Praktika_neopredel_integral_1_5
.pdf§1. Первообразная.
Определение 1.1 Функция F(x), определенная на множестве X, называется первообразной функцией (или первообразной) (для) функции f(x), определенной на этом же множестве X, если в каждой точке x, принадлежащей
множеству X, |
функция F(x) |
имеет конечную производную F / (x) , |
значение |
||||
которой в точке x равно значению функции f(x) в этой точке, т.е. |
|
||||||
|
F x f x |
х X . |
(1.1) |
||||
Пример 1.1 Пусть f ( x) x . |
|
|
|
||||
Функция |
F ( x) |
x 1 |
|
является первообразной для этой функции, потому |
|||
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
что ее производная, вычисленная по правилу дифференцирования степенной
|
|
x 1 |
|
/ |
1 |
1 x 1 1 x равна заданной функции. |
функции |
F / ( x) |
|
|
|
||
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Здесь 1 0 , т.е. 1, так как делить на нуль нельзя.
Замечание 1.1 Если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то
функция |
1 |
F ax b есть первообразная для функции |
f ax b . |
||||||||||
a |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
F ax b |
|
t x ax b, t x a |
|
|
F t t x |
|
f t a f ax b , |
||||
|
|
|
|||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
так как F t f t Здесь мы применили правило нахождения производной от сложной функции.
Пример 1.2 Найти первообразную для функции sin 3x 2 .
Решение. Здесь ax b 3x 2 , f x sin x , F x cos x , поэтому
(см. замечание 1.2) первообразная для данной функции равна |
1 |
F ax b = |
||||
a |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
1 |
cos 3 x 2 |
. |
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
§2. Понятие неопределенного интеграла
Определение 2.1 Совокупность всех первообразных (для) данной функции f(x), определенной на конечном или бесконечном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается f ( x)dх .
Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, символом неопределенного интеграла, х – переменной интегрирования. Из определения следует равенство
f ( x)dx F x C |
(1.2) |
Свойства неопределенного интеграла
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.6) |
|||
|
|
|
|
|
|
аf |
|
x dx а |
|
|
|
f |
|
x dx |
|
|||
Пример. |
|
|
5 |
|
dx |
5 |
|
|
1 |
|
|
dx 5arcsin x C , |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
x 2 |
|
|
|
|
|
1 |
x 2 |
|
|
|
|
Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от
этих функций, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f x g x dx |
f (x)dx g(x)dx |
(2.7) |
||||||||
Пример. |
x3 |
23 x |
dx |
|
x3 dx |
|
23 x dx |
1 |
x4 |
1 |
8x C |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
ln 8 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что свойство 6 очевидным образом распространяется на сумму (разность) конечного числа функций.
§3. Непосредственное интегрирование.
Пример 3.1 Вычислить неопределенный интеграл х3dx.
Решение. Подынтегральная функция является степенной функцией, поэтому применяем табличный интеграл 3. Здесь 3 , подставляем 3 вместо в
табличный |
|
|
интеграл |
3 |
|
и |
|
получаем |
|
значение |
интеграла |
х3dx = |
||||||
|
x3 1 |
С |
1 |
x4 |
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
С |
|
4x4 1 |
|
|
|
|||||||||
Проверка: |
|
|
|
x4 C |
|
|
x4 |
|
|
|
0 |
х3 . Интеграл |
найден |
|||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
верно, так как производная результата равна подынтегральной функции.
|
|
3 |
|
2 |
|
Пример 3.2 Вычислить неопределенный интеграл |
|
4dx |
. |
||
|
|
|
|
||
|
|
||||
|
|
x |
x |
|
|
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию к виду степенной функции х , удобному для применения табличного интеграла 3:
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 . |
|
Здесь |
|
мы |
|
|
применили следующие |
свойства |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 x 2 |
|
|
x 5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 3 x 2 |
|
3 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
, an am an m , |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
функции: n |
am |
|
a |
|
|
a n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
степенной |
n |
. |
|
Вынося |
за знак |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
интеграла |
|
|
4 |
|
и |
применяя |
|
табличный |
интеграл |
3, |
|
|
имеем: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 3dx 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4dx |
|
|
4 x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 1 C 6x |
|
C |
|
|
|
6 |
|
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результат |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 3 x 2 |
|
|
|
|
|
|
3 x 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||
верен: ( |
|
|
|
C ) / ( 6x |
|
/ 6( |
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 ) |
|
3 |
)x |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
5 |
|
|
|
x |
|
x |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
x |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 3.3 Вычислить неопределенный интеграл x3 |
|
|
|
|
5 dx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
Решение. Используем свойства неопределенного интеграла и таблицу основных неопределенных интегралов. В нашем случае получаем:
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||
|
x3 |
6 |
x |
|
|
4 |
|
5 dx |
|
x3dx |
|
|
dx |
|
|
dx |
|
5dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x3 |
|
x |
|
|
|
|
|
x3 |
x |
|
||||||||||||||||
x3dx 6 |
|
|
|
dx |
5 dx |
x4 |
6 |
x3 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
xdx 4 |
|
4ln |
x |
5x C |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
4 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 4x x 4ln x 5x C. 4
x
Пример 3.4. Вычислить 3e2 dx.
