10797

Рис. 3.5

60

Войдя в соприкосновение с аналитической геометрией пространства, можно иначе взглянуть на первоначальную задачу. Мы с отцом договорились, что горизонтальными сечениями бутылки всюду будут эллипсы, а в верхней части (в горлышке) – окружности. В её средней части от основания начинается плавное сужение, а потом оно переходит в занимающее наиболее протяжённую часть длины объёма расширение с небольшим раствором (рис.3.6).

Рис. 3.6

Для определения объёма по формуле, полученной в первой главе, всё это должно быть отражено зависимостью параметров горизонтальных эллипсов от высоты. То есть нужно связать между собой три координаты точек, расположенных в пространстве на поверхности определённой формы – такой формы, какой она нам виделась. Получается, что нам требовалось уравнение поверхности. Но где же я мог взять уравнение поверхности бутылки?

61

3.2. Ранее я встречался только с уравнениями так называемых поверхностей второго порядка. Они носят такое название именно по виду уравнений, в которые входят вторые степени текущих координат или их взаимные произведения. В общем виде уравнение поверхности второго порядка выглядит так:

любые действительные числа, но, по крайней мере, одно из чисел A, B,C, D, E или F отлично от нуля (т.е.

A2 + B2 + C 2 + D2 + E2 + F 2 ¹ 0 ). В таком уравнении

учтены все возможные слагаемые. Если включить в него любые другие функции, оно, по определению, перестанет быть уравнением второго порядка.

Такой выбор представлялся для меня удачным, поскольку сечениями поверхностей второго порядка являются кривые второго порядка, к которым относится и эллипс. Также как и для кривых второго порядка, для поверхностей второго порядка существует полная классификация.

С помощью подходящего параллельного переноса и поворота осей координат (теперь уже выполняемых в пространстве) любое уравнение второго порядка вида (3.2) может быть приведено к одному из семнадцати видов. Этим уравнениям в пространстве отвечают классические поверхности: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, конус, эллиптический и гиперболический параболоиды, а также целая группа поверхностей, называемых цилиндрическими. С изучения последних мы и начнём.

62

3.3. Поверхность, состоящая из параллельных прямых (так называемых образующих), проходящих через каждую точку заданной линии L (направляющей), называется цилиндрической поверхностью. Образно можно представить, что цилиндрические поверхности образуются движением прямой, которая перемещается в пространстве вдоль кривой L , сохраняя постоянное направление (рис. 3.7).

Рис. 3.7

В качестве направляющей цилиндрической поверхности рассмотрим расположенную в плоскости

направляющей (рис. 3.8). Тогда F (x0 , y0 ) = 0 .

Рассмотрим цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны координатной оси

Поэтому координаты произвольной точки M (x0 , y0 , z0 ) этой образующей тоже удовлетворяют

уравнению F (x, y) = 0 при любом значении z0 . Поскольку точка M1 (x0 , y0 , 0) выбиралась

произвольно, то можно утверждать, что координаты всех точек цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению F (x, y) = 0 .

Рис. 3.8

Ясно, что уравнение вида F (x, z) = 0 , не содержащее переменной y , задаёт цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oy , а уравнение вида F ( y, z) = 0 задаёт цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Ox .

64

Если направляющей цилиндрической поверхности является кривая второго порядка, то поверхность называется цилиндрической поверхностью второго

порядка (или цилиндром второго порядка). В

зависимости от конкретного вида уравнения получаются различные типы цилиндров второго порядка. Их названия соответствуют названиям направляющих линий L .

пространстве так называемый эллиптический цилиндр. Это цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Oz . Её направляющей является эллипс, расположенный в плоскости xOy . Такие же эллипсы получаются во всех

сечениях поверхности плоскостями, параллельными координатной плоскости xOy (рис. 3.9).

Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр. Его каноническое

пространстве параболический цилиндр. На рисунке 3.10 изображен параболический цилиндр,

соответствующий уравнению x2 = −2 py .

пространстве гиперболический цилиндр. На рисунке

3.11 изображен гиперболический цилиндр,

2 2

соответствующий уравнению y − x = 1. b2 a2

65

3.4. Возможно представить другой способ формирования поверхностей – если какую-либо плоскую линию L (называемую образующей) вращать вокруг прямой (оси вращения), расположенной в плоскости этой линии. Получится так называемая поверхность вращения. Примером служит сфера: её можно рассмотреть как поверхность, образованную вращением полуокружности вокруг её диаметра.

Получим уравнение поверхности вращения в том случае, когда образующая лежит в одной из координатных плоскостей. В качестве оси вращения при этом рассмотрим одну из координатных осей, расположенных в той же плоскости.

Будем вращать расположенный в плоскости yOz

координатной оси Oz (рис. 3.12).

69