1.3. Производная

Производная функции.Пусть задана некоторая произвольная функцияY=f(х), рис. 1.4, а.

Производной функции df(x)/dxилиfявляется предел, к которому стремится отношение приращения функцииf(x)=f(x+x)–f(x) к приращению аргументаxприxстремящемся к нулю:

df(x)/dx = f = lim (f(x+x) – f(x))/x = lim f/x. (1.10)

x0 x0

Из геометрических построений очевидно, что производная равна тангенсу угла наклона касательной в рассматриваемой точке, рис. 1.4, б: f/х это тангенс угла. При стремлениих к нулю точка А будет стремится к точке О, а уголбудет стремится к углу касательной.

Вбольшинстве случаев в физике имеют дело с величинами, изменяющимися со временем. В этом случае производная по времени имеет специальное обозначение в виде точки над обозначением величины, напримерV будет обозначать производную от скорости по времени.

Если берется производная от производной, то она называется второй производной от исходной величины, например,d(df/dt)/dt=d²f/dt²=f.

Производная вектора. Очевидно, что если вектор записан через его проекции на оси координат (1.5), то его производная будет:

a=a_xe_x+a_ye_y+a_ze_z, (1.11)

поскольку единичные вектора по осям координат не изменяются. В тоже время, как отмечалось ранее, любой вектор можно записать через его единичный вектор (1.1): а = аe_a. Поскольку от времени в общем случае могут зависеть как модуль а– а(t), так и направлениеа–e_a(t), то для производной вектора нужно написать:

a(t) = а(t)e_a(t) + а(t)e_a(t). (1.12)

В этом выражении первое слагаемое представляет собой производную модуля вектора aумноженную на единичный векторe_aи направлено так же, кака. Второе же слагаемое равно модулю вектораа,умноженному на производную единичного вектора в рассматриваемый момент времени.

Очевидно, что единичный вектор может изменяться только по направлению, то есть только поворачиваться. Если за промежуток времениtединичный векторe_a(t) повернется на угол, рис. 1.5. При малом угле модуль вектораe_aбудет примерно равен углу, причем, чем меньше угол, тем точнее будет выполняться равенствоe_a. Таким образом, векторe_aможно записать через его единичный вектор:

e_a e_e. (1.13)

При 0 единичный векторe_eбудет стремится к направлению перпендикулярномуe_a(t) то естьe_. Производная вектораe_a(t) согласно определению равна:

de_a(t)/dt=lime_a/dt= (lim/dt)e_= (d/dt) e_= e_(1.14)

t 0 t 0

Величина =d/dtявляется угловой скоростью вращения вектораа, векторe_лежит в плоскости, в которой происходит вращение и направлен в сторону вращения.

1.4. Траектория, путь, перемещение, скорость

В декартовой системе координат положение тела в каждый момент времени определяется тремя координатами x, y, z или радиус-вектором r . Число независимых координат, полностью определяющих положение тела, называется числим степеней свободы. Для материальной точки оно равно трем. Таким образом, для материальной точки в общем случае задача кинематики сводится к определению x(t), y(t) и z(t) или r(t).

П

Y 1

s

r 2

r₁

r₂

Х

Рис. 1.6.

ри своем движении материальная точка движется вдоль некоторой линии, называемойтраекторией, рис. 1.6. По виду траектории можно выделить два частных случая движения: прямолинейное движение и движение по окружности определенного радиуса. В общем случае криволинейного движения в каждый момент времени можно считать, что движение происходит по окружности, касательной к траектории в данной точке. Расстояние, пройденное точкой по траектории, называетсяпуть(s). Путь это скалярная величина.

Перемещением называется вектор r, проведенный из начальной точки пути, например точки 1 на рис. 1 в точку 2. Очевидно, что

r= r₂–r₁ = r(t+t) –r(t) (1.15)

для малых перемещений. Величина

V_ср=s/t(1.16)

носит название средней скорости, которая равна пути, деленному на время, за которое этот путь пройден.

Мгновенная скоростьв физике является вектором и определяется как

V = lim r/t = dr/dt, (1.17)

t  0

то есть, является производной по времени от радиус-вектора материальной точки. Можно показать, что для модуля скорости справедливо равенство:

V=ds/dt. (1.18)

Для малого перемещения, исходя из (1.15.) можно записать: dr =Vdt.

Вектор скорости можно записать через его проекции на оси координат:

V=V_xe_x+V_ye_y+V_ze_z=dr/dt= (dx/dt)e_x+ (dy/dt)e_y+ (dz/dt)e_z. (1.19)

То есть проекции вектора скорости на оси координат равны производным по времени соответствующих координат. Модуль скорости

. (1.20)

Таким образом, если известен закон изменения координат, в каждый момент времени мы можем определить значение скорости точки.

Сдругой стороны, зная значение скорости материальной точки в каждый момент времени, можно найти пройденный путь. Разобьем промежуток времени, за который надо определить пройденный путь наN

Рис. 1.7 . Рис. 1.8.

равных промежутков t= (t₂ –t₁)/N(рис. 1.7). Весь путь сложится из путей, пройденных на отдельных участках:

N

s = s₁ + s₂ + s₃ + … s_N = s_i . (1.21)

i=1

Для пути на каждом участке можно написать s_iV_it_iи тогда (1.21) примет вид:

N

sV_it_i, (1.22)

i=1

или устремив Nк, (илиtк 0) получим точное равенство:

N t₂

s = lim  V_it_i = V(t)dt. (1.23)

i=1 t₁

Полученное выражение является определенным интеграломот функцииV(t)взятым на интервале отt₁доt₂. Из рис. 1.7 видно, что пройденный путь (интеграл от скорости) численно равен площади под кривой. Пользуясь (11), можно определить среднее значение скорости за промежуток времени отt₁доt₂:

t₂

<V> = s/(t₂ – t₁) = V(t)dt/(t₂ – t₁). (1.24)

t₁

Аналогичным образом находятся средние значения любых функций.