29) Условная максимизация

Этот способ использует тот факт, что различные критерии обычно не равнозначны между собой, одни из них более важ­ны, чем другие. Здесь выделяется основной, главный критерий, а остальные рассматриваются как дополнительные.

Задача выбора, формулируется как задача нахождения условного экстремума основного критерия:

x^* = arg {max q₁(x) /qi(x)=Ci},

xX

при условии, что дополнительные критерии остаются на заданных им уровнях, где через f (х)обозначен основной критерий;q.(x) - вспомогательные или второстепенные критериальные функции.

В некоторых задачах оказывается возможным или даже необходимым задавать ограничения на сопутствующие критерии не столь жестко как в (4). Например, если сопутствующий критерий характеризует стоимость затрат, то вместо фиксации затрат разумно задавать их верхний уровень, т.е. формулировать задачу с ограничениями типа неравенств:

x₂^* = arg {max q₂(x) / q₁(x) C1}.

xX

Здесь мы переходим к задаче математического программирования (линейного или нелинейного, в зависимости от вида q₂(x)).

На рис. 1а приведено решение задачи .

В приведенных выше примерах различие между основным и дополнительными критериями выглядит слишком сильным. Возможен другой вариант этого метода - метод уступок.

Пусть частные критерии упорядочены в порядке убывания их важности. Возьмем первый из них и найдем наилучшую по этому критерию альтернативу. Из рис. 2 видно, что если самым важным является критерий q₂наилучшая альтернатива - этох₂*, если же самым важным является критерийq₁, то наилучшая альтернатива -х₄. Затем определяется «уступка»q_i, т.е. величина, на которую мы готовы уменьшить достигнутое значение самого важного критерия, чтобы за счет уступки попытаться увеличить значение следующего по важности критерия. На рисунке - альтернативы, полученные таким образом, изображены точкамих₃*их₅*.

30) Нахождение множества Парето

К анализу многокритериальных задач можно подойти и с других позиций: попытаться сократить множество исходных вариантов, т.е. исключить из неформального анализа те варианты решений, которые будут заведомо плохи. Один из подобных путей был предложен итальянским экономистом В. Парето в 1904 г.

Этот способ многокритериального выбора состоит в отказе от выделения единственной «наилучшей» альтернативы и соглашения о том, чтопредпочтение одной альтернативе перед другой можно отдавать только если первая по всем критериям лучше второй.Если же предпочтение хотя бы по одному критерию расходится с предпочтением по другому, то эти альтернативы признаются несравнимыми. В результате попарного сравнения альтернатив все худшие по всем критериям альтернативы отбрасываются, а все оставшиеся несравнимые между собой (недоминируемые) принимаются. Далее, если все максимально достижимые значения частных критериев не относятся к одной и той же альтернативе, то принятые альтернативы образуютмножество Паретои выбор на этом заканчивается.

На рис. 4 выделено множество Парето. При необходимости же выбора единственной альтернативы следует привлекать дополнительные соображения: вводить новые, добавочные критерии и ограничения, либо бросать жребий, либо прибегать к услугам экспертов.

Этот подход годится для выпуклых множеств ( множество Парето не всегда является выпуклым) рис.5.

Примером множества Парето может служить диаграмма «грузоподъемность-дальность» для транспортных средств (рис.6).