10973

~ 120 ~

Рис. 6.11. Исходное изображение (а) и изменение локальной фрактальной размерности D (б) профиля дна Рыбинского водохранилища

~ 120 ~

На рис. 6.10 показано асимптотическое поведение зависимости R/S в билогарифмических координатах для ряда, отобразившего нижегородский рельеф, изображенный на рис. 6.9. Этой зависимостью определяется показатель Херста Н, который получен примерно равным = lg( ∕ )∕ lg ≈ 0,40.

Рис. 6.10. Асимптотическое поведение отношения R/S:

1 – для нижегородского рельефа, представленного на рис. 6.9; 2 – для модельного рельефа, представленного на рис. 6.5 б; 3 – для случайного процесса с независимыми значениями и конечной дисперсией, представленного на рис. 6.5 а; 4 и 5 – теоретические границы персистентности [Копосов, 2009 (2)]

Результат анализа свидетельствует, что поверхность нижегородского рельефа является фрактальной. Ее локальная фрактальная размерность ориенти-

ровочно равна D = d – H = 3 – 0,40 = 2,60 [Копосов, 2009 (2)].

Рельеф дна Рыбинского водохранилища. Тем же R/S методом исследо-

ван донный рельеф Рыбинского водохранилища, цифровая модель которого изображена на рис. 6.2. [Красильников, 2018]. Дно водохранилища – это затопленное при НПУ = 102,0 м БС пойменное междуречье рек Волги и Шексны с отметками в руслах около 86,0 м БС.

Для оценки степени неоднородности дна водохранилища применялся постворовый анализ его фрактальных размерностей. На рис. 6.11а воспроизведен поперечный профиль дна в одном из створов. Проходя профиль с правого берега на левый, при ширине водохранилища 50 км между горизонталями 102,0 м БС на берегах, имеем 50 измеренных отметок дна в Балтийской системе высот (табл. 6.3).

~ 121 ~

Таблица 6.3

Координаты поверхности дна Рыбинского водохранилища (от правого берега в створе, показанном на рис. 6.11а)

На рис. 6.11б приведены данные о фрактальных размерностях поверхности дна в рассматриваемом створе (D = 3 – H, где H – показатель Херста), определенные на интервалах длиной по 10 км. Можно видеть, что эти размерности отражают особенности донного рельефа. Так в левой части рис. 6.11б, где проходит русло р. Волги с крутыми берегами, фрактальная размерность рельефа увеличивается до значения D = 2,676, в то время как затопленная пойма в междуречье Волги и Шексны характеризуется величиной D около 2,4.

Рис. 6.12 содержит результат фрагментарного анализа отношения R/S для разделенного на интервалы l разной длины 50 – километрового ряда отметок дна. Прямая в координатах lg( / ) − lg указывает на то, что дно Рыбинского водохранилища – фрактальная поверхность с показателем Херста H≈ 0,5 и

~ 122 ~

локальной фрактальной размерностью D ≈ 2,50, что согласуется со статистической независимостью значений отметок дна.

Рис. 6.12. Отношение R/S как функция интервалов l для рельефа дна Рыбинского водохранилища

Закончим тему на оптимистической ноте: пока не опробован, но определенно имеет перспективу метод изучения подводного рельефа водохранилищ с позиций фрактальной геометрии для оценки динамики морфометрических параметров.

6.5. Фрактальные параметры водохранилищ: практический аспект

Рассуждения о фрактальных свойствах береговой линии (глава 4), водного зеркала (глава 5), подводного рельефа (глава 6) завершим итоговой сводкой фрактальных параметров водохранилищ Верхней Волги [Баринов, 2019].

В табл. 6.4 приведен типичный перечень публикуемых справочных (проектных) данных о водохранилищах [Вода России. Водохранилища, 2001; Водохранилища Верхней Волги, 2008; Реки и озера, 2012]. В подобных перечнях будут уместными сведения о фрактальных параметрах водохранилищ.

Втабл. 6.5 сведены значения фрактальных размерностей береговых линий

икоэффициентов плановой формы верхневолжских водохранилищ, приблизительно определенные на основе топографических карт масштаба 1:500000 (см.

табл. 4.3, 5.3, 6.1).

Втабл. 6.6, как образец, дана полная сводка вычисленных фрактальных параметров Рыбинского водохранилища [Красильников, 2018].

~123 ~

Таблица 6.4 Справочные (проектные) данные о водохранилищах Верхней Волги

[Вода России. Водохранилища, 2001; Водохранилища Верхней Волги, 2008; Реки и озера, 2012]

Таблица 6.5

Фрактальные размерности береговых линий и коэффициенты плановой формы водохранилищ Верхней Волги, определенные на базе топографических карт масштаба 1:500 000

~ 124 ~

Табл. 6.6 Сводка фрактальных параметров Рыбинского водохранилища

Как длина береговой линии с площадью водного зеркала, так и фрактальные параметры водохранилищ, изменяются с течением периода эксплуатации.

Для пяти водохранилищ Верхней Волги (кроме Верхневолжского), как сообщалось в разделе 6.1, сформирована база цифровых моделей рельефа по состоянию на 2010 г. [Красильников, 2013; Свидетельство, 2014]. К настоящему времени фрактальные параметры верхневолжских водохранилищ уточнены на базе ЦМР. Этими данными пополнена количественная информация в ГИС «Морфометрия водохранилищ», используемой Верхневолжским БВУ при организации водохозяйственной деятельности [Баринов, 2019]. Включение фрактальных параметров в число морфометрических показателей водохранилищ ведет к повышению корректности их анализа, моделирования и прогнозирования, к повышению объективности и адекватности информационной поддержки жизненного цикла водохранилищ. Пока неясно, проявят ли интерес к информации о фрактальных параметрах водохранилищ другие БВУ Агентства водных ресурсов МПР России.

~ 125 ~

Глава 7

Временные ряды данных

Совокупность данных измерений какой-либо одной характеристики ка- кого-либо процесса в течение какого-либо периода времени представляет собой временной ряд.

Во временные ряды могут выстраиваться, например, следующие эмпирические данные: температура воздуха; расходы воды в реке (или объемы стока); значения уровней воды в водоеме при внутригодовых и многолетних колебаниях; параметры процесса переформирования берегов водохранилища и т.п.

Временной ряд стационарен, если порождающий его механизм не меняется при сдвиге во времени.

В этой главе мы опишем и обсудим традиционные методы анализа и фрактальный анализ временных рядов данных.

7.1. Традиционные методы анализа временных рядов

Теоретической базой для анализа временных рядов явилась теория случайных процессов [Свешников, 1968; Андерсон, 1976].

Случайные процессы представляют собой семейство случайных функций X(t), зависящих от одного параметра, которым в нашем случае является время. На практике непрерывный ряд представляется таблично в виде дискретной численной последовательности.

Существуют две основные цели анализа временных рядов:

–определение природы ряда (описание свойств ряда и выделение адекватной модели);

–прогнозирование (предсказание будущих значений временного ряда по настоящим и прошлым значениям).

В центре внимания исследователей находятся обычно общие закономерности (тренды), скрытые в эмпирических данных.

Трендом (или тенденцией) называют неслучайную медленно меняющуюся составляющую временного ряда, на которую могут накладываться случайные колебания и сезонные эффекты. Это понятие используется во многих методах анализа, в основе которых лежит разложение временного ряда на несколько компонент, одна из которых является в определенном смысле доста-

~126 ~

точно гладкой, отражая глобальную направленность процесса, а остальные компоненты характеризуют воздействия случайных факторов [Гелашвили,

2013].

Среди традиционных методов выявления тренда временных рядов проще других метод сглаживания (с его разновидностями) [Андерсон, 1976; Кобзарь, 2006; Sivakumar, 2016]. Сглаживание всегда включает какой-либо способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга. Например, некоторые монотонные ряды можно хорошо сгладить линейной функцией. Понятно, что результаты трендового анализа будут зависеть от периода наблюдения.

Сказанное иллюстрируется примером трендового анализа векового хода температуры воздуха в г. Нижнем Новгороде (рис. 7.1). В период 1910 – 1934 гг. можно сделать вывод о похолодании, в период 1945 – 1970 гг. о стабильности температурной обстановки, в период 1990 – 2000 гг. о потеплении. Тренд за период 1880 – 2000 гг., если его провести, укажет на некоторое повышение годовой температуры воздуха [Мокеева, 2005].

Рис. 7.1. Скользящие 10-летние средние значения векового хода температуры воздуха в г. Нижнем Новгороде [Мокеева, 2005; Гелашвили, 2013]

Для прогнозирования составляющих берегового процесса на эксплуатируемых равнинных водохранилищах опробовалось параболическое, логарифмическое, полиномиальное преобразование временных рядов данных [Епи-

шин, 1979].

Решение названной задачи при значительной продолжительности инструментальных наблюдений за берегом и зафиксированной однонаправлен-

~ 127 ~

ностью берегового процесса продуктивно осуществлялось адаптивным методом [Громов, 2013]. В основу метода положена идея учета множества экспертных заключений в виде гипотетических трендов динамики процесса.

Структура модели имеет вид y = f(t), где y – вектор характеристик процесса (отступание бровки берега, объем размытой породы, ширина береговой отмели и т.д.), t – время, f – некоторая функция. Из наблюденных величин составляется временной ряд, который равномерно (∆t = 1) табулируется на временном интервале от t1 до tn до вида

по данным обучающей выборки строится набор аппроксимирующих трендов

с вычислением нормированных весовых коэффициентов Wj(t) каждого из них, затем выводится средневзвешенное выражение модельного временного ряда

после чего оценивается относительная ошибка моделирования. В случае качественного моделирования формируется адаптивный прогноз на срок tр в виде средневзвешенного выражения экстраполированных значений ряда

Механизм использования весовых коэффициентов Wj(t) и адаптация (самоприспособление) к мнению «экспертов» на интервале экзаменационной выборки ( 1 + ) < ≤ позволяют достичь наилучшей экстраполяции данных за пределы ( 1 + ) обучающей выборки.

Подробно адаптивный метод описан в статье [Громов, 2013]. В разделе 8.5 помещен пример приложения метода к оценке темпов берегопереформирования на Волгоградском водохранилище.

Следует заметить, что результаты построения тренда разными методами могут значительно различаться, создавая искаженный образ действительности и проистекающего из нее будущего.

Традиционные методы анализа успешно реализуют вторую из вышепоставленных целей: предсказание будущих значений ряда. В то же время, тренд ничего не говорит о том, насколько устойчив ряд, а именно: сможет ли имеющаяся тенденция (рост или спад) продолжиться в будущем или нет? Информативнее в этом отношении оказывается фрактальный анализ временных рядов данных [Гелашвили, 2013].

~ 128 ~

7.2. Фрактальный анализ временных рядов

Многие ряды эмпирических данных обнаруживают фрактальные свойства, могут быть исследованы с помощью методов фрактального анализа.

Одним из направлений фрактального анализа является изучение динамики во времени такой характеристики, как фрактальная размерность D.

В общем случае, имея график зависимости какой-либо величины от времени, можно формально вычислить ее фрактальную размерность клеточным методом. Но вычисляемая таким образом размерность будет зависеть от относительных масштабов по осям, так как временные ряды демонстрируют самоаффинность. Самоаффинные множества характеризуются двумя значениями фрактальной размерности – локальной и глобальной. Временной ряд конкретно характеризует локальная фрактальная размерность (см. раздел 2.2).

Проводя анализ предполагают, что временной ряд на некотором интервале масштабов самоподобен и, как следствие, процессы, идущие в настоящее время, определяются предыдущими состояниями.

Для анализа самоподобия временных рядов наиболее часто используется ме-

тод X. Херста [Hurst, 1951, 1965; Херст, 1954; Sutcliff, 2016], или как его еще называют, метод нормированного размаха (R/S). Метод основан на анализе размаха исследуемого параметра (разницы наибольшего и наименьшего значения параметра на изучаемом отрезке времени) и его среднеквадратичного отклонения. Воспроизведен в публикациях [Федер, 1991; Калуш, 2002; Бутаков, 2005; Любушин, 2006; Иудин, 2012; Гелашвили, 2013; Лепихин, 2016 и др.].

Существо метода Херста состоит в следующем.

Пусть мы имеем последовательность измерений какой-либо величины (t) при длительности исследуемого процесса T (временную серию), где t – дискретное время, принимающее целочисленные значения.

1.Временная серия делится на n неперекрывающихся интервалов равной продолжительности = /.

2.Для каждого интервала вычисляются:

–− среднее значение величины ( ) на интервале времени , равное