10623
.pdf
|
|
- 220 - |
|
d11 |
X1(2) |
= 0; |
(4.15) |
d22 |
X2(2) |
+ D2p0(2) |
= 0, |
так как в этом случае равен нулю свободный член D1p0(2) = (`M10 ´ Mp0(2)). Ее решением будет X1(2) = 0, X2(2) ¹ 0.
Рис. 4.10
Искомые реакции от заданной первоначальной нагрузки равны сумме соответствующих реакций от каждого варианта загружения:
X1 |
= X1(1) |
+ X1(2) |
= X1(1); |
(4.16) |
|
X2 |
= X2(1) |
+ X2(2) |
= X2(2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 загружение |
|
|
|
|
|
|
Основная система |
|
|
|
||||
|
|
|
Основная система |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.11
- 221 -
Полученный результат можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема. В симметричных системах, загруженных симметричной нагрузкой, обратносимметричные неизвестные равны нулю и наоборот – в симметричных системах, загруженных обратносимметричной нагрузкой, равны нулю симметричные неизвестные.
Примечания
1.Очевидно, что суть рассмотренных методов одинакова: в первом случае суммой симметричных и обратносиметричных сил представляют реакции, во втором – приложенную нагрузку.
2.Рассмотренные приемы расчета удобны для сравнительно простых систем с небольшим числом неизвестных, когда они имеют наглядную интерпретацию. Однако такая идея симметризации неизвестных может быть обобщена на решение произвольных систем алгебраических уравнений.
3.Пример рамы на рис. 4.10, б носит иллюстративный характер – в этом случае решение можно было упростить за счет выбора рациональной основной системы (рис. 4.10, е), для
которой δ12 = (`M10 ×`M20) = 0.
4.7. Расчет неразрезных балок
Неразрезной балкой называется статически неопределимая система, образованная из простой двухопорной балки введением дополнительных промежуточных опор. Эти опоры добавляют в целях уменьшения изгибающих моментов в пролете, и их число равняется степени статической неопределимости полученной системы (рис. 4.12, а).
В отличие от неразрезной балки разрезная или шарнирно-консольная балка является статически определимой системой, она образована из первой введением шарниров во всех пролетах кроме одного и расчет такой составной системы принципиально не отличается от расчета статически определимых рам рассмотренного во второй главе.
Для расчета неразрезных балок можно применить метод сил, выбрав в качестве основной систему, полученную из заданной системы устранением всех промежуточных опор (рис. 4.12, б). Однако такая система не является рацио-
нальной, поскольку для нее каждая из эпюр`Mi0 и эпюра Mp0 отличны от нуля на всей длине балки, а значит, ни один из коэффициентов δij и свободных членов ip0 не равен нулю.
Гораздо эффективнее будет основная система, которая получается из заданной системы введением шарниров над каждой из промежуточных опор (рис. 4.12, в). Она представляет собой цепочку простых двухопорных балок, поэтому
каждая из эпюр `Mi0 не выходит за пределы двух смежных пролетов (рис. 4.12,
г– е). Аналогичное замечание можно сделать и в отношении эпюры Mp0, которая также будет иметь локальную структуру (рис. 4.12, ж).
Нетрудно заметить, что независимо от числа промежуточных опор уравнение для i-й опоры неразрезной балки будет иметь вид:
|
|
|
|
|
- 222 - |
|
|
|
|
|
|
|
δ |
i−1, i |
X |
1 |
+ δ |
X + δ |
1, |
i |
X |
1+ |
0 |
= 0. |
(4.17) |
|
i− |
|
i,i |
i |
i+ |
|
i+ |
i p |
|
|
||
Это уравнение называется «уравнением трех моментов», поскольку в качестве неизвестных выступают изгибающие моменты над i-й опорой неразрезной балки и еще над двумя опорами, смежными с ней.
Рис. 4.12
Примечание
В качестве исходной балки для получения неразрезной помимо простой двухопорной балки можно взять балку с одним или двумя жесткозащемленными концами.
4.8. Примеры расчета СНС
При расчете СНС реакции связей могут оказаться равными нулю так же, как и при определении опорных реакций СОС.
- 223 -
Пример 4.5. Построить эпюру MP в раме от заданной нагрузки, полагая
EJ = const (рис. 4.13, а).
Решение. Заданная система имеет только одну лишнюю связь, поэтому в качестве основной можно взять систему, полученную из заданной устранением опоры А. Связь в точке С является безусловно необходимой, и ее устранение приводит к мгновенно изменяемой ОС.