Решение. Интегрирование показательных функций проводится также с
использованием свойств |
неопределенного интеграла и таблицы простейших |
|||||||||
|
x |
|
1 |
1 |
|
x |
|
x |
|
|
интегралов 3e |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
dx 3 |
|
|
|
e2 |
C 6e |
2 |
C. |
||
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Пример 3.4. Вычислить cos 4x cos 7xdx.
Решение. Для приведения этого и подобных ему интегралов к табличным используются тригонометрические формулы. В нашем случае удобно применить формулу преобразования произведения косинусов в сумму:
cos 4x cos7x 12 cos3x cos11x .
Тогда: cos 4x cos7xdx 12 cos3x cos11x dx 12 cos3xdx
12 cos11xdx 16 sin 3x 221 sin11x C. Ответ: 16 sin 3x 221 sin11x C.
Пример 3.5. Найти интеграл 53x dx .
Решение. Этот интеграл напоминает табличный интеграл 6 от показательной функции. Чтобы им воспользоваться, преобразуем подынтегральную функцию,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x |
|
|
a |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1х |
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
применяя формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Затем выносим множитель 3 за |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
х |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
знак интеграла и подставляем в табличный интеграл 6 вместо а число |
1 |
|
: |
3dx |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||
|
|
|
1 |
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
С . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5x ln 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Проверка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 х 1 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример 3.6. Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение. |
|
|
Преобразуем |
|
|
|
подынтегральную |
функцию, |
|
применяя |
|
формулы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
x |
ab |
x |
|
a |
x |
|
y |
a |
xy |
|
|
x |
a |
y |
a |
x y |
|
|
|
23 х 1 5 |
х |
23 х 2 15х |
|
|
|
1 8 5 х |
|
1 |
|
|
40 х |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
b |
|
|
, |
|
|
|
|
|
, a |
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x 1 |
|
|
3 3 |
x |
|
|
2 3 |
3 |
х |
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 х 1 |
5 |
х |
|
|
|
1 |
|
|
|
40 |
х |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 40 |
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
С . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
6 ln |
40 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§4. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Пример 4.1. Вычислить |
|
x3dx |
|
. |
|
|
|
||
|
|
|||
|
1 x8 |
Решение. Для вычисления данного интеграла удобно ввести подстановку:
tx4 , dt d (x4 ) (x4 ) dx 4x3dx, x3dx 14 dt, x8 (x4 )2 t 2.
Врезультате этой подстановки интеграл преобразуется к табличному:
|
|
x3dx |
|
|
|
1 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dt |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin t C. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||
1 x8 |
1 t2 |
4 |
1 t 2 |
Возвращаясь к переменной х, окончательно получаем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3dx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin x4 C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Этот же интеграл может быть вычислен методом подведения под знак |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциала: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x3dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin t C |
|
|
(arcsin x4 |
C) |
|
|
|
arcsin x4 |
C. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x8 |
1 (x4 )2 |
|
1 t2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4.2. Вычислить |
|
|
|
|
ln x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Заметим, что |
1 |
|
|
|
ln x , а значит, |
1 |
dx d ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тогда |
ln x |
dx ln xd ln x |
|
ln2 x |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 4.3. Вычислить tgxdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. tgxdx |
sin x |
|
dx |
|
cos x |
dx |
d cos x |
ln |
|
cos x |
|
C. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
dx |
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Пример 4.4. Вычислить |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. Осуществим подстановку x t 2 , X [0, ), T [0, ). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Здесь t |
x. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
d(t 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
t dt |
|
|
|
|
|
(1 t) 1 |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt 2 dt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t 2 ln 1 t C 2x 2 ln(1 x ) C.
§5. Интегрирование по частям
u(x) v / (x) dx u(x)v(x) u/ (x)v(x) dx u dv uv v du |
|
|
|
|
(5.1) |
||||||||||||||||||||
Пример 5.1. Вычислить х ln xdx dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. Пусть |
u ln x, dv хdx. |
|
Тогда |
du (ln x) /dx |
dx |
, |
dv |
х . Значит, |
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||
v х dx v |
х2 |
С . В качестве v(x) берем функцию v |
х2 |
. По формуле |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(5.1) получаем х ln x dx= |
х2 |
ln x |
х2 |
|
1 |
dx |
х2 |
ln x |
1 |
хdx |
х2 |
ln x |
х2 |
С . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
x |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|||||||||||
Пример 5.2. Вычислить x2 sin xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение: x2 sin x dx [u x2 , du 2x dx; dv sin x dx, |
dv |
sin x, v cosx] |
|||||||||||||||||||||||
dx |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 cosx 2x( cosx)dx x2 cosx 2 x cosx dx. Для |
вычисления |
последнего |
интеграла еще раз применим формулу интегрирования по частям:
x cosx dx [u x, du dx;dv cos xdx,v sin x] xsin x sin xdx
xsinx cosx C.
Следовательно, исходный интеграл равен:
x2 sin x dx x2 cosx 2x sin x 2 cosx C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример 5.3. Вычислить |
|
|
xarctgx |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
xdx |
|
|
xdx |
|
|
1 |
|
d 1 x2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
u arctgx, |
du |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
1 x2 . |
|||||||||||||
|
; dv |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 x2 |
|
1 x2 |
1 x2 |
|
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
|
xarctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||
|
dx |
1 x2 arctgx |
1 x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 x2 arctgx |
|
|
|
1 x2 arctgx ln |
x |
1 x2 |
|
C. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 x2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§6. Интегрирование простейших рациональных дробей.
Определение 6.1. Простейшими рациональными дробями называются:
1) |
|
|
|
A |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ax b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
k |
|
|
|
, n |
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(ax b)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
|
|
|
k x d |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ax2 bx c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4) |
|
|
|
k x d |
|
|
|
|
|
, n N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
ax2 bx c n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Вычисление интегралов от дробей 1), 2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Пример 6.1. 1) |
|
|
5 |
|
dx |
|
5 |
|
|
1 |
|
|
d (3x 2) |
5 |
ln |
|
|
3x 2 |
|
C. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3x 2 |
3 |
|
3x |
2 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 (2x 5)1 4 |
|
||||||||||||||||||
Пример 6.2. |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
(2x 5) 4 d(2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
5) |
|
|
|
C |
|||||||||||||||||||||||||||||
(2x 5)4 |
2 |
2 |
|
1 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
C |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 3 (2x 5)3 |
|
2 (2x 5)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Для |
вычисления |
|
|
интеграла |
|
|
|
|
|
k x d |
|
преобразуем |
правильную |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ax2 bx c |
|
рациональную дробь, выделяя квадрат суммы (разности) в знаменателе
подынтегральной функции:
Пример 6.3. Вычислить неопределенный интеграл |
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
4x 5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
arctg x |
2 C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x2 |
|
|
x 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
4x 5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример 6.4. Вычислить |
|
3x 1 |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x2 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
1 2 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|||||||
Решение. Поскольку x |
|
x |
1 x |
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
4 |
|
||||||
|
3x 1 |
|
|
3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
то |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x2 x 1 |
|
|
1 2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Далее выполним подстановку х |
1 |
t |
, х t |
1 |
, dх dt , тогда |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 dt |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dt |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt 3 |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 x 1 |
|
|
|
|
|
t2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
3 |
|
2 |
t2 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
t 2 |
3 |
|
|
|
2 |
|
t 2 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
C |
|
3 |
|
|
|
|
|
x2 x 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
C. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример. 6.5. Вычислить интеграл |
|
|
|
|
х 1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
2x 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Учитывая, |
что х2 |
|
2x 3 х 1 2 2, выполним подстановку х 1 t , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
х t 1, dx dt , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
dt 2 |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 2x 3 |
2 |
|
t |
2 |
|
2 |
2 |
t 2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
t 2 2 2 d t 2 2 |
2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
t |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
t 2 2 |
2 |
|
|
|
