Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2_semestr мех мат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

468.78 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

4)Розклад пiдiнтегральної рацiональної функцiї шукаємо у виглядi суми елементарних дробiв з невизначеними коефiцiєнтами

Cx + D

¡2

x + 2

(x + 2)

x + 2

Прирiвнюючи коефiцiєнти при вiдповiдних степенях, знаходимо

A = 1; B = 1; C = ¡1; D = 0: Тому

(x +¡2)2(x¡2 + 2)

dx =

¶dx =

x + 2

(x + 2)2

x2 + 2

= ln jx + 2j ¡

2 ln(x

+ 2) + C:

x + 2

5) Застосуємо формулу для iнтеграла

du:

u2 + a2

xpx

+ x + 1 dx = xr x +

+ 4 dx =

r x +

= x +

x +

4 dx¡2

4 dx =

³x +

´px2 + x + 1 ¡

(x + x + 1)2 ¡

ln x +

+ x

+ x + 1 + C:

Використаємо унiверсальну тригонометричну пiдстановку:

t = tg x;

2 dt

3 cos x + sin x + 1

x = 2 arctg t;

dx =

1 + t

¡t2 + t + 2

¯(t + 1)(t ¡ 2)

1 R

t + 1

= ¡3

dt =

3 ln

t ¡ 2

+C; де t = tg

t ¡ 2

t + 1

7) За

формулою iнтегрування частинами

2sin x sin 2x dx = 2

2sin x sin x cos¯ x dx

¯=

= 2

2sin x sin x d(sin x) =

sin x d(2sin x) =

ln 2

sin x

(sin x)

sin x

¡ R

ln 2

sin x

³2

sin x ¡

21´ + C:

ln 2

ЗАНЯТТЯ 10 ОЗНАЧЕННЯ IНТЕГРАЛА РIМАНА.

КРИТЕРIЙ IНТЕГРОВНОСТI

Контрольнi запитання

1.Означення розбиття, дiаметра розбиття, пiдрозбиття.

2.Означення вернiх i нижнiх сум Дарбу.

3.Означення верхнього та нижнього iнтегралiв Рiмана.

4.Критерiй iнтегровностi.

А10

1.Записати верхнi й нижнi суми Дарбу для функцiй:

1)f(x) = 1 ¡2 x; x 2 [¡1; 1];

2)f(x) = x2; x 2 [0; 1]:

2.Обчислити за означенням верхнiй i нижнiй iнтеграли для функцiй

1)f(x) = 1 ¡2 x; x 2 [¡1; 1];

2)f(x) = x2; x 2 [0; 1]

(Вказiвка. Застосувати нерiвнiсть

2	a2 + ab + b2		2
a ·		3	· b ; 0 · a · b);
3) f(x) = sin x; x 2 h0;		¼
3) f(x) = sin x; x 2 h0;		2 i

(Вказiвка. Застосувати нерiвнiсть

(b ¡ a) sin a · cos a ¡ cos b · (b ¡ a) sin b; 0 · a < b · ¼2 ). Зробити висновок щодо iнтегровностi за Рiманом цих функцiй.

3.Нехай функцiя f : [a; b] ! R iнтегровна за Рiманом на вiдрiзку [a; b]: Довести, що функцiї jfj та sin f також iнтегровнi за Рiманом на вiдрiзку [a; b]:

4.Заpдопомогою критерiю iнтегровностi довести, що функцiя f(x) = 1 ¡ x2; x 2 [0; 1] iнтегровна за Рiманом на вiдрiзку [0; 1]:

5.Нехай функцiя f : [a; b] ! R i послiдовнiсть fzn : n ¸ 1g ½ [a; b] такi, що:

1)функцiя f обмежена на вiдрiзку [a; b];

2)f 2 C ([a; b]nfzn : n ¸ 1g);

3)послiдовнiсть fzn : n ¸ 1g збiжна.

Довести, що f 2 R([a; b]):

Д1. Функцiя f 2 R([a; b]) така, що

8[®; ¯] ½ [a; b] 9c 2 (®; ¯) : f(c) = 0:

Довести, що Rb f(x)dx = 0:

Д2. Довести, що обмежена на вiдрiзку [a; b] функцiя iнтегровна за Рiманом на цьому вiдрiзку тодi й тiльки тодi, коли для довiльних " i ± iснує розбиття вiдрiзка [a; b]; для якого сума довжин вiдрiзкiв з коливанням функцiї, бiльшим нiж ±; менша за ".

