- •Основная литература
- •Вспомогательная литература
- •Глава 1 соответствия. Действительные числа
- •§ 1. Соответствия между множествами
- •Множества и операции над ними
- •Соответствия между множествами. Взаимно однозначные соответствия.
- •§ 2. Действительные числа
- •I. Аксиомы сложения и умножения
- •II. Аксиомы порядка
- •§ 3. Модуль действительного числа
- •§ 4. Промежутки
- •§ 5. Ограниченные и неограниченные множества
- •§ 6. Действительные функции одной действительной переменной п.1. Понятие функции
- •П.2. Способы задания функции.
- •П.3. Основные свойства
- •П.4. Операции над функциями
- •П.5. Обратная функция
- •П.6. Основные числовые функции и их графики
Основная литература
1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. - М.: Наука, 1979.-662 с.
2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: В 2Т.-М.: Наука, 1968.- 440 с., 464 с.
3. Ильин В.А., Позняк З.Г. Основы математического анализа: В 2Т.-М.: ФИЗМАТЛИТ., 2002.-648 с., 464 с.
4. Бохан К.А., Егоров И.А., Лащенков К.В. Курс математического анализа: В 2Т.- М.: Просвещение, 1972.-511 с., 439 с.
5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1972.- 496 с.
6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.- М.: АСТ: Астрель., 2003.-560 с.
7. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу.- М.: Просвещение, 1973.-255 с.
8. Задачник по курсу математического анализа: В 2ч./Под ред. Н.Я.Виленкина. - М.: Просвещение, 1971.-350 с., 336 с.
9. Русак В.М. і інш. Курс вышэйшай матэматыкі.- Мн: Выш. Шк., 1994.-431 с.
10. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. - М.: Высш. шк., 1999. -694 с.
Вспомогательная литература
1. Зорич В.А. Математический анализ. - М.: Наука, 1981.-544 с.
2. Райков Д.А.Одномерный математический анализ.- М.:Выш.шк.,1982.-415с.
3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 2Т. - М.: Высш. шк., 1981.-687 с., 584 с.
4. Уваренков И.М., Малер М.З. Курс математического анализа.- М.: Просвещение, 1976.-640 с.
5. Архипов Б.М., Мазаник А.А., Петровский Г.Н., Урбанович М.И. Элементарные функции.- Мн.: Выш.шк., 1991.-140 с.
Глава 1 соответствия. Действительные числа
§ 1. Соответствия между множествами
Множества и операции над ними
Основными неопределяемыми понятиями математики являются «множество», «элемент множества». Множества представляют собой совокупность каких-либо предметов (объектов), обладающих общим свойством. Эти объекты бывают разной природы: числовые, геометрических фигур, людей и т.д. Договоримся называть их «элементами множества». Множества принято обозначать большими буквами латинского алфавита А,В, С,…, Х, У, Z, а элементы множеств – маленькими буквами латинского алфавита a, b, c, …, x, y, z. Если некоторый объект a является элементом некоторого множества A, то говорят, что «элемент а принадлежит множеству А» и обозначают а А. Таким образом, множества состоят из элементов и в зависимости от их числа бывают конечными и бесконечными, пустыми (). Для записи множеств используют фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются все элементы. Но если множество бесконечное, то перечислить все его элементы мы не сможем. В таких случаях мы будем использовать такую запись:
А= {x| свойство, которым обладают все элементы}.
В нашем курсе мы будем изучать в основном числовые множества.
Далее будем использовать следующие кванторы
общности вместо слов «для любых» или «для всех (каждого)»
существования вместо слов «существует» или «есть»
и общепринятые математические символы вместо слов:
А В «если А, то В» или «из А следует В»
А В «А тогда и только тогда, когда В» или «А равносильно В»
˄ знак конъюнкции, заменяет союз «и»
˅ знак дизъюнкции, заменяет союз «или»
Множества могут находиться или не в следующих отношениях:
пересечения – множества А и В находятся в отношении пересечения (А∩В), если существуют элементы, принадлежащие и одному и другому множествам одновременно и существуют элементы, принадлежащие только множеству А и только множеству В;
включения – множества А и В находятся в отношении включения, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, говорят, что множество А является подмножеством множества В и обозначают AB;
равенства – множества A и B называются равными (A = B), если они состоят из одних и тех же элементов.
