10623

-110 -

2.Для строгого обоснования формулы (5.3) нужно рассмотреть, как это было сделано

впараграфе 2.1, часть балки длиной dz = r× dq, где ρ - радиус кривизны изогнутой оси бал-

мы пренебрегаем членом (dv / dz)2 , величина которого, в соответствии с действующими в строительстве нормами, не превышает 10-4.

5.3. Нормальные напряжения

Рассмотрим балку произвольного симметричного сечения в системе координат Oxyz , где ось Ox совпадает с нейтральной осью, а Oy - является осью

симметрии сечения.

Мы уже говорили, что отдельные слои балки фактически находятся в условиях ЦРС, поэтому напряжения в них, с учетом закона Гука, можно найти по формуле (2.6):

Таким образом, напряжения σz пропорциональны удалению точек сече-

ния от его нейтральной оси (рис.5.4).

К сожалению, на практике мы не можем воспользоваться последней формулой по двум причинам:

-неизвестно положение нейтральной оси Ox ;

-мы не знаем, чему равно значение v′′ .

Для ответа на эти вопросы, воспользуемся выражениями внутренних уси-

лий через напряжения (1.2), а также учтем формулы (5.6) и (4.2):

т.е. нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения.

Изгибающий момент M = M x в балке отличен от нуля и, как следует из

(5.8), пропорционален изгибной жесткости балки EJ = EJ x :

- 111 -

Поделив (5.6) на (5.9), получим искомое выражение для нормальных напряжений σ = σz в поперечных сечениях балки:

Как видим, максимальные по модулю напряжения будут в точках сечения, наиболее удаленных от его нейтральной оси:

− момент сопротивления сечения. Это основная геометрическая характеристика прочности балки.

Для прямоугольного сечения (рис.4.2) max y = h / 2 , поэтому

Wx = bh3 /12 : h / 2 = bh2 / 6 .

5.4. Рациональные сечения балок

Рассмотрим множество балок, имеющих одинаковые по величине максимальные изгибающие моменты М. Пусть поперечные сечения этих балок равны по площади − F, но различны по форме. Естественно возникает вопрос: какая форма поперечного сечения будет наилучшей?

Для ответа на него нужно, прежде всего, формулировать критерий оптимальности. С учетом условия прочности при ЦРС (2.7):

σmax= N / F ≤ [σ]

наилучшей можно считать балку, у которой максимальные по модулю нормальные напряжения минимальны:

т.е. из множества балок с одинаковой площадью поперечного сечения опти-

мальной будет балка с наибольшим значением момента сопротивления W.

Последний вывод, конечно, требует пояснения, и для этого мы рассмотрим следующий пример.

Предположим, в нашем распоряжении − стальная балка квадратного поперечного сечения со стороной b = h = 12 см (рис.5.5а). Площадь и момент сопротивления такого сечения будут, соответственно, равны: FКВ = b2 = 144 см2;

WКВ = b3 / 6 = 288 см3.

- 112 -

Качество балки можно заметно улучшить, если, пропустив через прокатный стан, превратить ее в балку прямоугольного поперечного сечения шириной b = 8 см и высотой h = 18 см (рис.5.5б). Соответствующие параметры такой

балки будут равны: FПР = bh = 144 см2; WПР = bh2 / 6 = 432 см3.

Продолжив мысленно наш эксперимент, можно из имеющегося образца изготовить балку двутаврового поперечного сечения высотой h = 60 см с толщиной стенки d = 1,3 см (рис.5.5в). Для соответствующей стандартной балки несколько меньшей площади поперечного сечения FDВ = 138 см2 с толщиной

стенки d = 1,2 см, момент сопротивления WDВ = 2560 см3.

Таким образом, WКВ :WПР :WDB = 1:1,5 : 9 , т.е. последняя балка в 6 раз прочнее прямоугольной и в 9 раз прочнее балки квадратного поперечного сечения.

Можно ли продолжить этот процесс поиска более совершенной и прочной балки при заданной площади поперечного сечения? Или, другими словами, ограничено ли максимальное значение W?

Как теория, так и практика дают положительный ответ на последний вопрос. Попытка создать двутавровую балку с большим моментом сопротивления за счет увеличения высоты и соответствующего уменьшения толщины ее стенки не приведет к созданию более прочной балки. Причина этого − в том, что с уменьшением толщины стенки балки увеличивается опасность потери ее устойчивости. Это явление сопровождается выпучиванием стенки балки и имеет ту же природу, что и рассмотренная ранее (рис.1.4а) потеря устойчивости сжатого стержня. Отметим, что при этом двутавровая балка перестает отвечать критерию стержневых систем (параграф 1.2) и переходит в разряд тонкостенных пространственных конструкций.

