Строительная_Информатика (заочники)
.pdf
20.01.2013
На четвертом этапе МКЭ уравнения равновесия отдельных КЭ объединяют в одну систему. При этом матрицы жесткости КЭ суммируют и получают глобальную матрицу жесткости. Необходимо также выполнить условия равновесия сил, учесть граничные условия (статические и кинематические).
Получим систему линейных уравнений для всего тела (конструкции).
241
20.01.2013
K q P ,
где P , q – векторы узловых сил и перемещений всего тела;
K – глобальная матрица жесткости Матрица K имеет размерность nm nm, где n – число КЭ, а m – число узлов. Она имеет много нулевых элементов.
На следующем этапе полученную систему линейных уравнений решают относительно узловых перемещений прямыми или итерационными методами.
242
20.01.2013
На последнем этапе из полученного распределения перемещений по расчетной области, можно с помощью обычных уравнений теории упругости найти распределение напряжений и деформаций.
243
20.01.2013
|
u1 |
|
В качестве примера |
|
|
|
|
x=0 |
N1 |
1 |
применения МКЭ рассмотрим |
||||
|
|
стержневой КЭ с двумя |
|
|
|||
|
|
|
|
узлами, нагруженный силами |
|||
|
|
|
|
N1 и N2, работающий на |
|
|
|
l |
|
|
γA |
растяжение-сжатие. |
|
|
|
|
|
|
|
- объемный вес стержня. |
|
||
|
|
|
|
A - площадь сечения. |
|
|
|
|
|
|
|
В каждом узле одна степень |
|
||
x=l |
|
|
|
свободы. Вектор узловых |
T |
||
N |
2 |
2 |
перемещений КЭ: |
|
,u2 |
||
|
|
|
q |
u1 |
|
||
|
u2 |
|
Вектор узловых сил: |
|
|
|
|
|
x |
|
P N1 , N2 T. |
|
|
|
|
244
20.01.2013
Перемещение в произвольной точке с координатой x аппроксимируем линейной
функцией u( x) 1 2 x,
где α1, α2 – постоянные коэффициенты.
|
|
|
|
|
|
|
В матричной записи: u 1 |
|
|||||
x |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
или |
|
|
|
|||
u |
F |
, |
|
|
|
|
где |
F 1 |
x |
- матрица базисных |
|||
|
функций; |
|
|
|
||
|
1 , 2 T |
- вектор постоянных. |
||||
245
20.01.2013
Получим выражение для вектора .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
u |
|
1 |
|
0 |
|
|
1 или q C , |
|
1 |
|
|
l |
|
|
|||
|
u2 |
1 |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
С |
1 |
0 |
|
- матрица узловых |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
l |
|
|
|
|
координат. |
|
1 |
l |
0 |
|
||
1 |
|
|
|||||
Отсюда C |
q |
|
|
|
|
|
q . |
|
l |
||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
||
Подставим в u :
246
20.01.2013
u F C |
q 1 |
x |
1 |
|
|
|
l |
0 |
q . |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
||||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||
Ф F C |
1 |
x |
1 |
|
l |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||||
l x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
l |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и тогда |
|
u Ф q . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
или координатные |
||||||||||||||||
Ф - функции формы |
||||||||||||||||||
функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
247
20.01.2013
Найдем выражение для деформаций:
|
x |
du |
|
|
или |
|
x A Ф q , |
||||||||||
|
dx |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
dx |
x и |
|
|
|
||||||||
Обозначим |
|
l |
0 |
||||||||||||||
B A Ф A 1 |
x |
1 |
|
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
0 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|||||||
l |
0 |
|
тогда |
|
|
B q . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
248
20.01.2013
Найдем выражение для напряжений: Из закона Гука σx = Eεx имеем
x D ,
где [D] = [E], E – модуль упругости
материала стержня.
D B q .
Из принципа возможных перемещений получим коэффициенты жесткости и уравнения равновесия стержневого КЭ.
249
20.01.2013
Работа внутренних сил равна работе внешних (нагрузки в узлах + сила тяжести)
T dv q T P |
u T dv. |
VКЭ |
VКЭ |
Подставляя ранее полученные выражения
T q T B T , u T q T Ф T , D B q
получим
q T B T D B dv q q T P q T Ф T dv
VКЭ |
VКЭ |
B T D B dv q P Ф T dv.
VКЭ |
VКЭ |
250