Д3. Для функцiї Рiмана f(x) =	0;	якщо x 2 [0; 1]nQ; де m i n –
	(n1 ;	якщо x = mn ;

взаємно простi цiлi числа, 0 · m · n; визначити множину точок розриву й довести, що f 2 R([0; 1]):

Д4. Функцiя f : [a; b] ! R така, що

8" > 0 9g 2 R([a; b]) 8x 2 [a; b] : jf(x) ¡ g(x)j < ":

Довести, що f 2 R([a; b]):

Д5. Нехай f 2 R([a; b]); ' : R ! R. Довести твердження:

1)якщо ' 2 C(R), то '(f) 2 R([a; b]);

2)якщо для кожного A > 0 : ' 2 R([¡A; A]), то не обов’язково

'(f) 2 R([a; b]).

Б10

1. Записати верхнi й нижнi суми Дарбу для функцiй: 1) f(x) = ex; x 2 [0; 1];

2) f(x) = 1 ; x 2 [1; 2]; x

(

3) f(x) = x; x 2 [0; 1] \ Q; 0; x 2 [0; 1]nQ:

2.Обчислити за означенням нижнiй i верхнiй iнтеграли для функцiй:

1)f(x) = ex; x 2 [0; 1]

(Вказiвка. Застосувати нерiвнiсть

ea(b ¡ a) · eb ¡ ea · eb(b ¡ a); a · b);

2)f(x) = x1 ; x 2 [1; 2]

(Вказiвка. Застосувати нерiвнiсть

b ¡ a

ln b

ln a

b ¡ a

; 1

b);

якщо x

[0; 1]

;

3) f(x) = (0;

якщо x

[0; 1]

\ Q:

Зробити висновок щодо iнтегровностi за Рiманом цих функцiй.

3. Нехай функцiя f : [a; b] ! R iнтегровна за Рiманом на вiдрiзку [a; b]. Довести, що функцiя arctg f також iнтегровна за Рiманом на вiдрiзку [a; b].

4.	Нехай функцiя f 2 R ([0; 1]). Довести, що функцiя g(x) = f(jxj);
x 2 [¡1; 1] iнтегровна за Рiманом на вiдрiзку [¡1; 1].
5.	Довести, що сума та добуток iнтегровних за Рiманом на вiдрiзку [a; b]
функцiй також iнтегровнi за Рiманом на цьому вiдрiзку.					x = 0
	<0;	³	1	´	x = 0
6. Довести iнтегровнiсть функцiї f(x) = 8sign			sin x	;	0 < x · 1; на
	:

вiдрiзку [0; 1].

ЗАНЯТТЯ 11

IНТЕГРАЛ ЯК ГРАНИЦЯ IНТЕГРАЛЬНИХ СУМ. ТЕОРЕМА ДАРБУ

Контрольнi запитання

1.Означення iнтегральних сум.

2.Означення границi iнтегральних сум.

3.Теорема Дарбу.

А11

1. Нехай для функцiй f; g : [a; b] ! R iснують скiнченнi границi iнте-

гральних сум lim S(f; ¸) та lim S(g; ¸): Довести, що j¸j!0 j¸j!0

lim S(f + g; ¸) = lim S(f; ¸) + lim S(g; ¸):

j¸j!0

2. Для функцiї f : [a; b] ! R, обмеженої на [a; b], та сталої ® > 0 обчислити границю

lim			n¡1 f(»k)¢xk1+®:
¸	j!	0	=0
j	j!		kP

3. Довести, що для функцiї(Дiрiхле

f(x) = 1;	якщо x 2	[0; 1] \ Q;
0;	якщо x 2	[0; 1]nQ

границя iнтегральних сум не iснує. 4. Довести, що функцiї

1)	f(x) = x2; x 2 [0; 1];	¼
2)	f(x) = sin x; x 2 h0;	2 i;

3) f(x) =	1	; x 2 [0; 1]
	1 + x2

iнтегровнi за Рiманом на вiдповiдних вiдрiзках. Обчислити iнтеграли вiд цих функцiй як границi iнтегральних сум.

5. Довести збiжнiсть послiдовностей fan : n ¸ 1g, виразити значення границь цих послiдовностей через визначенi iнтеграли:

an = n

+ ¢ ¢ ¢ +

;

n + 1

an = n

+ ¢ ¢ ¢ +

;

n + 1

n¡1

an = k=0

n2 + k2

;

+ n®

an =

1® + 2® +

; ® ¸ 0;

n®+1¢ ¢ ¢

an =

;

=1 n + k

´;

n¡1

an = sk=1 ³1 + n

an =

n 1

;

k=1

n ¡ k

an = sin n + sin

+ ¢ ¢ ¢ + sin

n + 1

Д1. Завдання задачi 5 для послiдовностей:

n (2n)!

