Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный педагогический университет им. М. Танка

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MATAN1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2015

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

В самом деле, k f (x)dx k(F(x) C) kF(x) kC kF(x) C1 kf (x)dx.

Здесь C1 - произвольная постоянная, ибо С - произвольная постоянная.

6. Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций, т. е.

(f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx

Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), а G(x) - первообразная для функции g(x). Тогда функция F(x) G(x) будет первообразной для функции f(x) g(x). Значит,

f (x)dx g(x)dx [F(x) C1 ] [G(x) C 2 ] F(x) G(x) (C1 C 2 ]

F(x) G(x) C [f (x) g(x)dx.

Заметим, что свойство 6. очевидным образом распространяется на сумму (раз-

ность) конечного числа функций.

Вопросы и задания для самопроверки.

1.Дайте определение первообразной функции.

2.Приведите примеры двух различных первообразных для одной и той же функции.

	1,	x 0
3. Существует ли для функции	f (x)	x 0	первообразная?
	1,	x 0

4.В чем заключается геометрический смысл неопределенного интеграла?

5.Сформулируйте свойства первообразных для одной и той же функции.

6.Имеет ли функция f(x)= x первообразную на промежутке (-1, 1)? Если да, то найдите ее.

7.Имеет ли непрерывная на промежутке функция первообразную?

8.Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), а G(x) - первообразная для функции g(x). Будет ли функция F(x)+G(x) первообразной для функции

f(x)+g(x), функция F(x)G(x) первообразной для функции f(x)g(x), функция

F(x)	первообразной для функции	f (x)	, функция F(x)+G(x) первообразной
G(x)		g(x)

для функции f(x)+g(x), функция f(x)G(x)+g(x)F(x) первообразной для функции

f(x)g(x), функция	F(x)	первообразной для функции	f (x)G(x) g(x)F(x)	? В
	G(x)		G 2 (x)

каждом случае привести примеры.

9. Имеет ли функция f(x)=x первообразную на отрезке [-1, 2]? Если да, то най-

дите ее.

10. Приведите определение неопределенного интеграла. Сравните его с опреде-

лением первообразной и укажите, в чем отличие.

11.Сформулируйте и докажите свойства неопределенного интеграла.

12.Докажите, что если функции f(x) и g(x) интегрируемы на промежутке, то

[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx .

13.Верно ли утверждение f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dx ? Приведите примеры.

14. Возможно ли равенство [f (x) g(x)]dx [f (x) g(x)]dx ? Приведите приме-

ры.
15.Если существует	[f (x) g(x)]dx , то существуют ли интегралы

f (x)dx, g(x)dx ? Приведите примеры.

§2 Таблица основных неопределенных интегралов.

I.0 dx C.

II. 1dx x C.

x 1

III. x dx 1 C ( 1).

IV. x1dx ln x C (x 0).

dx 2 x C (x 0).

VI. ax dx

C ax loga e C (a>0, a 1).

ln a

VII. ex dx ex C.

VIII. sin xdx cos x C.

IX. cos xdx sin x C.

tgx C (x

k ).

cos

XI. sin12 xdx ctgx C (x k ).

XII.

dx arcsin x C arccos x C

arcsin x arccosx

1 x 2

XIII.

dx arcsin

C arccos

C1 (a>0, x <a).

a 2 x2

XIV.

dx arctgx C arcctgx C .

arctgx arcctgx

1 x2

XV.

arctg

arcctg

C (a 0).

a 2 x2

XVI. shxdx chx C.

shx

(ex e x )

chx

(ex e x )

XVII. chxdx shx C.

XVIII.

dx thx C,

thx

shx

chx

XIX.

dx cthx C, (x 0)

cthx

chx

shx

Часть формул этой таблицы следует непосредственно из определения интегри-

рования как операции обратной дифференцированию и таблицы производных.

Остальные формулы можно проверить. Для этого достаточно найти производ-

ную от правой части формулы и убедиться, что она совпадает с подынтеграль-

ной функцией.

Так, (arcsin

C)/

. (

и формула

a 2

XIII доказана; далее: (

arctg

C) /

, и формула XV верна.

