10623

- 120 -

M max= ql2 / 2 = 20кН×м; Q max= ql = 20кН.

Для стальной балки размеры поперечного сечения находим из условия

прочности по нормальным напряжениям (7.3):

W³ M maxx /[s] = 20 /160 ×103 ×м3= 0,125 ×10−3 м3=1125 см3.

Всортаменте материалов этому условию отвечает двуутавр №18 со сле-

дующими характеристиками сечения: W =143см3; J = 1290 см4; статический момент полусечения S = 81,4 см3; толщина стенки d = 5,1 мм.

Максимальные касательные напряжения в таком двутавре по формуле (7.2) будут равны:

tmax= Q max S /(dJ ) = 20 ×81,4 ×10−6 /(0,51×10−2 ×1290×10−8 ) = 2,475×104 кПа =

=24,75 МПа£ [t] =100 МПа,

т.е. балка имеет четырехкратный запас прочности по касательным напряжением.

Для деревянной бал ки квадратного поперечного сечения со стороной b момент сопротивления W = b3 / 6 и условие (7.3) примет вид:

b3 / 6 ³ M max /[s]= 20 /(16 ×103 ) м3 = 1250 см3,

откуда b ³ 3 6 ×1250 = 19,6 см.

Округляя до ближайшего размера, рекомендованного в сортаменте пиломатериалов, принимаем b = 20 см.

Статический момент полусечения такого бруса:

S = F0 × yc = 20 ×10 × 5 = 1000 см3,

а момент его инерции:

J = b4 /12 =13333см4.

Подставляя в (7.2), получим:

tmax= Q max S /(bJ ) = 20 ×103 /(20 ×13333) кН×см-2 = 1/1333 3) ×104 МН×м-2 =

=0,75 МПа< [t] = 1,6 МПа,

- 121 -

ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ

8.1. Дифференциальные зависимости при изгибе

Умение определять перемещения необходимо для расчета на жесткость статически определимых систем и является составной частью расчета на прочность систем статически неопределимых. Для обоснования соответствующей методики вернемся к рассмотрению некоторых формул, полученных ранее.

Дополняя дифференциальные зависимости Журавского из параграфа 3.2:

получим следующую цепочку формул, расположенных в зависимости от порядка производной функции прогибов v(z) :

Эти соотношения и носят название дифференциальных зависимостей при изгибе.

Для того чтобы наглядно представить эти зависимости, рассмотрим балку, загруженную изменяющейся по линейному закону распределенной нагрузкой (рис.8.1). Эпюры, соответствующие (8.1) и приведенные ниже на этом рисунке, имеют следующие особенности:

–максимальное по модулю значение прогибов соответствует нулевому значению θ ;

–касательные к эпюре θ на концах балки горизонтальны, поскольку

М(0) = М (l) = 0 ;

–максимальное значение M соответствует нулевому значению Q ;

–касательная к эпюре Q на левом конце балки горизонтальна, так как

Q′(0) = q(0) = 0 ;

– поскольку q(z) линейна, функции Q, M , θ и v представляют собой многочлены от второй до пятой степени соответственно.

Отметим, что, зная только одну функцию − v(z) , по формулам (8.1) можно найти все остальные: Q, M , θ и q , т.е. определить действующую на балку нагрузку и построить расчетную схему самой балки.

- 122 -

На практике чаще возникает необходимость в решении обратной задачи − определении функции v(z) по известным функциям M (z) или q(z) .

-123 -

8.2.Краевая задача изгиба балки

Для того, чтобы найти функцию v(z) по известной функции M (z) , вос-

которое называется дифференциальным уравнением изогнутой оси балки.

Сделаем небольшое отступление и поясним, что означает это понятие. Под дифференциальным уравнением (ДУ) будем понимать зависимость,

связывающую производную от искомой функции v(z) с заданной известной функцией.

Решить ДУ − значит найти функцию v(z) , обращающую эту зависимость в тождество. Порядок производной от функции v(z) определяет порядок диф-

ференциального уравнения.

