МАТ_АНАЛІЗ_1_курс_2_семестр_Інтэграл_3

H

P

x2dx

P x3

H

1

V

PH .

H2

H2 3

3

0

0

Заўвага 2. Няхай функцыя f

x вызначаная, непарыўная і неадмоўная на

круг радыуса f x . Плошча P x атрыманага сечыва роўная

f 2 x :

P

f 2 x .

Калі скарыстаць тэарэму 6, то атрымаем, што цела вярчэння V

з’яўляецца

кубавальным, а аб’ём V гэтага цела вылічваецца па формуле

y

y

2 x

H

r

O

H

x

Рыс. 2.5

y

y

r 2

x2

r

O

r

x

Рыс. 2.6

y

An 1

B An

Ak

A1

A0 A

Ak 1

O a=x0 x1

xk 1

xk

xn 1 b xn x

0

ламанай.

Крывую, даўжыня якой існуе, называюць выпрастальнай.

Тэарэма.3.1 Калі функцыя f

x

непарыўная разам са сваёй вытворнай f '

x

на адрэзку a, b , то крывая АВ з’яўляецца выпрастальнай, а даўжыня яе

выражаецца формулай

b

f ' x 2 dx .

(1)

s

1

A0 x0,f x0 , A1 x1,f x1 , A2 x2,f x2

, …. , An xn,f xn .

Даўжыня lk

аднаго звяна Ak

1Ak ламанай лініі вылічваецца па вядомай

формуле

lk

xk

xk 1

2

f xk

f

xk 1

2

, k

1,

2, ... , n

(2)

Згодна з тэарэмай Лагранжа маем:

f xk

f xk 1

f '

k

xk

xk 1

f '

k

xk ,

дзе k xk 1,

xk ,

xk

xk

xk 1 .

Значыць, lk

xk

2

f '

k

xk

2

1

f '

k

2

xk .

Такім чынам, перыметр усёй ламанай A0 A1A2

... An 1An

роўны

x

R cos t , y

R sin t .

Знойдзем чацвёртую частку s1

даўжыні акружнасці. Згодна з формулай (4)

2

маем: s 4s1

' 2

' 2 dt

4

R cos t

R sin t

0

2

4

R sin t ' 2

R cos t

2 dt 4Rt

2

R .

2

0

0

Вылічэнне даўжыні дугі плоскай крывой у палярных каардынатах

Няхай крывая зададзена раўнаннем у палярных каардынатах r r

, дзе

функцыя r

і яе вытворнаяr '

непарыўныя на адрэзку

,

. Скарыстаем

x

r cos

, y

r sin .

Тады раўнанні

x r

cos

, y

r

sin

параметра

у межах

. Тады па формуле (4) знаходзім

s

r ' cos

r

sin

2

r '

sin

r

cos

2 d

r '

2

r

2 d .

y

B

A

M

P

ds

dy

dx

O a

x

x

dx b x

x

s

x

1

f '2

t dt .

a

Адсюль знаходзім

ds

1

f '2

x .

dx

З апошняй роўнасці вынікае, што

dy

2

ds

1 f '2 x

dx

1

dx

dx2 dy 2 .

dx

y

Mk 1

Mk

Mn

M1

M0

O a x0 x1

xk 1

xk

b xn x

Рыс. 3.4

a x0

x1

x2

xk 1

xk

xn

b .

Сукупнасць усіх пунктаў назавём разбіўкай Т адрэзка a, b (рыс. 39).

Абазначым

xk

xk

xk

1 (k=1, 2, … , n). Даўжыню найбольшага частковага

адрэзка абазначым праз λ. Пунктам x 0 ,

x1, ... ,

xn

на дадзенай крывой

адпавядаюць пункты M0

x0,f

x0

,

M1

x1,f

x1

, … , Mk 1 xk

1,f

xk 1

,

Mk xk ,f xk

, … ,Mn xn,f xn .

Разгледзім ламаную M0M1 ...

Mn . Плошчу паверхні, атрыманай пры вярчэнні

ламанай вакол восі Ох, абазначым праз P T . Гэта будзе сума бакавых

паверхняў усечаных конусаў. Дамовімся казаць, што плошча P T

пры

0

мае ліміт, роўны P , калі для любога ліку

0 можна знайсці такі лік

0 , што

пры любой разбіўцы адрэзка

a, b , які падпарадкоўваецца толькі адзінай

умове

, выконваецца няроўнасць

P T

P

. Запішам:

P

limP T .

0

Азначэнне. Калі існуе ліміт Р плошчы P T

пры

0 , то паверхня вярчэння

π называецца квадравальнай, а ліміт Р называецца яе плошчай.

Такім чынам, плошча паверхні вярчэння π роўная:

P

limP T .

(1)

0

Тэарэма. Калі функцыя y

f

x

на адрэзку

a,

b

мае непарыўную

вытворную f ' x

, то паверхня π, атрыманая пры вярчэнні графіка гэтай

b

x 2 dx ,

наступнай формуле: P 2 f

x

1

f '

a

г. зн.

b

P

2

y

1

y '2 dx .

(2)

a