2 x2

a 2

Докажем формулу XVIII:

ex e x /

(ex e x ) /

(ex e x ) (ex e x )(ex e x )

(thx C) /

(ex e x )2

ex e x

ch2 x

Аналогично можно доказать истинность других формул таблицы. Таблицу бу-

дем пополнять интегралами, обозначенными римскими цифрами.

§3 Общие методы интегрирования.

1. Непосредственное интегрирование.

Непосредственное интегрирование заключается в представлении искомого интеграла в виде суммы интегралов, значения которых находят, применяя свой-

ства неопределенного интеграла (§1) и формулы I-XIX (§2).

4dx

1. Найти

Решение.

x 53 . Применяя свойство 5 (§1) и формулу III

x1 x 2 3

x 53

x3 x2

(§2), получим, что

	5	1
4dx	4 x 53 dx 4x 3


x3 x2

1			C 6(	2	)x 3	C		6		C.
5				3			3
								x	2
									2
		1
	3	1

C)/ ( 6x

2)x

1 4x 53

Проверка. (

3 )/ 6(

x53

3 x2

3 x5

x3 x2

3dx

2. Вычислить

1 x

3dx

1 x

C .

Решение. Имеем:

. Значит

ln5

Мы использовали формулу VI (§2) и свойство 5 из §1.

Проверка. (

C) /

(5 x )

(ln5) 5 x ( x) / 3 5 x

ln5 5 x

ln5

3.Найти 4x 3(3x)5 2x7x3 dx .

Решение. Преобразуем подыинтегральную функцию, для чего поделим каждое

																		1							5					3								5			4	11
															x3 : 4x					3								3 2x1			3 4x								3x
слагаемое в числителе на															x3 : 4x			2		3		3x 3						3 2x1		7	3 4x							2	3x		3 2x	7 . Приме-
няя				формулу							III			и			свойства												5,			6					из			§1,		получаем:
																							5	1										4		1
		5							4				11
4 x			dx 3 x							dx 2 x									x				2									x		3
																							2											3

															dx 4												C1		3									C2
		2							3				7
		2							3				7
																					5			1									4		1
																								1											1
																		2															3
																		2															3
		11
		x				1
		x			7	1						8				9						7
2							C					8				9						7				C.
	11							3
												3x x				3 x		27					x4
						1						3x x				3 x		27					x4
				7
				7

Постоянную интегрирования можно записывать в различной форме, кроме

того, сумму нескольких произвольных постоянных можно заменять одной.

4. Найти xex2 dx .

Решение.

xex2 dx [xdx 12 d(x2 ) 12 (x2 )/ dx 12 (2x)dx] 12 ex2 d(x2 ) 12 d(ex2 )12ex2 C.

Здесь мы вынесли постоянный множитель за знак интеграла и воспользовались свойством 4 (§1) неопределенного интеграла.

			1			x2	C)		/	(	1		x2		/	1		x2	(x		2		/	1		x2	2x	xe	x2
Проверка.	(				e							e		)			e					)			e				.
Проверка.	(		2		e						2	e		)		2	e					)		2	e				.
			2								2					2								2
5. Найти		arcsin x						dx.


				1 x 2
Решение.	d(arcsin x) (arcsin x) /															dx					1			dx. Отсюда:


																				1 x2
																				1 x2

arcsin xdx arcsin xd(arcsin x) [d(arcsin x)2 [(arcsin x)2 ]/ dx

1 x2

2arcsin x d(arcsin x)] 12 d(arcsin x)2 12 (arcsin x)2 C.

Мы вновь вынесли постоянный множитель за знак интеграла и воспользовались

свойством 4 (§1).
6. Найти (2x cos x	5		arcsin x	3		)dx.

				x	2
	1 x2				2
	1 x2	1

Решение. На основании свойств 5 и 6 (§1) и формул III, IX, XIV данный инте-

грал равен сумме

2 xdx cos xdx 5												arcsin x					dx			3						dx				x2 sin x						5		(arcsin x)2							3arctgx C.