- 113 -

ГЛАВА 6. КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

6.1. Предпосылки расчета

При поперечном изгибе в сечении стержня появляются не только нормальные напряжения sz, эквивалентные изгибающему моменту M x :

F

но и касательные напряжения tzy, эквивалентные поперечной силе Qy:

F

Подобно тому, как в предыдущей главе мы перешли от (6.1) к формуле (5.10), сейчас нам предстоит выразить tzy из (6.2) через поперечную силу Qy.

Рассмотрим часть балки шириной b , расположенную справа от сечения, и

предположим, что касательные напряжения равномерно распределены поперек этого сечения (рис.6.1а).

- 115 -

ПРИМЕЧАНИЯ:

1.Мы предполагаем, что касательные напряжения в поперечном сечении балки направлены параллельно поперечной силе Qy, то есть вдоль оси Oy.

2.Вполне оправданным будет вопрос: почему при выводе формулы (6.4) мы не учитывали нормальные напряжения?

В самом деле, при поперечном изгибе Q ¹ 0 , а M ¹ const. Пусть в рассматриваемом сечении балки (рис.6.1а) М(z) = M , а M (z + dz) = M + dM . Тогда в силу (5.10) на переднюю грань вырезанного элемента помимо τ zy будут действовать σ(z) = σ , а на противо-

положную s(z + dz) = s + ds , знаки которых учтены на рис.6.1в. С учетом этих напряжений уравнение (6.3) примет вид:

dQ×dz-dQ′×dy-dN×dy/ 2 =0

или, подробнее:

τzy ×b×dy×dz-τyz ×b×dz×dy-dσ ×b×dy×dy/2,

откуда

(tzy - tyz) = (ds/dz)×(dy/2).

Подставляя сюда

получим соотношение:

(tzy - tyz ) = (Qy / 2J ) × dy .

С точностью до бесконечно малых первого порядка правая часть последнего выражения равна нулю, откуда и следует (6.4).

3.Нетрудно уточнить, насколько прогибы второй балки на рис.6.2б будут больше, чем

упервой. Из условия равенства изгибающих моментов и уравнения (5.9) следует, что отношение кривизн обратно пропорциональны отношению жесткостей балок:

(v′′)( 2) /(v′′)(1) = EJ (1) / EJ (2) = J (1) / J ( 2) .

Для балки прямоугольного поперечного сечения:

J (1) / J (2) = (bh3 / 12) : 2(bh3 / 12 × 8) = 4 ,

а поскольку прогибы балки v = v (P, l, EJ), то с точностью до множителя v = Pl3 / EJ, откуда следует, что прогибы второй балки будут вчетверо больше прогибов первой.

6.2. Формула Журавского

Появление касательных напряжений между горизонтальными слоями балки позволяет легко определить их величину.

Рассмотрим часть балки длиной dz , расположенную между двумя сечениями, проведенными на расстоянии z и z + dz от ее левого конца (рис.6.3а). Изгибающим моментам M (z) = M и M (z + dz) = M + dM в этих сечениях балки

будут, в силу (5.10), соответствовать нормальные напряжения σ и s+ds. Проведем горизонтальное сечение на расстоянии t от нейтральной оси и

рассмотрим равновесие части балки выше этого сечения. Помимо нормальных и касательных напряжений, приложенных в сечениях z и z + dz , на нее будут

- 116 -

действовать касательные напряжения τ yz , распределенные по площади нижней грани и уравнение ∑ Zi = 0 примет вид:

τ yz × dz ×b - ∫Fотс dσ × dF = 0 ,

где Fотс - площадь части поперечного сечения балки выше рассматриваемого уровня (рис.6.3б).

Подставляя с учетом (5.10) в последнее выражение dσ = dM × y / J , получим

где Sxотс = ∫Fотс y ×dF - статический момент части сечения выше рассматриваемого

уровня.

Последнее выражение и носит название формулы Д.И.Журавского.

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. При выводе формулы (6.5) поперечное сечение балки фактически предполагается выпуклым и односвязным. То есть, эту формулу нельзя, например, формально применить к балке Т −, О − или П −образного поперечного сечения.

2. В этом курсе не рассматривается изгиб тонкостенных стержней открытого профиля, для которых не выполняется не только предпосылка о равномерном распределении касательных напряжений поперек сечения балки (параграф 6.1), но и гипотеза прямых нормалей (параграф 5.1).

-117 -

6.3.Касательные напряжения в балках

Ограничимся рассмотрением только двух форм поперечных сечений ба-

лок.