Следствия
1.1. Каждое множество является подмножеством самого себя: A А.
1.2. Пустое множество является подмножеством любого множества A: A.
Множества A и называют несобственными подмножествами множества A, все остальные – собственными подмножествами множества A.
Операции над множествами
Пусть А и В — некоторые множества.
Определение 1.1. Объединением двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Обозначается: АВ.
На рис. 1 показано объединение множеств А и В при помощи диаграммы Эйлера–Венна.
Рис. 1
Прежде, чем рассмотреть примеры объединения множеств, заметим, что согласно определению объединения х А В х А ˅ х В.
Свойства объединения множеств
Из определения следует, что в А È А входят те же самые элементы, т.е. А È А = А. Вообще, когда B Ì A, то А È В = А. В частности, А È = А.
Операция объединения подчиняется переместительному закону:
А È В = В È А.
Операцию объединения можно распространить на любое число множеств. Когда А, В, С — три произвольные множества, то (А È В) È С есть множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А, В, С.
В общем случае объединение совокупности множеств обозначается и состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств .
Операция объединения подчиняется сочетательному закону:
(А È В) È С = А È (В È С).
Определение 1.2. Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее их тех и только тех элементов, которые одновременно принадлежат множествам A и B. Обозначается: АВ.
Согласно определению пересечения х А В х А ˄ х В.
Пересечение множеств А и В иллюстрируется на рис. 2.
Рис. 2
Свойства пересечения множеств
Очевидно, что А Ç А = А; вообще, когда В А, то В А = В. Из определения пересечения следует: А В = В А, т.е. операция пересечения коммутативна.
Имеет место и следующее равенство: А = .
Операцию пересечения легко распространить и на случай больше двух множеств. Рассмотри три множества А, В, С. Пересечение А Ç В есть множество общих элементов множеств А и В, поэтому (А Ç В) С есть множество элементов, принадлежащих одновременно трём множествам А, В, С.
Аналогично определяется и операция пересечения любого числа множеств. Из приведенного правила пересечения трех множеств следует, что операция пересечения ассоциативна: (А Ç В) С = А (В Ç С). Поэтому используется запись А Ç В С. В общем случае пересечение совокупности множеств (i = 1, 2, …, n) обозначается и состоит из элементов, принадлежащих сразу всем множествам , .
Заметим, что относительно двух операций пересечения и объединения множеств выполняются два дистрибутивных (распределительных) закона:
1) (А Ç В) С = (А С) (В С);
2) (А В) С = (А С) (В С).
Докажем второй из этих законов (первый доказывается аналогично).
Пусть х Î (А В) С. Значит, х Î А В и х Î С. Из того, что х Î А В, следует, что обязательно выполняется по крайней мере одно из двух утверждений: х Î А или х Î В. Когда х Î А, то из того, что х Î С, следует, что х Î А С. Значит, х Î (А С) (В С). Когда же х Î В, то из того, что х Î С, следует, что х Î В С, но тогда х Î (А Ç С) (В Ç С).
Таким образом, любой элемент множества (А В) Ç С является элементом и множества (А Ç С) È (В Ç С).
Докажем теперь обратное. Пусть х Î (А Ç С) È (В Ç С). Возможен один из случаев: х Î А Ç С или х Î В Ç С, т.е. х Î А и х Î С, или х Î В и х Î С. Отсюда получаем, что х Î С и х Î А В, а это свидетельствует о том, что х Î (А È В) Ç С. Таким образом, второй дистрибутивный закон доказан полностью.
Определение 1.3. Разностью двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат A и не принадлежат В. Обозначается: А \ В.
Согласно определению разности х Î А \ В Û х Î А ˄ х В.
Графическое изображение разности А \ В множеств А и В показано на рисунке 3 (заштрихованная область — это А \ В).
Рис. 3
Из определения разности следует, в частности, что А \ А = ; А \ В В \ А.
Определение 1.4. Если множество B является подмножеством множества A, то разность множеств A и B называется дополнением множества B до множества A. Обозначается:
А \ В=САВ или или
Графическое изображение дополнения множества В до множества А показано на рис. 4.
Рис. 4