + x2) arctg x;

2)f(x) = (arctg x)2;

3)f(x) = Rx e¡t2 dt;

4) f(x) =	R0	p1 ¡ t4 :
	x		dt

2. Виконуючи дiї зi степеневими рядами, розкласти у ряд Тейлора в околi точки 1 функцiї:

1) f(x) = x ; x > 0;	2) f(x) =	R1	t ¡¡1 dt:
ln x		x	et	e

3.Нехай f(x) = P1 anxn: Розкласти в ряд Тейлора – Маклорена

n=0

f(x)

функцiю F (x) = 1 ¡ x:

4.Застосовуючи почленне диференцiювання, обчислити суму ряду x + x33 + x55 + ::: :

5.Застосовуючи почленне iнтегрування, обчислити суму ряду x + 2x2 + 3x3 + ::::

6.За допомогою розкладу пiдiнтегральних функцiй у ряди обчислити з точнiстю до 0:001 iнтеграли:

2 sin x

dx;

cos x

dx:

7. Чи збiгаються ряди в комплекснiй площинi:

P e2in;

n=1(i ¡ 1)

;

n=1((

2¡1)+(¼ ¡3)i) ?

8. Визначити радiус i круг збiжностi степеневих рядiв у комплекснiй площинi:

	P
1)	1 (z ¡ 3		+ i)n ;
	n=1	pn
	nP	(1 + i)nzn
	1	(1 + i)nzn
2)	=1	(n + 1)(n + 2)		;
	=1

P1 (z ¡ ei®)n 3) n=1 n(1 ¡ ei®)n :

ЗАНЯТТЯ 28

КОНТРОЛЬНА РОБОТА. ЧИСЛОВI I ФУНКЦIОНАЛЬНI РЯДИ.

СТЕПЕНЕВI РЯДИ I РЯД ТЕЙЛОРА

Завдання iндивiдуальнi. Зразок варiанта

Дослiдити на збiжнiсть ряди:

n 2

n2 + 1

6n(n!)2

а)

;

б)

n2n

;

в)

sin

n=1

=1 ln(n + 1)

1 1

Дослiдити на абсолютну та умовну збiжнiсть ряд

1 (¡1)nln n:

Довести рiвнiсть: µn=0

= n=0 n! :

Визначити множини абсолютної й умовної збiжностi ряду

1 + x2n

Дослiдити рiвномiрну збiжнiсть ряду

на R:

P x4e¡nx

n=1

6.Визначити множину збiжностi степеневого ряду:

7.Розкласти у степеневий ряд вiдносно x функцiю f

1 (x ¡3 4)n			2n :
=1	n 4
nP	1	1 x
(x) =	2 ln	1 +¡ x		:

Розв’язки

а) Ряд знакосталий, бо an = ln

n2 + 1

> 0; n ¸ 1: Застосуємо

ознаку порiвняння у формi еквiвалентностi. Оскiльки ln(1 + x)

+ 1

x ! 0; i

! 0; n ! 1; то an = ln

= ln(1 +

) »

bn; n ! 1: Ряд

bn збiжний як узагальнений гармонiчний ряд з показником

® = 2 > 1: Тому за ознакою порiвняння ряд

an – збiжний.

6n(n!)2

б) Ряд знакосталий, бо an =

n2n

> 0; n ¸ 1: Оскiльки у виразi

для an присутнiй факторiал, зручно застосувати ознаку Д’Аламбера. Ма-

an+1

6n+1((n + 1)!)2n2n

n2n

ємо:

= 6(n + 1)

2(n+1)

6 (n!) (n + 1)

¡2

(n + 1)

= 6(

)

= 6

³³1 + n

´ ´

! 6e¡

= r; n ! 1: Значення

n + 1

			P
r = 6e¡2 < 1: Тому за ознакою Д’Аламбера ряд			1	an збiжний.
r = 6e¡2 < 1: Тому за ознакою Д’Аламбера ряд			n=1	an збiжний.
	1		n=1
	1		1
в) Ряд знакосталий, бо an =		sin n		> 0; n ¸ 1: За-
в) Ряд знакосталий, бо an =	ln(n + 1)	sin n		> 0; n ¸ 1: За-

стосуємо спочатку ознаку порiвняння у формi еквiвалентностi. Оскiльки

sin x	» x;		1		! 0; n ! 1; i n » (n + 1); n ! 1; то
			x ! 0; n
	1		1		1		1		1
an =				sin n	»		n »			= bn: Збi-
		ln(n + 1)				ln(n + 1)		(n + 1) ln(n + 1)
			1						1
жнiсть ряду				an еквiвалентна збiжностi ряду					bn: Цей ряд зручно
			n=1						n=1