an =

n r nn! ;

an =

cos k cos j

;

k;j=1

j¸j!0 k=0

		n	n¡1					k
3)	an =	sk=0 f				³n´; де f 2 C([0; 1]); f(x) > 0; x 2 [0; 1];
		nkP
		1		n			kak
		1		Q			kak
4)	an =	n		=1 sin				n	; де послiдовнiсть an ! a 2 R; n ! 1;
5)	an =	kP		sin		k		:
5)	an =			sin		2		:
		=1			n
		=1

Д2. Для iнтегровної за Рiманом на вiдрiзку [a; b] функцiї f знайти границi:

1) lim nP¡1 f(»k) sin ¢xk;

j¸j!0 k=0

2) lim nP¡1 ln (1 + f(»k)¢xk) ;

j¸j!0 k=0

3) lim nQ¡1 (1 + f(»k)¢xk) :

j¸j!0 k=0

Д3. Для iнтегровних за Рiманом на вiдрiзку [a; b] функцiй f; g знайти границю lim nP¡1 f(»k)g(´k)¢xk;

де »k; ´k 2 [xk; xk+1]; 0 · k · n ¡ 1:

Д4. Довести, що для довiльної обмеженої на вiдрiзку функцiї f iснують

границi lim L(f; ¸);	lim U(f; ¸); що дорiвнюють вiдповiдно нижньому
j¸j!0	j¸j!0

i верхньому iнтегралам вiд функцiї f на вiдрiзку [a; b].

Д5. Нехай f 2 R([a; b]) i 8x 2 [a; b] : f(x) > 0. Довести, що

Rb f(x)dx > 0:

Б11

1. Нехай для функцiї f : [a; b] ! R iснує скiнченна границя iнтегральних

сум lim S(f; ¸): Довести, що j¸j!0

lim S(cf; ¸) = c lim S(f; ¸):

j¸j!0 j¸j!0

2. Чи iснує скiнченна границя iнтегральних сум для функцiї

	tg x;	якщо 0 · x <	¼	;
y =	tg x;	якщо 0 · x <	2	;
	(0;	якщо x = ¼2 ?
		26

3.Нехай f : [a; b] ! R: Довести, що iснування границi iнтегральних сум та її значення для функцiї f на вiдрiзку [a; b] не залежать вiд значень цiєї функцiї на довiльнiй скiнченнiй множинi.

4.Довести, що функцiї

1)		x		3)	1		[1; 2];
	f(x) = e ; x 2 [0; 1];				f(x) = x; x	2
	f(x) =	1	; x 2 [1; 4];
2)				4)	f(x) = jxj; x 2 [¡1; 1];
		x2

iнтегровнi за Рiманом на вiдповiдних вiдрiзках. Пiдiбравши зручнi iнтегральнi суми, обчислити iнтеграли Рiмана вiд цих функцiй.

5. Довести збiжнiсть наступних послiдовностей fan : n ¸ 1g, виразити значення границь цих послiдовностей через визначенi iнтеграли:

n P

2nkP n

an =

;

an =

sin k

;

n k=1 n2 + k2

n =1

P n 1

an = k=1

(n + k)2

;

an = k=0

n2 + k2

;

p k

an =

;

an =

k e ;

+ k

k=0

2 p3

an =

kP cos

¼k

k=1

+ n ;

ЗАНЯТТЯ 12 ВЛАСТИВОСТI ВИЗНАЧЕНОГО IНТЕГРАЛА.

ФОРМУЛА НЬЮТОНА – ЛЕЙБНIЦА.

Контрольнi запитання

1.Елементарнi властивостi визначеного iнтеграла.

2.Формула Ньютона – Лейбнiца.

3.Властивостi iнтеграла як функцiї верхньої межi.

4.Теорема про середнє значення.

А12

1. Зобразити у прямокутнiй системi координат криволiнiйнi трапецiї, виразити їх площi через визначенi iнтеграли та обчислити цi iнтеграли за

допомогою формули Ньютона – Лейбнiца: 1) f(x; y) j 0 · y · px; 0 · x · 4g ;

2)	n(x; y) j 0 · y · cos x; 0 · x ·	¼
2)	n(x; y) j 0 · y · cos x; 0 · x ·	2 o;
3)	½(x; y) j 0 · y · 1 + x2 ; p13 · x · p3¾;
	1
4)	½(x; y) j 0 · y · p1 + x2 ; sh 1 · x · sh 2¾;
	1

5)f(x; y) j 0 · y · j1 ¡ xj; 0 · x · 2g ;

6)f(x; y) j 0 · y · f(x); ¡2 · x · 1g ;

(

де f(x) =

jx + 1j;

якщо

¡ 2 · x · 0;

2 ¡ x

якщо

0 < x · 1:

Чи правомiрне таке застосування формули Ньютона – Лейбнiца

1 dx

¡1 x2

= ¡x

¯¡1 = ¡2?

Знайти границi:

px + 1

lim

0x(arctg u)2du

;

µ0x exp(u2)du¶2

x +

lim

! 1

2¼

! 1

exp(2u2)du

Оцiнити iнтеграл

0; 5 cos x

1 +2¼

x sin x dx?

Який знак має iнтеграл

Який iнтеграл бiльший: R exp(¡x)dx чи R exp(¡x2)dx? Чому?

dx < 1:

Довести нерiвнiсть

1 + x13

Побудувати графiки

функцiй:

2 R

f(x) = R0

du;

2 R

;

f(x) =

e u2 du; x

границю послiдовностi

dx; n

Знайти

f; g

g ½

C([a; b])

1 + x13

10.

Нехай f

. Довести нерiвнiсть Кошi – Буняковського

Rab jf(x)g(x)j dx · qRab f2(x) dx Rab g2(x) dx:

За яких умов на функцiї має мiсце рiвнiсть?

Д1. Нехай функцiя f : [a; b] ! [0; +1) неперервна на вiдрiзку [a; b] i Rb f(x)dx = 0: Довести, що 8x 2 [a; b] : f(x) = 0: Чи iстотна умова

неперервностi?

Д2. Навести приклад функцiї f 2 R([a; b]), яка не має первiсної на вiдрiзку [a; b].

Д3. Навести приклад функцiї f : [a; b] ! R, яка має первiсну на вiдрiзку

[a; b], але не iнтегровна за Рiманом на цьому вiдрiзку [a; b].

Д4. Нехай f 2 R([a; b]); F (x) = Rx f(u) du; x 2 [a; b] i F 2 C(1)([a; b]).

Чи вiрно, що функцiя f неперервна на вiдрiзку [a; b]?

Д5. Визначити функцiю f 2 C([a; b]); якщо для довiльного полiнома p

Rb f(x)p(x)dx = 0:

Д6. Нехай f 2 R([a; b]): Довести, що

9µ 2 [a; b] : Rµ f(u)du = Rb f(u)du:

aµ

Б12

1. За допомогою формули Ньютона – Лейбнiца обчислити iнтеграли i зобразити криволiнiйнi трапецiї, площi яких виражають цi iнтеграли:

¡Rp3

¡R

8 p3

dx;

2 jx2 ¡ 1j dx;

¡ 23

2¼

;

j sin xj dx;

1 x

ch 5

;

x[x] dx;

ch 3

x2 ¡ 1

¡R1 jxj dx;

[x2] dx:

Символом [a] позначена цiла частина дiйсного числа a.

Користуючись формулою Ньютона – Лейбнiца, знайти iнтеграли:

1 ¡ ln

¼=2x

;

+ 1 dx;

R¼

cos

dx;

¼=4

sin x dx;

R sin(ln x)

dx;

1 + cos 2x

dx:

Знайти похiднi функцiй:

1) F (x) =

ln t dt; x > 0;

2) F (x) =

cos t2 dt; x > 0:

1=x

Знайти

границi:

x 0

cos u2 du

sin xptg u du

lim

;

lim

tg x

psin u du

5. Довести, що

Rx exp(u2) du » 21x exp(x2); x ! +1:

6. Оцiнити iнтеграли:

	1			¼=2
	R	2		R	q1 +	1	2
1)	0	exp(¡x ) dx;	3)	0	q1 +	2 sin		x dx:

2)R1 p x6 dx;

0 1 + x

7.Довести нерiвностi:

1)9 < R18 x + 1 dx < 19;

8 x + 2 2

· R0

x dx · 1;

k+1 dx

< k

n dx

3) 8k; n 2 N; n ¸ 2 :

k + 1

+ : : : +

< 1 +

+ : : : +

1 x

n ¡ 1

8. Побудувати графiки

функцiй:

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.20161.92 Mб527w.doc
#
19.03.2015303.1 Кб529 мая.doc
#
19.03.2015939.17 Кб122_Kinematyka.pdf
#
19.03.2015124.34 Кб202_modul.doc
#
21.08.201937.6 Кб22_New1.docx
#
19.03.2015468.78 Кб92_semestr мех мат.pdf
#
19.03.2015299.01 Кб112_Робоча навчальна програма_АБП_НОВА.doc
#
19.03.2015313.34 Кб52_Робоча навчальна програма_АТП_НОВА.doc
#
12.11.20193.25 Mб22А ЕКОЛОГІЧНА БЕЗПЕКА, ТЕКСТ, 2 видання (переро...doc
#
19.03.201572.53 Кб82Екочинники, адаптації.docx
#
26.11.2018261.63 Кб33 курс-работа.doc