|
t 2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 t2 t2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t2 2 2 |
2 |
|
|
|
t2 2 2 |
|
|
2 |
|
t2 ( |
|
)2 |
|
2 |
|
|
t2 2 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
t |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
2 |
arctg |
t 2 |
|
|
1 |
I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
х 1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
|
2x |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
I . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 t2 2 2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
t2 2 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u t, dv t (t 2 2)2 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du dt, v t (t 2 2)2 dt |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
I |
t2 |
|
|
dt t t (t 2 2)2 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(t2 2)2 d (t2 2) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(t2 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (t2 2)1 2 |
C |
1 |
|
|
|
(C 0) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
2(t2 |
2) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2(t2 2) |
2 |
|
t2 2 |
2(t2 |
2) |
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
х 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
arctg |
t |
|
2 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
arctg |
t |
2 |
C |
||||||||||||||||||||||||||||||
x2 2x 3 |
2 |
2 t2 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2(t |
2) |
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
arctg |
t 2 |
|
C |
|
t x 1 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
2 |
arctg |
|
|
2(x 1) |
C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2(t2 2) |
|
|
|
|
|
|
|
2((x 1)2 |
2) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§7. Интегрирование рациональных дробей.
P x
Для нахождения интеграла от рациональной дроби следует, прежде
Q x
всего, выделить из нее целую часть (если дробь неправильная), т. е. представить ее в виде
|
|
|
|
|
|
|
P x |
M x |
R x |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Q x |
|
Q x |
|||
где M x – |
многочлен, |
R x |
|
– правильная рациональная дробь. После этого |
||||||||
Q x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
полученную |
дробь |
R x |
следует |
разложить на простейшие дроби и |
||||||||
|
|
|
||||||||||
Q x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R x
проинтегрировать в отдельности каждое слагаемое. При разложении дроби
Q x
обычно используется метод неопределенных коэффициентов. Для этого знаменатель Q x записывают в виде произведения сомножителей, каждый из которых является либо степенью линейных функций x a , либо степенью квадратичной функции х2 px q , не имеющей действительных корней. После этого приступают к нахождению простейших дробей, составляющих в сумме
данную дробь P x . Каждому сомножителю x a k разложения Q x отвечает в
Q x
P x
разложении дроби выражение вида
Q x
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
Ak |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x a |
x a 2 |
|
x a k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а каждому сомножителю х2 |
px q l – выражение вида |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
B1 x C1 |
|
|
|
|
|
B2 x C2 |
|
... |
Bl x Cl |
|
, |
|
|
||||||||||||||||
|
x2 px q |
x2 px q 2 |
x2 px q |
l |
|
|
||||||||||||||||||||||||
где A1 , A2 , ..., B1 , C1 , ... – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению. |
||||||||||||||||||||||||||||||
Для вычисления коэффициентов A1 , |
A2 , ..., |
B1 , C1 , ..., Bl |
, |
Cl все простейшие |
||||||||||||||||||||||||||
дроби в правой части равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
P x |
A1 |
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
Ak |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
... |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Q x |
x a |
x a 2 |
x a k |
|
|
(3.2) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
B1 x C1 |
|
|
|
B2 x C2 |
|
|
|
|
|
Bl x Cl |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x2 px q |
x2 px q 2 |
x2 |
px q |
l |
приводят к общему знаменателю Q x и приравнивают числители обеих частей равенства (2). Затем сравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х
(первый способ).
Можно также определять эти коэффициенты, полагая в равенстве (2), или ему эквивалентном, х равным подходяще подобранным числам (второй способ).
Пример 7.1. Представить рациональную дробь |
|
|
x 4 1 |
|
в виде суммы многочлена |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и элементарных дробей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. |
x 4 |
1 |
неправильная |
|
рациональная |
|
дробь. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x 2 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Представим ее в виде суммы многочлена и правильной |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
рациональной дроби. |
Для этого выполним деление двух |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
1 |
|
= х2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
многочленов. Значит, |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x 2 1 |
х2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= х2 1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
, так как |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
х2 |
|
|
|
х |
|
|
х |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
х |
1 |
|
х 1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пример. 7.2. Найти интеграл I |
x4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Решение. Их предыдущего примера имеем: |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
х2 1 |
х 1 |
х 1 |
Отсюда