MATAN1

c tx

ax2 bx c

(5.6)

Из (5.6) находим x

b 2 ct

r(t) - рациональная функция от t,

dx r / (t) dt .

t2 a

1 2t

1 tx

x2 x 1 (или

1 tx

x2 x 1). Отсюда

x

,

1 t 2

dx

1

t 2

t 1

dt

2

dt 2

[ интеграл 29 (§3)) ] =

1 2t

t

2

2

t

2

x2 x

(1

)

1

1

1

t

1 t 2

2

1

ln

t 1

C ln

1 x x2

x 1

C.

t 1

2

1 x x2

x 1

Третья подстановка Эйлера.

Если уравнение ax2 bx c 0 имеет действительные корни и , т.е.

ax2 bx c a(x )(x ),

то подстановка

t(x )

ax2 bx c (5.7)

рационализирует интеграл (5.4). В самом деле:

t

2

(x )

2

ax

2

bx

c a(x )(x ), x

t

2 a

r(t) - рациональная

t

2 a

52

дробь, dx r / (t) dt,

r / (t) –

рациональная дробь. Следовательно, интеграл (5.4)

I R[r(t), t(r(t) )]r / (t) dt R1 (t) dt, где R1 (t) – рациональная дробь.

5. Найти

dx

.

(x 1) x2

3x

2

Решение.

Применим третью подстановку Эйлера, так как x2 3x 2

2 t 2

(x 1)(x 2); ( 1, 2);

(x 1)(x 2) t(x 1).

Отсюда: x

,

1

t 2

2 t

2

t

2t

x2 3x 2

t

1

, dx

dt. Тогда искомый интеграл ра-

1 t 2

(1 t 2 )2

1 t 2

1 t 2

вен (1 t

2

)

2t

dt

2 dt 2t C 2

x 2

C.

t

(1

t

2

)

2

x 1

ренциалом. Пусть m, n, p - рациональные числа,

a 0, b 0. Русским матема-

тиком Чебышевым было показано, что интегралы вида

xm (a bxn )p dx

(5.7)

трех чисел

p,

m 1

,

m 1

p

является целым. Для вычисления интегралов

n

n

если p - целое число;

) a bxn t

г д е - знаменатель дроби p, если

m 1

- целое число;

n

53

)

ax n b t ,

г д е

- знаменатель

дроби p,

если

m 1

p - целое

n

число.

Рассмотрим случай ). В этом случае

dx t 1dt, xm (a bxn )p dx

t m(a bt n )p t 1dt R(t) dt, где R(t) - рациональная дробь,

так как m,

n,

p, 1 - целые числа (§4). Аналогично рассматриваются случаи

), ).

5. Вычислить интеграл

A

dx

.

x2 3

(1 x3 )5

A x 2 (1 x3 )

5

dx, т.е.

m 2, n 3, p

5

. От-

Решение. В нашем случае:

3

3

сюда

m 1

p 2 1

5

2 -

целое число. Имеем случай

).

Применяем

n

3

3

подстановку

x 3 1 t3.

Отсюда

x 3

1

, x (t3 1) 31 , dx

1

(t3 1) 31 13t2 dt

t3 1

3

4

t3(t3 1)

dt. Тогда

3

2

1

5

4

1 t

3

t 2

A (t 3 1) 3 (1

)

3 t 2 (t 3 1) 3 dt

dt t 3dt dt

t C

t

3

t

3

1

2

C

2 3x3

.

2x3 (1 x3 )2