Прямоугольное сечение. Статический момент части сечения выше рас-

( 4.3 )

сматриваемого уровня: = Fотс yc , где yc − ордината ее центра тяжести. Для прямоугольного сечения (рис.6.4а) Fотс = b(h / 2 − t) , yc = (h / 2 + t) / 2 , поэтому

S xотс = (b / 2)(h 2 / 4 − t 2 ) .

Подставляя в (6.5), получим уравнение τ = τ(t) :

t = (Q / 2J )(h2 / 4 - t 2 ) .

Это парабола, максимальное значение которой достигается при t = 0 , т.е. на нейтральной оси сечения:

τ max= t(0) = Qh2 / 8J .

Подставляя сюда J = bh3 /12 , получим:

τ max=12Qh2 / 8bh3 = (3 / 2) ×(Q / F) ,

т.е. максимальные касательные напряжения в полтора раза превышают средние по площади сечения касательные напряжения τ ср.= Q / F .

В крайних волокнах балки (t = ±h / 2 ) касательные напряжения равны нулю, соответствующая эпюра построена на рис.6.4б.

Двутавровое сечение. Касательные напряжения в полках двутавра с помощью СМ найти нельзя − для этого нужно обращаться к методам теории упругости. Однако для определения этих напряжений в стенке двутавра можно воспользоваться формулой (6.5), если положить в ней ширину балки b равной толщине стенки двутавра d (рис.6.5а).

При вычислении статического момента площади отсеченной части последнюю можно приближенно заменить двумя прямоугольниками: горизонтальным − размерами b × δ и вертикальным − размерами d × (h / 2 − δ − t) . Тогда

щая эпюра τ на рис.6.5б в пределах стенки представляет собой сумму прямоугольной эпюры и параболы. На полках двутавра эпюрой τ условно может служить продолжение эпюры, показанной пунктиром, − она соответствует прямоугольнику, в который вписан этот двутавр.

- 118 -

ПРИМЕЧАНИЯ:

1.Независимо от формы поперечного сечения балок касательные напряжения достигают максимума на нейтральной оси.

2.Касательные напряжения на полках двутавра близки к нулю, поэтому почти вся поперечная сила воспринимается стенкой двутавра.

В свою очередь, изгибающий момент воспринимается, в основном, полками двутавра, которые максимально удалены от нейтральной оси и где максимальны нормальные напряжения.

- 119 -

ГЛАВА 7. РАСЧЕТ БАЛОК НА ПРОЧНОСТЬ

При расчете на прочность по допускаемым напряжениям исходными будут формулы, вытекающие из (5.11) и (6.5):

где [τ]- допускаемое касательное напряжение.

Для простоты будем считать, что материал балки одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, а ее поперечное сечение симметрично относительно нейтральной оси.

Расчет по нормальным напряжениям в задачах изгиба является основ-

ным и первичным.

При этом, как и для ЦРС различают: проектный расчет, который заключается в подборе сечения по формуле, вытекающей из (7.1):

проверочный расчет прочности балки по формуле (7.1) и расчет несущей спо-

собности по формуле:

М max ≤ [σ]W .

Расчет по касательным напряжениям также можно проводить в трех вариантах: как проектный, проверочный или в виде определения эксплуатационной нагрузки. Однако чаще всего приходится выполнять проверочный расчет − заданной балки или сечения, подобранного из условия прочности по предельным напряжениям.

При этом величина допускаемых касательных напряжений [τ] составляет порядка 0,1 [σ] для деревянных балок и около 0,6 [σ] − для стальных.

Отметим, что толщина стенок прокатных двутавровых балок, применяемых в строительстве, обычно удовлетворяет условию (7.2).

В отличие от них деревянные балки нужно обязательно проверять на прочность по касательным напряжениям, поскольку они имеют склонность к разрушению за счет скалывания, т.е. взаимного сдвига ее горизонтальных слоев (рис.7.1б). Мы уже выяснили в параграфе 6.1, что это сопровождается резким уменьшением жесткости сечения и, следовательно, приводит к нарушению условия прочности уже по нормальным напряжениям (рис.7.1а).

Пример 7.1. Подобрать сечение консольной балки длиной l = 2м, которая загружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q =10кН/м

(см. рис.3.4), в двух вариантах: 1) прокатная двутавровая балка, [σ] = 160 МПа, [τ] = 100 МПа; 2) деревянная балка квадратного поперечного сечения, [σ] = 16 МПа, [τ] = 1,6 МПа.

Решение. Максимальные значения изгибающего момента и поперечной силы для данной балки равны: