10843

91

В этом случае координаты x1 = 0, у1 = 0, x3 = 0, у3 = 2у2. Подставляя эти значения в вышеприведенные формулы получим, после соответствующих преобразований, координаты центра:

Найдём среднюю квадратическую ошибку mx0 координаты х0 , используя формулу (64):

где выражения в скобках представляют собой частные производные, а mx2 и my2 –

средние квадратические ошибки измерения х2 и у2 .

Примем mx2 = my2 = m, в результате чего, после соответствующих преобразований, получим:

и практически не зависит от величины измеряемых координат, в то время как на ошибку определения х0 оказывает существенное влияние соотношение у2 и х2 .

Для исследования этого влияния были измерены на окружности радиуса R = 5,0 (рис. 61) в условной системе х1у и в условных единицах прямоугольные координаты x2 и у2 с различным их соотношением у2/x2 : 1,0; 1,11; 1,22; 1,53; 2,0;

2,33; 3,0. Подсчитанные по формуле (66) средние квадратические ошибки mx0 ока-

зались равными: 1,02m; 1,14m; 1,29m; 1,75m; 2,69m; 3,58m; 5,83m. Как видим, при

у2/x2 = 1,0 ошибка mx0 = 1,02m, а при у2/x2 = 3,0 ошибка mx0 = 5,83m, то есть увеличилась почти в 6 раз.

По приведенным данным построен график зависимости средней квадратиче-

ской ошибки mx0 от соотношения у2/x2 (рис. 62). График наглядно иллюстрирует,

Таким образом, односторонний координатный способ определения крена заключается в том, что с одной точки стояния электронного тахеометра безотражательного типа определяют прямоугольные координаты любых трёх точек нижнего, промежуточных и верхнего наблюдаемых сечений. По координатам этих точек вычисляют (по приведенной выше методике) координаты центров наблюдаемых сечений. По координатам центров сечений можно определить частные и общий крен сооружения и его направление аналитически или графически.

Кроме того, для повышения точности и надёжности получаемых результатов количество наблюдаемых точек можно увеличить. Так, для четырёх точек получим четыре значения координат центра, для пяти – десять значений и т. д.

В общем виде математическая постановка задачи по определению положения и радиуса сечений сооружения может быть сформулирована следующим образом: на плоскости имеется некоторое количество точек, координаты которых известны. В идеале эти точки должны лежать на одной окружности, параметры которой (координаты центра и радиус) требуется определить. Если количество точек равно 3, задача имеет очевидное решение. Однако, если число точек больше, то в силу разных причин (неидеальность реальных объектов, погрешности измерений и т.п.) такой окружности может не существовать. Возникает задача подбора окружности оптимального радиуса Ropt, наименее отклоняющейся от заданных точек. Для этого следует построить функцию ошибок (например, сумму квадратов расстояний имеющихся точек от этой окружности), причём аргументами такой функции являются три параметра искомой окружности. Минимум этой неотрицательной функции (в идеале равный нулю) дает решение задачи.

В системе MatLab (Кетков Ю.Л., Кетков А. Ю., Шульц М.М. MatLab 7. Программирование, численные методы // «БХВ-Петербург». Санкт-Петербург, –2005,

93

–752 с.) поиск минимума может быть осуществлен, например, с помощью "фирменной" функции fminunc, одним из входных параметров которой является идентификатор минимизируемой функции (в нашем случае – функции ошибок).

Рис. 63. Схема моделирования по 5 точкам на одной окружности

Следует сказать, что поставленная задача также может иметь одно очевидное решение даже при количестве точек больше 3 при условии, что эти точки лежат на одной окружности и их координаты определены безошибочно. Такой вывод был подтверждён соответствующими результатами моделирования, которое заключалось в измерении в ArchiCAD-11 (рис. 63) в условной системе и условных единицах координат пяти точек 1, 2, 3, 4, 5 (графы 2, 3, 4, 5, 6, 7 табл. 12).

Затем, по специально разработанной в системе MatLab программе, были подсчитаны координаты центров сечений и их радиусы (графы 8, 9, 10 табл. 12) для 10 различных сочетаний из пяти этих точек по три и построены окружности. Результаты моделирования показали, что для всех 10 сочетаний получены практически одни и те же значения координат центров и радиусов сечений, а все построенные окружности слились в одну, в том числе и окружность радиуса Ropt (рис. 63).

Однако в большинстве случаев, если реальные точки не слишком сильно отклоняются от одной (пока неизвестной) окружности, то её параметры можно с достаточной точностью найти не прибегая к "тяжелой артиллерии" в виде MatLab.

94

Проведенные авторами численные эксперименты показывают, что хорошим приближением к идеалу дает метод "средних по тройкам".

В этом случае перебираются все сочетания по 3 из имеющихся n точек. Для каждой тройки вычисляются параметры окружности, проходящей через эти три точки и затем найденные параметры усредняются.

Т а б л и ц а 12

Результаты моделирования по 5 точкам в ArchiCAD-11

Ниже приводится пример такого рода с условными, нарочито довольно "плохими" данными (координатами xi и yi) для 5 точек (графы 2, 3, 4, 5, 6, 7 табл. 13).

По этим данным были подсчитаны координаты центров сечений и их радиусы с округлением результатов до одной цифры после запятой (графы 8, 9, 10 табл. 13 ) для 10 различных сочетаний из пяти этих точек по три и построены окружности, в том числе средняя и оптимальная (рис. 64).

Полученная методом "средних по тройкам" окружность имеет параметры: Xmean = 0,0, Ymean = 13.5, Rmean = 10.8, а параметры оптимальной окружности, полученной при помощи функции fminunc, составили: Xopt = 0,3, Yopt = 13.4, Ropt = 10.7, то есть и те и другие оказались практически одинаковыми.

95

Т а б л и ц а 13

Результаты моделирования по 5 произвольным точкам

96

Аналогичный эксперимент был выполнен для 4 точек 1, 2, 3, 4 (табл.14) и построены окружности, в том числе средняя и оптимальная (рис. 65).

Т а б л и ц а 14

Результаты моделирования по 4 произвольным точкам

Рис. 65. Схема моделирования по 4 произвольным точкам

Параметры средней окружности оказались равными: Xmean = 0,1, Ymean = 13.0, Rmean = 10.5, а параметры оптимальной окружности составили: Xopt = 0,3, Yopt = 13.2, Ropt = 10.6, то есть и те и другие опять оказались практически одинаковыми.

98

15 и 20 были подсчитаны эти коэффициенты, которые оказались равными соот-

ветственно 1,342; 1,155; 1,033; 1,014; 1,008; 1,005; 1,002; 1,001.

поперечное сечение

нивелирная

рейка

Рис. 66.Схема к определению d l радиуса сооружения

фотографическим способом

фотокамера

Анализ формулы (68) с позиций теории ошибок позволяет констатировать, что точность определения радиуса сооружения предлагаемым способом в основном зависит от точности измерения на снимке величины хорды 3-4, поскольку поправочный коэффициент даже при n = 2 составляет всего 1,155 и с увеличением n стремится к единице. В то же время увеличение расстояния фотографирования может отрицательно сказаться на точности измерения хорды 3-4. Поэтому, в каждом конкретном случае следует выбирать оптимальное соотношение между расстоянием фотографирования и погрешностью измерения снимка, обеспечивающее заданную точность определения радиуса сооружения.

Если поправочный коэффициент разложить в степенной ряд Тейлора (исторически неправильное название: степенной ряд Маклó рена) и ограничиться одним слагаемым этого ряда, то можно получить приближенную формулу

99

Что касается масштабирования снимка по нивелирной рейке, расположенной в точке 5 на расстоянии О1-5 от хорды 3-4, то в данном случае в её длину 2с необходимо вводить поправку 2р .

Из подобия треугольников вытекает соотношение р/с = О1-5/О1-Ф, следо-

вательно р = сО1-5/О1-Ф. Найдём О1-5 = R– R 2 − h2 , а после подстановки в подко-

ченные значения в выражение для р, получим в окончательном виде формулу поправки:

Для принятых выше значений n , равных 1,5; 2; 4; 6; 8; 10; 15 и 20 были подсчитаны коэффициенты при с, которые оказались равными соответственно

0,400; 0,333; 0,200; 0,143; 0,111; ,091; 0,062; 0,048. Как следует из формулы (70),

точность определения поправки р зависит только от точности n , то есть от точности определения расстояния d от фотокамеры до оси сооружения.

Если есть возможность расположить рейку вдоль хорды 3-4 и сфотографировать её из точки Ф1 , то в этом случае необходимость использования поправки р отпадает.

Односторонний координатный способ определения крена башни четырехугольной формы с использованием электронного тахеометра может осуществляться следующим образом (рис. 67).

Выбирают для удобства условную систему прямоугольных координат, в которой ось абсцисс Х параллельна одной из сторон башни ВА , магнитный азимут которой определяют заранее.

Устанавливают тахеометр в некоторой точке Т , расположенной на расстоянии 1,5–3,0 Н от башни. Ориентируют визирную ось зрительной трубы по буссоли параллельно стороне ВА и в режиме координатных измерений вводят исходные данные: координаты станции Х0 = 0, У0 = 0, Н0 = 0; высоту инструмента Выс-И = 0; высоту визирной цели Выс-Ц = 0; дирекционный угол ГУ = 0º . После

точки пересечения оси вращения тахеометра с осью вращения трубы. При долж-