МАТ_АНАЛІЗ_1_курс_2_семестр_Інтэграл_3

n

n

M xk

xk

b a

k 1 2M b a 2M b a

b a

b a k 1

n

2

.

f xk 1 f k f xk f k 1 f ' k

xk

дугі акружнасці x2 y 2

4 ( y

0 ) паміж пунктамі з абсцысамі x

1 і x 1.

Рашэнне. З раўнання акружнасці маем: y

4

x2 ;

dy

x

; 1

dy

2

x2

4

;

1

dx

dx

4 x2

4 x2

4 x2

dy

2

2

y

1

4

x2

2.

dx

4 x2

1

Згодна з формулай (2) атрымаем P

2

2 dx

8 .

1

x

t

,

y

t

,

t

,

прычым функцыі

t , '

t ,

t

,

' t

на адрэзку

,

непарыўныя,

' t

0 t

,

, a

, b

. У гэтым выпадку, калі ў інтэграле (2)

здзейсніць падстаноўку x

t

(пры гэтым y

t

, y 'x

'

t

,

'

t

dx

' t dt ), то атрымаем наступную формулу для вылічэння плошчы

паверхні вярчэння:

P

2

t

'2

t

'2 t

dt .

(8)

, прычым функцыі r

, r '

непарыўныя на адрэзку , . У

гэтым выпадку формула (8) прыме наступны выгляд:

P

2 r

sin

r 2

r '2

d ,

бо крывую можна задаць параметрычнымі раўнаннямі

x r

cos

, y

r

sin ,

.

Няхай маем сістэму n

матэрыяльных пунктаў A1 x1, y1 , A2 x2, y2 , … ,

y

x

A

y

O

x

Рыс. 41

Ak xk , yk , … , An

xn,

yn , у кожным з якіх сканцэнтраваны адпаведна масы

n

n

Відавочна, што Mx

mk yk , My

mk xk .

k

1

k 1

раней,

даўжыня l k

k-тага

звяна

ламанай

роўная 1

f '2

k

xk , дзе

x

k 1

k

x

k

. Відавочна,

што лік

l

k

1 f '2

x

k

m

можна

k

k

разглядаць як набліжанае значэнне масы k-тай частковай дугі Ak

1Ak

крывой

АВ.

Сканцэнтруем масу mk

у пункце Mk

k ,f

k

. Калі здзейсніць аналагічнае для

M1

1,f

1 , M2

2,f

2

, … , Mk

k ,f k

, … , Mn

n,f

n

, у кожным з

якіх сканцэнтраваны адпаведна масы m

1

f '2

1

x

,

1

1

m

1 f '2

x

2

, … ,

m

1 f '2

k

x

k

, … ,

2

2

k

m

1

f '2

x

n

.

n

n

Каардынаты xC , yC

цэнтра цяжару атрыманай сістэмы n матэрыяльных пунктаў

вылічваем па формулах (1):

n

k

1

f '2

x

k

k

xC

k 1

,

n

1

f '2

k

x

k

k

1

n

(2)

f

k

1

f '2

x

k

k

yC

k

1

.

n

1

f '2

k

x

k

k

1

Каардынаты x , y цэнтра цяжару

матэрыяльнай

крывой

АВ, відавочна,

вызначыць наступным чынам:

x

lim xC , y

lim yC .

(3)

0

0

y

y

f(x)

y

f(x)

Mk

y

(x)

y

(x)

O a x0

x1

xk 1 k

xk

b xn x

Рыс. 4.3

Адрэзак a, b

з пунктамі

a x0

x1

xk 1 xk

xn b разбіваем на n

частковых адрэзкаў. Даўжыню адрэзка

xk

1, xk

(k = 1, 2, … , n) абазначым

xk xk

xk

1 . Даўжыню найбольшага частковага адрэзка абазначым праз λ.

Праз пункты x 0 , x1, … , xk-1 ,

xk , … , xn правядзём прамыя, перпендыкулярныя

прамымі x

xk 1 , x

xk . Будзем абстрагавацца ад рэчаіснасці і заменім k-ую

элементарную фігуру

прамавугольнікам

з асновай

xk і вышынёй

f

, дзе

xk 1

xk

.

k

k

k

2

Плошча дадзенага прамавугольніка роўная

f k

k

xk .

Відавочна, што лік mk

f

k

k

xk можна разглядаць як набліжанае

значэнне масы k-тай элементарнай фігуры. Сканцэнтруем масу ў пункце

Mk

k ,

f

k

k

, які з’яўляецца пунктам перасячэння дыяганаляў

2

M1 1,

f

1

1

, … , Mk

k ,

f

k

k

, … , Mn

,

f

n

n

,

2

2

n

2

у кожным з якіх сканцэнтраваны адпаведна масы

m1

f 1

1

x , … , mk

f

k

k

xk , …,

mn

f n

n

xn .