1. Алгоритм выбора критерия.
2. Сравнение средних независимых выборок.
3. Сравнение средних попарно-зависимых выборок.
1. В математической статистике разработан ряд критериев (параметрических и непараметрических) для сравнения средних арифметических.
Выбор критерия зависит от следующих условий:
1) объёма выборки (большие или малые);
2) законов распределения исследуемых совокупностей (нормальные, другие);
3) степени независимости выборок (зависимые, независимые);
4) известны или неизвестны генеральные дисперсии;
5) одинаковы или различны генеральные дисперсии;
6) возможна ли количественная или только качественная оценка рассматриваемого явления.
К параметрическим критериям для сравнения двух средних арифметических относятся критерии t для независимых и попарно зависимых выборок, имеющие распределение Стьюдента, а также критерий z, имеющий нормальное распределение. Последний разработан для сравнения двух средних арифметических независимых нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны. Так как в задачах из области физической культуры и спорта дисперсии генеральных совокупностей обычно неизвестны, критерий z для малых выборок не используется. Его рекомендуется использовать в качестве приближённого критерия для сравнения больших независимых выборок, имеющих любой закон распределения, так как для больших выборок (n≥30) выборочные средние арифметические распределены приближённо нормально, а выборочные дисперсии приближённо равны генеральным дисперсиям.
Из существующих непараметрических критериев наиболее мощными являются X-критерий Ван дер Вардена для независимых выборок и U-критерий Уилкоксона для попарно зависимых выборок.
2. При сравнении средних независимых выборок рекомендуется поступать следующим образом:
1) Каждая в отдельности выборка проверяется на нормальность распределения по критерию Шапиро и Уилка
.
В случае, если обе выборки распределены нормально, следует переходить к следующему пункту, в противном случае – к п. 4.
2) Сравниваются дисперсии выборок
.
В случае равенства дисперсий следует переходить к следующему пункту, в противном случае – к п. 4.
3) Для сравнения средних арифметических используется критерий Стьюдента
.
Сравнение окончено.
4) Для сравнения средних арифметических используется критерий Ван дер Вардена
.
Сравнение окончено.
3. При сравнении средних попарно зависимых выборок рекомендуется поступать следующим образом:
1)
Составляется выборка разностей парных
значений
.
2) Составленная выборка проверяется на нормальность распределения по критерию Шапиро и Уилка. В случае, если выборка распределена нормально, переходим к следующему пункту, в противном случае – к п. 4.
3) Для сравнения средних арифметических используется критерий Стьюдента
.
Сравнение окончено.
4) Для сравнения средних арифметических используется U-критерий Уилкоксона. Сравнение окончено.
Контрольные вопросы для самопроверки:
1. Какие условия определяют выбор критерия для сравнения средних арифметических двух выборок?
2. Какие параметрические и непараметрические критерии используются для сравнения средних арифметических двух выборок?
3. Какие критерии в каких случаях используются для сравнения средних независимых выборок?
4. Какие критерии в каких случаях используются для сравнения средних попарно зависимых выборок?
Литература:
1. Основы математической статистики. Уч. пособие для ин-тов физической культуры (под общ. ред. В.С. Иванова). – М.: Физкультура и спорт, 1990. – С. 90 – 103.
2. Рукавицына С.Л., Волков Ю.О., Солтанович Л.Л. Спортивная метрология. Проверка эффективности методики тренировки с применением методов математической статистики. Практикум для студентов БГУФК. – Минск: БГУФК, 2006. – С. 62.
3. Гинзбург Г.И., Киселев В.Г. Расчетно-графические работы по спортивной метрологии. – Минск: БГОИФК, 1984. – С. 34 – 35.
ЛЕКЦИЯ 10.
Тема: Сравнение средних арифметических по данным малых выборок. Расчёт и построение доверительных интервалов.
Вопросы для рассмотрения: