10973

следует, что – размерность поверхности по Хаусдорфу – Безиковичу.

Этот результат – иллюстрация одного из эмпирических правил Б. Мандельброта для фрактальных множеств: если множество является произведением двух независимых фрактальных множеств 1 и 2, то фрактальная размерность множества равна сумме фрактальных размерностей множеств 1

и 2.

Мы взяли множество точек 1, определяемое триадной кривой Коха в 2 - мерном пространстве (ее размерность D1) и построили множество умножением на множество 2 , которое представляет собой отрезок прямой длиной в 1-мерном пространстве. Таким образом, каждую точку множества 1 мы сопоставили с линией в 3 –мерном пространстве. Полученное множество имеет размерность = 1 + 2, где 2 = 1 есть размерность линии.

Подобным образом можно построить искусственные фрактальные поверхности любой размерности в пределах 2 ≤ ≤ 3, но они не будут реалистичными моделями естественных нерегулярных поверхностей [Федер, 1991].

Поверхности случайного переноса. Один из способов построения более приемлемых поверхностей заключается в добавлении к вертикальной координате ( , ), полученной после параллельного переноса фрактальной кривой, дополнительных слоев с подобными профилями, но повернутых относительно первой поверхности.

Пусть ( , ) – профиль поверхности, образованной скольжением вдоль оси фрактальной кривой размерности , лежащей в плоскости . Повернем эту поверхность в плоскости на угол ф. В результате получим поверхность ( , |ф). И, наконец, умножим вертикальную координату на множитель . Таким образом, определена поверхность( , |, ф) = ( , |ф). Используя поверхности такого профиля, можно

построить фрактальные поверхности с возвышением ( , ), определяемым как

Если сложить таким образом некоторое число слоев с фиксированным и случайными ф, то получаются поверхности, которые имеют фрактальную размерность, равную размерности производящей фрактальной поверхности,

т.е. ( ) = ( ) [Федер, 1991].

Означенным способом Е. Федер строил модели искусственных поверхностей, которые выглядят как настоящие пейзажи.

Опустив теоретические выкладки, сопровождавшие построения, мы показываем один из таких пейзажей на рис. 6.4. Чтобы подчеркнуть структуру поверхности, в картину добавлена до некоторого уровня «вода» и выбран угол

~ 110 ~

зрения с определенной высоты. Получен довольно изрезанный ландшафт с фрактальными береговыми линиями. По мнению Е. Федера такой вид вполне можно встретить где-нибудь среди гранитных скал на юге Норвегии [Федер,

1991].

Рис. 6.4. Фрактальный пейзаж, полученный как поверхность случайного переноса. Фрактальная размерность береговой линии D = 1,15 [Федер, 1991]

Поверхности случайного сложения. Непосредственно фрактальные по-

верхности позволяет строить алгоритм последовательных случайных сложений Р. Фосса. Отсылаем читателя к его компетентному описанию [Voss, 1985; Федер, 1991; Иудин, 2012]. Как пример приложения метода показываем фрактальные поверхности в виде обобщенного броуновского ландшафта, сформированные на квадратной решетке с использованием двумерного аналога алгоритма Фосса (рис. 6.5) [Копосов, 2009 (2); Иудин, 2012].

Получающийся в результате применения алгоритма Р. Фосса потенциальный рельеф ( , ) является самоаффинной поверхностью. Самоаффинность структуры рельефа подразумевает существование показателя < 1 (параметр в процедуре Р. Фосса), когда – любое действительное число из интервала 0 ≤ ≤ 1, характеризующее строение поверхности (см. рис. 6.5).

В отличие от самоподобной структуры, самоаффинная структура характеризуется двумя различными размерностями: глобальной и локальной.

Локальная фрактальная размерность D самоаффинной поверхности связана с размерностью евклидова пространства d = 3 соотношением = − , находится в диапазоне 2 < D < 3.

~ 111 ~

Глобальная размерность D характеризует структуру рельефа в асимптотике глобальных масштабов и равна = − 1, т.е. равна 2. Это означает, что на больших расстояниях самоаффинный фрактал выглядит совершенно гладким

– как рельеф на рис. 6.5в [Иудин, 2012]. Иначе – самоаффинная поверхность в глобальном смысле нефрактальна [Федер, 1991].

Программа для генерации ландшафтов. Одной из современных про-

грамм – генераторов ландшафтов является Terragen для Microsoft Windows и Mac OSX, разработанная и опубликованная Planetside Software в 2009 – 2016 гг. последовательно в четырех версиях. Она используется для создания, визуализации, анимации фотореалистичных фрактальных ландшафтов, позволяет их генерировать используя ЦМР или двумерную карту высот. На рис. 6.6 показаны созвучные тематике данной главы книги результаты работы с этой программой [http:// en. wikipedia. org/wiki/Terragen; http:// en. wikipedia. org/wiki/ Fractal_landscape].

Хотя показанные искусственные фрактальные поверхности не определяют какой-либо конкретный реальный рельеф, но нерегулярность топографии земной поверхности в широком интервале пространственных масштабов служит указанием на то, что с помощью фракталов можно строить ее полезные модели [Федер, 1991]. Нас, однако, больше интересует не построение фрактальных поверхностей, а определение фрактальных свойств реальных поверхностей и реального рельефа.

6.3. Фрактальность реальных поверхностей

Б. Мандельброт впервые обратил внимание на тот факт, что различные реальные поверхности являются фрактальными объектами [Mandelbrot, 1977; Мандельброт, 2002].

Фрактальные размерности поверхностей горных пород. Для ориенти-

ровки читателя в табл. 6.2 приведена подборка фрактальных размерностей поверхностей образцов горных пород по данным Е. Федера [1991]. В подборке встречаются поверхности с фрактальными размерностями, занимающими почти весь диапазон от D = 2 до D = 3. Но не указано что это за образцы – полученные от взрыва породы, выпиленные из массива, или какие-то еще, так что приведенные данные не имеют здесь другого значения, кроме демонстрационного.

~ 112 ~

а. =0

б. =0,5

в. =1

Рис. 6.5. Генерация броуновского рельефа с показателем 0 ≤ ≤ 1 на простой квадратной решетке 1025х1025 [Иудин, 2012]

~ 113 ~

Рис. 6.6 Примеры генерированных фрактальных ландшафтов с озером и долиной реки

[http://en.wikipedia.org/wiki/Terragen; http://en. .wikipedia.org/wiki/Fratl_landscape]

~ 114 ~

Таблица 6.2

Фрактальные размерности поверхностей образцов горных пород

Фрактальные размерности поверхности морских льдов. В публикации

[Яцевич, 2006] описано применение специально разработанной программы фрактального анализа аэрокосмических изображений земной поверхности методом «скользящего окна» (см. раздел 2.6) для определения фрактальных размерностей поверхности морских льдов.

Аэрокосмическое изображение поверхности рассматривается как объединение областей, характеризующихся конкретной фрактальной размерностью

2 D 3. Для совершенно черного изображения фрактальная размерность равна D = 2, т.е. совпадает с топологической размерностью плоскости; для изображения, имеющего одинаковую белую яркость всех пикселей, – D = 3 (топологическая размерность объема); изображения в градациях серого будут иметь дробную фрактальную размерность. Программа позволяет выделять характерные кластеры фрактальных размерностей и отображать их определенным цветом, создавая поля фрактальных размерностей.

На рис. 6.7 показаны селективные изображения поверхностей Норвежского моря с фрактальными размерностями D = 2,7 – 2,995. Изображения построены методом скользящего окна размером 8х8 пикселей. Как видно на рис.6.7, применение фрактального анализа для обработки исходного радиолокационного изображения позволило четко выделить границы лед – вода и вода – суша.

Для оценки степени неоднородности морской поверхности применен строчный анализ фрактальных размерностей исходного изображения. На рис. 6.8а показано исходное изображение поверхности со следами сечений, для которых проводился анализ изменения фрактальной размерности с

~ 115 ~

Рис. 6.7. Радиолокационное изображение поверхности Норвежского моря с искусственного спутника Земли «СИЧ – 1» (а) и селективные изображения: D = 2,7 – 2,8 (б); D = 2,8 – 2,9 (в); D = 2,9 – 2,995 (г)

~ 116 ~

Рис. 6.8. Исходное изображение (а) и построчное изменение фрактальной размерности (б) поверхности моря. На горизонтальных шкалах – километры

~ 117 ~

использованием «скользящего окна» размером 16х16 пикселей, а на рис.6.8б приведены данные о фрактальных размерностях поверхности моря в этих сечениях.

Строка 120 соответствует изображению ледового покрова при наличии тороса в левой части, где фрактальная размерность ледовой поверхности уменьшается до величины D = 2,84, в то время как среднее значение в строке составляет D = 2,93. В 315-й строке точка 96, в которой достигается минимум фрактальной размерности Dmin = 2,75, выделяет границу лед-вода. Фрактальные размерности в 600 –й строке отражают некоторые особенности поверхности воды. Кривые в 1050 –й и 1200 –й строках иллюстрируют изменение фрактальных размерностей при смещении справа налево границы море-берег [Яце-

вич, 2006].

6.4. Фрактальность реального рельефа

Реальный рельеф имеет различное статистическое поведение от места к месту, поэтому, например, песчаные пляжи не обладают теми же фрактальными свойствами, что овраги или холмы.

Рельеф территории г. Нижнего Новгорода. Обратимся за примером к работе, содержащей результаты исследования поверхности рельефа в районе слияния рек Оки и Волги в г. Нижнем Новгороде [Копосов, 2009 (2)]. Формами рельефа выделяется правобережная нагорная часть (рис.6.9). В геоморфологическом отношении она представляет собой возвышенное Окско-Волжское плато, изрезанное оврагами и долинами малых рек, с абсолютными отметками поверхности от 65 до 200 м.

Для анализа самоподобия поверхности авторами цитируемой работы [Копосов, 2009 (2)] использован R/S метод, называемый методом нормированного размаха или методом Херста [Федер, 1991; Осипов, 1999; Шредер, 2001; Иудин, 2012]. Метод изложен в разделе 7.2 применительно к фрактальному анализу рядов данных, здесь же мы вынужденно забегаем вперед, реализуя метод раньше, чем даем его описание.

Анализируется безразмерное отношение R/S на изучаемом интервале , где R( ) – размах случайной величины (наибольшего и наименьшего значения на интервале) по формуле (7.8); S( ) – ее среднеквадратичное отклонение по формуле (7.9).

Представим, что мы движемся по дневной поверхности на рис. 6.9 вдоль произвольно выбранного азимутального направления и производим последовательные определения высоты местности. Полученная последовательность измерений представляет собой случайный ряд данных (Н, м БС) – (ℓ, 104 м).

~ 118 ~

Рис. 6.9. Панорама района слияния рек Волги и Оки в г. Нижнем Новгороде (снимок начала 2010 гг.) и изометрия ландашафтных структур

[Копосов, 2009 (2)]. Выделяется рельеф нагорного правобережья

~ 119 ~