Praktika_neopredel_integral_1_5

t сosx :

cos 2 x sin3 xdx cos 2 x 1 cos 2 x d cos x t 2 1 t 2 dt

Решение. В нашем случае подынтегральная функция четна и по синусу и по косинусу, поэтому применяем подстановку t tgx :

Пример 12.10 Найти интеграл sin2 x sin 6 xdx

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

s in 2x sin 6x 12 cos 2х 6х cos 2х 6х = 12 cos 4x cos 8x .

Значит, sin2 x sin 6 xdx = 12 cos 4xdx 12 cos 8xdx 18 sin4x

161 sin8x C.

Пример 9.8. Найти интеграл cos 2 x cos 6 xdx .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию: cos 2 x cos 6 x

12 cos 2х 6х cos 2х 6х = 12 cos 4x cos 8x . Значит,

cos 2 x cos 6 xdx = 12 cos 4xdx 12 cos 8xdx 18 sin 4x 161 sin 8x C.

5. Интегрирование произведений целых степеней синусов и косинусов

Интегралы вида sinm xcosn xdx , где m или n является нечетным

положительным числом, вычисляются с помощью подстановки t sinx , если n - нечетное число, и с помощью подстановки t cosx , если m - нечетное число. На практике можно обойтись без соответствующей замены за счет поднесения cosx (если m - нечетное число) или sin x (если n - нечетное число).

Пример 9.9. Найти интеграл sin3 xcosxdx .

Решение. Применим подстановку t sinx , так как n=1-нечетное число:

нечетное число, то можно применить также подстановку t cosx . В этом случае интеграл запишется в виде: sin3 xcosxdx t cosx, dt sinxdx =─

sin2 xcosxd cosx =- 1 cos2 x cosxd cosx =- 1 t 2 tdt =

-t t 3 dt 12 t 2 14 t4 C 14 cos4 x 12 cos2 x C.