																									1 x2											2
														1 x2											1 x2											2
			1						3												1								1		3														dx

7.											dx																																			2
			2	5					3 4x	2									2	( 5)						2			2					2	x		2		dx				x	2	( 5)
			2							2									2							2					( 3 / 2)			2			2		dx					2
		x														x															( 3 / 2)
3							dx				1							x			3										2x
															arctg									arcsin									C.
	2																					2
								2					5						5													3
						3		2	x2				5						5													3
						3

					2
Здесь мы применили свойства 5, 6 (§1) и формулы XV, XIII.
8. Найти sin x cos x cos2x dx.
8. Найти sin x cos x cos2x dx.																							sin2x = 2sinx cosx x R
Решение.							Так как sin x cos x cos 2x																				1	(2 sin x cos x) cos 2x													1	sin 2x cos 2x
Решение.							Так как sin x cos x cos 2x																				2	(2 sin x cos x) cos 2x												2		sin 2x cos 2x
																											2													2

									17
=	1	(2sin 2x cos 2x)			1	sin 4x ,		то искомый интеграл равен
=	4	(2sin 2x cos 2x)			4	sin 4x ,		то искомый интеграл равен
	4				4
1	sin 4xdx [dx		1	d(4x)]			1		d(sin 4x)			1		sin 4x C. [свойство 4 (§1)].
	sin 4xdx [dx			d(4x)]					d(sin 4x)					sin 4x C. [свойство 4 (§1)].
4	4						16				16

9. Найти sin 2x cos 3x dx.										sin cos			sin( ) sin( )
9. Найти sin 2x cos 3x dx.										sin cos
											2

Решение. Имеем : sin 2x cos 3x 21 (sin 5x sin x) . Значит, искомый интеграл равен

12 sin5xdx 12 sin xdx 101 sin5xd(5x) 12 sin xdx 101 cos5x 12 cos x C

на основании свойств 4-6 (§1).

10.Найти x 4 x3 2x2 x 1dx

x2 1

Решение. Разделим числитель на знаменатель:

x4 x3 2x2 x 1

x2 1

x2 x 3

x3 3x2 x 1

3x2

3x 2

Имеем:

x4 x3

2x2 x 1

x 3

x2 1

Значит, искомый интеграл равен x2 dx xdx 3 1dx 4

x2 1

= 13x3 21 x2 3x 4arctgx C . [свойства 5, 6 (§1), формулы II, III, XIV].

11. (sin4 x cos4 x)dx [ sin4 x cos4 x (sin2 x cos2 x)2 2 sin2 x cos2 x =

=1	(2 sin x cosx)(2 sin x cosx)	1	1		2		1	1	1 cos4x	3	1
				sin		2x						cos4x,
				sin		2x						cos4x,
	2		2					2	2	4	4

							18

так как	sin2 x	1	(1 cos 2x)	]=	3	dx	1	cos4xdx	3	x	1	sin 4x C.
		2							3
		2			4		4		4		16

12. (cos4 x sin4 x)dx (cos2 x sin2 x)(cos2 x sin2 x)dx

=cos 2x cos2 x sin2 x =

=cos2xdx 21 cos2xd(2x) 21 d(sin 2x) 21 sin 2x C.

13. Вычислить

4 sin2 x 5cos2 x

dx.

1 cos2x

Решение.

Преобразуем подынтегральную функцию:

4(1 cos2 x) 5cos2 x

4 9 cos2 x

cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x

2 cos2 x

cos2 x

Значит, искомый интеграл равен

dx 2tgx

[свойство 6 (§1); интегралы

cos

III, X].

14.

cos2 x sin2 x

[свойство 6 (§1); инте-

sin

x cos

cos

x sin

sin

cos

гралы X, XI]=tgx-ctgx+C.

15.

x4 dx

(x4 1) 1

(x2 1)(x2 1)

[свойства 5, 6 (§1), инте-

гралы XIV, II, III]= x3 x arctgx C .

16. Найти	2x 32x dx.
Решение.	(ax )y axy		(a b)x a x bx

Имеем: 2x 32x 2x (32 )x 2x 9x 18x . Значит, (18) x dx [ интеграл VI

(§2)]= 18x C. ln18

										ex e x 3													1
				sh3 x dx											2					dx			8			[(ex )3 3(ex )2 e x 3ex (e x )2 (e x )3 ]dx
17.				sh3 x dx																dx						[(ex )3 3(ex )2 e x 3ex (e x )2 (e x )3 ]dx
		1	e		3x	dx		3	e			x	dx			3		e				dx		1		e		x		dx				1	d(e				3x	)	3	e	x		3	e	x

		8						8								8								8										24							8				8
		8						8								8								8										24							8				8
	1			d(e			3x	)			1			e	3x			1	e		3x				3	e	x		3		e	x	C				1	ch3x				3		chx		C.
	24			d(e				)		24				e			24		e					8		e			8		e		C			12		ch3x				4		chx		C.
	24									24							24							8					8							12						4

[свойства 4-6 (§1), интеграл VII].

Непосредственно интегрируя, найти интегралы и проверить резуль-

тат дифференцированием.

1.x 7 x3 dx,

3. 1 x2 1 x2 dx

5.x6 1 dx

x3 1

7. 2x 32x 52x

9. (chx 2 sin x)dx,

11.			x 6				dx,
11.							dx,
		x 1
	(										2		ex )dx,

13.				x			x

									3		x 4
									3		x 4
15.	sin				2	x		dx,
15.	sin				2	2		dx,
						2
17.			cos 2x 1									dx,

		sin			2	x cos			2
		sin				x cos				x

19. (1 x) 3 dx, x3x5 x 2

2. 1 x2 4 dx , 21 x2

4.x4 16 dx

x2 4

6.x8 1 dx

x4 1

8. tg 2 xdx,

											1			3
				x							1			3
10.														dx,
10.														dx,
										3		x
		x3	2x2 5x 13
12.															dx,
12.						x				2	5				dx,
						x					5
									x		2		2
											2
14.		8	x											dx,
14.		8	x						x		2			dx,
									x				1
16.	cos2					x		dx,
16.	cos2							dx,
			2
18.	ctg 2				x		dx,
18.	ctg 2						dx,
			2
20.	(1 x)(1 2x)(1 3x)dx,

															20
																	2x 1 5x 1
			1 x 2							1 x 2							2x 1 5x 1
21.														dx,	22.							dx,
																				x
						1				x 4									10	x
						1				x 4									10
23.	sh 2 xdx,														24.	ch 2 xdx,
25.	(2shx 3chx)dx,														26.		x 6			dx,
25.	(2shx 3chx)dx,														26.		x	2	1	dx,
																	x		1
27.						cos 2x							dx,		28.			x3 1			dx,
27.					4	x sin					4		dx,		28.			2	x		dx,
		cos				x sin						x					x		x	1
						1			x dx,
	22x 3															sin 7x cos5x dx,
29.	22x 3						2								30.	sin 7x cos5x dx,
31.			dx					,							32.	sin x sin 3x sin 7x dx,

			2
		x		7

33.x 6 1 dx.

x2 2

2. Введение новой переменной (метод подстановки).

Пусть требуется найти g(x)dx от функции g(x), определенной на проме-

жутке Х. Предположим, что нам удалось представить функцию g(x) в виде f[u(x)] u/ (x) , где u(x) - дифференцируемая на Х функция, т.е. записать искомый

интеграл в виде g(x)dx f[u(x)]u/ (x)dx f (u)du. Тогда, если

f (u)du F(u) C,

то исходный интеграл равен

g(x)dx F[u(x)] C

(3.1)

В самом деле, (F[u(x)] C)/ F/ [u(x)] F/ (u) u/ (x) f[u(x)] u/ (x) g(x). Этот метод называют также способом подведения вспомогательной переменной u

под знак дифференциала. Он применяется, если интеграл f (u)du найти про-

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.201685.5 Кб30lopatina_l_v_priemy_obsledovaniya_doshkolnikov_so_stertoi_fo.doc
#
17.11.2019149.69 Кб5Mars Science Laboratory.docx
#
18.03.201561.65 Кб37martynova (1).docx
#
08.11.20191.7 Mб18Mass_Media_print1.doc
#
18.03.20155.49 Mб8Master We Lead.doc
#
18.03.20151.25 Mб8MATAN1.pdf
#
18.03.20153.16 Mб143matematika.docx
#
25.09.201942.83 Кб0Materiales para el examen.docx
#
25.11.2019160.67 Кб0Materialy_EKONOMIChESKAYa_TEORIYa.docx
#
25.11.201959.29 Кб1Materialy_po_FILOSOFII (1).docx
#
15.09.2019197.12 Кб1mchp.doc