дослiдити за iнтегральною ознакою Маклорена – Кошi. Уведемо функцiю

f(x) =

; x 2 [1; +1): Тодi bn

= f(n);

n ¸ 1; а

(x + 1) ln(x + 1)

функцiя f

монотонно спадає на [1; +1): Iнтеграл

f(x)dx =

d(ln(x + 1)) = ln(ln(x + 1)) x=A =

ln(x + 1)

ln ln 2

; A

+ : j

x=1

= lnR1ln(A + 1)

Тому за iнтегральною ознакою ряд

bn – розбiжний. За ознакою порiв-

няння розбiжним також є ряд

an.

n=1

1)n ln2 n

< 0 при непарних n i an > 0

Ряд знакозмiнний: an =

при парних n: Застосуємо ознаку Лейбнiца. an = (¡1)ncn i cn = lnnn =

ln n

0; n

: Доведемо, що послiдовнiсть c

: n

мо-

µ n

! 1

f n

нотонна, починаючи з деякого номера. Для цього розглянемо функцiю

f(x) = ln2 x; x

[1; +

): Маємо: f0(x) = 2 ln x

ln2 x =

ln x(2 ¡2

ln x)

< 0;

x > e2: Отже, функцiя f спадає на промiжку

= f(n); то2 послiдовнiсть монотонна, починаю-

[e2

; +1): Оскiльки cn

чи з деякого номера n0

(n0

= [e ] + 1 = 8). За ознакою Лейбнiца

ряд

an збiжний. Перевiримо абсолютну збiжнiсть ряду

an: До ря-

n=2

ду

janj; який є знакосталим, застосуємо ознаку порiвняння у фор-

P1 1

n=3 n

мi нерiвностi. Маємо: janj = lnn2 n ¸ n1 ; n ¸ 3: Оскiльки ряд розбiгається як гармонiчний, то ряд P1 janj – також розбiжний. Вiдповiдь:

n=2

ряд

an збiгається умовно.

n=2

3.P1 спосiб. Перемножимо ряди за Кошi:

1 1

µn=0

= n=0 m=0

(n ¡ m)!

P1P1

1 2n

m=0 Cn

= n=0

(1 + 1) = n=0 n!

nP P

P n

m m n

Тут використано формулу бiнома Ньютона (a + b)

m=0

Cn a

2 спосiб. Використовуючи розклад експоненти в ряд Тейлора – Макло-

1 xn

1 1

1 2n

рена e

= n=0 n!

; x 2 R; маємо, що n=0

= e;

n=0 n! = e : Тому

рiвнiсть, яку треба довести, рiвносильна очевиднiй рiвностi: (e)2

= e2:

4. Загальний член ряду an(x) =

;

n ¸ 1: Розглянемо та-

1 + x2n

кi випадки. 1) x 2 (¡1; 1):

Тодi jan(x)j · jxj

: Ряд n=1 jxj

збiжний

при

x < 1 як геометричний. Тому за ознакою порiвняння збiгається ряд

jan(x)j, отже, ряд

an(x) – збiжний абсолютно. 2) x 2 (¡1; ¡1)[

n=1

[

(1; +

): Тодi

an(x)

(

) : Аналогiчно

п.1)

j ·

x2n

ряд n=1

збiгається як геометричний. Тому за ознакою порiвня-

jxj

ння збiгається ряд

jan(x)j, отже, ряд

an(x) – збiжний абсолютно.

3) x

6!0;

= §1: Тодi jan(x)j =

! 1, тобто не виконується

an(x) – розбiжний.

необхiдна умова збiжностi ряду. Ряд

Вiдповiдь: ряд n=1 an(x) збiжний абсолютно при x 2 Rnf¡1; 1g i роз-

бiжний при

x =

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.20161.92 Mб527w.doc
#
19.03.2015303.1 Кб529 мая.doc
#
19.03.2015939.17 Кб122_Kinematyka.pdf
#
19.03.2015124.34 Кб202_modul.doc
#
21.08.201937.6 Кб22_New1.docx
#
19.03.2015468.78 Кб92_semestr мех мат.pdf
#
19.03.2015299.01 Кб112_Робоча навчальна програма_АБП_НОВА.doc
#
19.03.2015313.34 Кб52_Робоча навчальна програма_АТП_НОВА.doc
#
12.11.20193.25 Mб22А ЕКОЛОГІЧНА БЕЗПЕКА, ТЕКСТ, 2 видання (переро...doc
#
19.03.201572.53 Кб82Екочинники, адаптації.docx
#
26.11.2018261.63 Кб33 курс-работа.doc