а) |
C |
|
З.С. |
A |
B |
б) |
|
C |
|
|
`M10 |
A |
X1=1 |
B |
|
в) |
|
C г) |
C |
|
MP0 |
|
MP |
A |
B |
A |
B |
Рис. 4.13
Строим эпюры`M10 и Mp0 (рис. 4.13, б-в) для вычисления коэффициента и свободного члена канонического уравнения МС:
d11 X1 + D1p0 = 0. |
(а) |
Как видим, эти эпюры взаимно ортогональны, d11 ¹ 0, D1p0 = 0, и решени- |
|
ем (а) будет X1 = 0. Поэтому Mp = Mp0 +`M10X1 = Mp0 (рис. 4.13, г). |
· |
Как уже отмечалось, для системы с одной лишней связью простота решения задачи полностью определяется видом эпюры Mp0.
Пример 4.6. Построить эпюру MP в раме от заданной нагрузки, полагая
EJ = const (рис. 4.14, а).
Решение. Отбросив в ЗС опору А, придем к ОС, которой соответствуют эпюры `M10 и Mp0 (рис. 4.14, б-в).
Другой ОС соответствуют эпюры`M10 =`M10 (рис. 4.14, г) и MP0, при этом последняя заметно проще эпюры Mp0 (рис. 4.14, д).
- 224 -
а) |
q |
B |
|
C |
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
З.С. |
l |
|
A |
|
|
|
l |
l |
б) |
C |
|
|
|
B |
|
l |
`M10
A X1=1
в) |
ql2/2 |
MP0
д)
ql2/8
MP0
г) |
|
C |
l |
X1=1 |
|
|
|
|
|
`M |
0 |
|
|
1 |
A |
|
|
е) |
C |
ql2/40 |
B |
|
MP |
A |
|
Рис. 4.14
Вычисляя коэффициенты канонического уравнения для EJ = 1, получим:
d11 = (`M10 ´`M10) = 5l3/3; Dip0 = (`M10 ´ MP0) = – ql4/24,
откуда X1 = – Dip0/d11 = ql/40.
Правильность найденной эпюры Mp = MP0 +`M10X1 (рис. 4.14, е) проверяем с помощью кинематической проверки:
D1p = (Mp ´`M10) = – [(2/3)×( l)×(ql2/8)]×(l/4) + [(1/2) ×( l)×(ql2/40)]×(2l/3) +
+ l×(ql2/40)× l +[(1/2)×l×(ql2/40)]×(2l/3) = (ql2/40)[– (1/24) + 2(1/120) + (1/40)] = 0. ·
- 225 -
ГЛАВА 5. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ АРОК И ФЕРМ И МЕТОДОМ СИЛ
5.1. Расчет статически неопределимых ферм
Отметим, прежде всего, что фермы могут быть статически неопределимыми внешним и внутренним образом (рис. 5.1). У первых - основная система МС получается отбрасыванием внешних связей и заменой их неизвестными опорными реакциями (рис. 5.1, а), у вторых – опорные реакции можно найти из уравнений статики, а статическая неопределимость проявляется только при определении внутренних усилий. В этом случае ОС получается путем введения разрезов в стержнях фермы, образующих ее пояса или решетку (рис. 5.1, б).
Рис. 5.1
Формально канонические уравнения метода сил для ферм не отличаются от соответствующих уравнений для рам:
n |
|
∑ dij Xj + Dip0= 0, (i = 1,2,…, n), |
(5.1) |
j =1
однако теперь в соответствии с примечанием к §3.5 коэффициенты и свободные члены этих уравнений будут определяться только продольными силами:
dij = ∫ (`Ni0 ×`Nj0 /EF ) ds = S(`Nik0 ×`Njk0/EFk)lk , |
(5.2) |
Dip0= ∫ (`Ni0 × Np0/EF ) ds = S( `Nik0 × Npk0/EFk)lk , |
(5.3) |
где lk и EFk – соответственно длина и жесткость k– го стержня фермы, по которым проводится суммирование.
После того как решена система уравнений (5.1), усилия во всех стержнях заданной фермы можно найти по формуле (4.7):
Np = Np0 + S`Ni0Xi.
-226 -
5.2.Расчет статически неопределимых арок
Простейшим примером таких систем является двухшарнирная арка, у которой в отличие от рассмотренной в §2.4 трехшарнирной арки отсутствует ключевой шарнир (рис. 5.2, а).
Рис. 5.2
Основная система для ее расчета может быть получена введением ключевого шарнира, или устранением горизонтальной связи на одной из опор и заменой ее неизвестным распором H = X1 (рис. 5.2, б). Отметим при этом, что вертикальная связь является безусловно необходимой, поскольку ее устранение приводит к мгновенно изменяемой ОС.
Коэффициент d11 и свободный член D1p0 в каноническом уравнении метода сил:
d11 X1 + D1p0 = 0 |
(5.4) |
следует вычислять, учитывая изгибающие моменты и продольные силы и пренебрегая, как обычно, влиянием поперечных сил:
d11 = ∫ (`M10 ×`M10 /EJ) ds + ∫ (`N10 ×`N10 /GF) ds, |
(5.5) |
D1p0 = ∫ (`M10 × Mp0 /EJ) ds + ∫ (`N10 × Np0 /GF) ds. |
(5.6) |
Для определения соответствующих усилий надо рассмотреть взятую слева от сечения с абсциссой x часть арки, загруженной вначале силой X1 = 1, а затем - заданной нагрузкой (рис. 5.2, в, г).
-227 -
Впервом случае из условий равновесия арки в целом мы найдем опорные
реакции: HA = 1, VA = 0, а затем, рассматривая равновесие ее отсеченной части, так же, как в § 2.4.2 определим усилия:
`M10(x) = -1×f (x); `Q 10 (x) = -1×sinj; `N10(x) = -1×cosj. |
(5.7) |
Во втором случае опорные реакции арки, загруженной заданной нагрузкой, равны: HA = 0, VA = VAБ, а ее внутренние усилия:
Mp0(x) = M Б (x); Qp0(x) = Q Б(x)×cosj; Np0 = - Q Б(x)×sinj. |
(5.8) |
Подставляя(5.5) - (5.8) в (5.4) получим: |
|
|
|
|
S |
f (x) × M p 0 (x) |
|
|
cosϕ × N p |
0 (x) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
× ds |
|
||
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
EF |
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
X1 = H = - D1p0 /d11 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(5.9) |
||
|
|
|
|
S f |
2 (x) |
|
cos2 ϕ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
× ds |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∫0 |
|
|
|
EF |
|
|
|
|
|
||||
после чего внутренние усилия в арке можно найти по формулам (4.7): |
|
||||||||||||||||||
M = M 0 |
+`M |
|
0X ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
p |
|
|
|
p |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q = Q 0 |
+`Q |
0X ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
p |
|
|
|
p |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
p |
= N 0 |
+`N |
0X . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
p |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если в последние формулы подставить соотношения (5.7) и (5.8), то нетрудно убедиться, что мы придем к выражениям (2.2) - (2.4) для определения внутренних усилий в статически определимой трехшарнирной арке:
Mp = M Б (x) - H×f (x);
Qp= Q Б (x)×cosj - H×sinj;
Np= - Q Б (x)×sinj - H×cosj.
Этим и определяется удобство основной системы, выбранной для расчета.
- 228 -
ГЛАВА 6. РАСЧЕТ СНС МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
6.1. Суть метода перемещений. Основная система МП
Суть метода перемещений (МП) рассмотрим на примере расчета рамы. Под действием приложенной нагрузки рама деформируется, а ее узлы получают линейные i и угловые θi перемещения (рис. 6.1).
Идея МП заключается в том, чтобы выбрать эти перемещения i и θi в качестве неизвестных.
Для упрощения расчета будем, как обычно, пренебрегать влиянием продольных сил на деформации. Тогда в нашем примере все линейные перемеще-
ния узлов будут равны: i = .
В общем случае для определения числа неизвестных линейных перемещений − nл нужно во все жесткие узлы рамы, включая опорные, ввести шарниры, а затем подсчитать число степеней свободы полученной шарнирностержневой системы по формуле (1.3):
nл = 2У − С − СО.
При этом число nл будет равняться числу дополнительных линейных связей, необходимых для превращения полученной системы в геометрически неизменяемую.
Число неизвестных угловых перемещений θi равняется, очевидно, числу незакрепленных жестких узлов рамы − nу .
Общее число неизвестных метода перемещений n = пу + nл. Таким обра-
зом, в рассматриваемом примере n = 3 + 1 = 4. |
|
|
|
|
||||||||
В дальнейшем все линейные |
i и угловые θi перемещения будем обозна- |
|||||||||||
чать одинаково − Zi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ1 |
|
|
θ2 |
|
|
θ3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.1
Основная система МП образуется из заданной системы путем введения дополнительных связей, препятствующих угловым и линейным смещениям ее узлов.
- 229 -
Например, для рамы на рис. 6.2, а основная система получается наложением двух дополнительных связей (рис. 6.2, б). При этом первая связь является моментной и не препятствует линейному смещению соответствующего узла рамы. На схемах такие связи могут обозначать так, как показано на рис. 6.2, в.
Введение связей превращает раму в совокупность однотипных элементов с одним или двумя жестко защемленными концами, для которых известны готовые решения (рис. 6.2, г).
Рис. 6.2
6.2. Канонические уравнения метода перемещений
Если основную систему метода перемещений (ОС МП) загрузить нагрузкой, во введенных связях появятся реакции, которые отсутствовали в заданной системе (поскольку не было самих связей).
Обозначим через R1 и R2 реакции во введенных связях и отметим, что поскольку ОС МП является статически неопределимой, эти реакции могут появляться не только под действием приложенной нагрузки, но и в ответ на кинематические воздействия.
Сообщим введенным связям перемещения Z1 и Z2, равные смещениям заданной системы и потребуем, чтобы ОС вела себя как заданная. Это означает, что реакции во введенных связях от смещения этих связей и от заданной нагрузки в сумме должны равняться нулю:
R1 (Z1, Z2, P) = 0;
R2 (Z1, Z2, P) = 0.