Рассмотрим следующую задачу: найти решение ДУ первого порядка:

ная интегрирования. Только одна из них − при C1 = 2 отвечает условию (8.4). Поэтому решением задачи (8.3) − (8.4) будет: v(z) = z2 + 2 .

Нетрудно догадаться, что общее решение ДУ второго порядка (8.2) будет зависеть не от одной, а от двух постоянных интегрирования.

В самом деле, с учетом (8.1а): dv / dz = θ уравнение (8.2) можно переписать в виде:

dq / dz = (1/ EJ )M ( z) ,

или, разделяя переменные, так:

dq = (1/ EJ )M (z) × dz .

Интегрируя, получим:

Интегрируя еще раз с учетом θ = dv/dz, найдем общее решение ДУ (8.2):

- 124 -

Из полученного множества функций нужно выбрать ту, которая описывает уравнение изогнутой оси конкретной балки. Для этого, как и в рассмотренном выше примере, задают дополнительные требования, которым должна удовлетворять искомая функция. Они отражают условия закрепления балки и представляют собой значения функции прогибов или производной от нее, заданные, обычно, на границе области, занятой балкой, и поэтому называются краевыми или граничными условиями.

Для простой двухопорной балки длиной l эти условия имеют вид:

Дифференциальное уравнение изгиба балки (8.2), дополненное краевыми условиями (8.7) или (8.8), и образует краевую задачу изгиба балки.

ПРИМЕЧАНИЕ. При определении прогибов статически неопределимых балок, для которых функция M (z) неизвестна, вместо (8.2) приходится рассматривать более общее ДУ четвертого порядка (8.1г):

d 4v / dz4 = q(z) / EJ .

нужно, во-первых, определить постоянные интегрирования C1 и C2 , а во-

вторых, вычислить входящий сюда интеграл. Аналогичное замечание касается и выражения (8.9).

Решение первой задачи упрощается, если выразить константы через начальные параметры v0 , θ0 , M 0 , Q0 , представляющие собой значения соответст-

вующих функций в начальном сечении балки − на ее левом конце. Подставляя z = 0 в (8.5) и (8.6) получим:

Аналогично выражаются эти константы и в формуле (8.9).

Переходя к вычислению интеграла, входящего в (8.6), вспомним, что для построения эпюр М и Q мы разбивали балку на отдельные участки и для каж-

дого из них функция M (z) имела различный вид. При таком подходе на каж-

- 125 -

дом участке интеграл нужно вычислять отдельно, а затем стыковать полученные кривые, решая для n участков балки систему 2n уравнений.

Гораздо продуктивнее идея, которая заключается в том, чтобы представить функцию M (z) в виде, едином для всех ее участков.

В самом общем случае нагрузку, приложенную к произвольной балке, можно представить так, как показано на рис. 8.2. Будем придерживаться следующих правил при вычислении изгибающего момента в ее сечении:

1)начало отсчета выбирается на левом конце балки, всегда рассматривается часть балки, расположенная слева от сечения;

2)положительные Pi и qi направлены по оси Oy , а моменты M i − по ходу

часовой стрелки, как показано на рисунке;

3) распределенная нагрузка qi , приложенная на участке (z qi , z ′qi ), заменя-

ется той же нагрузкой, продолженной до конца балки, и соответствующей компенсирующей нагрузкой.

При этих условиях изгибающий момент в поперечном сечении любого участка балки можно представить в виде:

i

(8.11)

где суммирование распространяется на нагрузку, расположенную слева от рассматриваемого сечения.

В самом деле, для участков балки на рис.8.2 функция M (z) равна:

и так далее.

Интегрируя дважды последние выражения, на тех же участках балки для

∫∫M (z)dz соответственно получим:

1)M0 z2 / 2 + Q0 z3/ 6 ,

2)M 0 z 2 / 2 + Q0 z 3 / 6 + M i (z − zmi )2 / 2 ,

3)M 0 z 2 / 2 + Q0 z 3 / 6 + M i (z − z mi )2 / 2 + Pi (z − z pi )3 / 6 .

Таким образом, подставляя (8.11) в (8.6), интегрируя дважды и собирая вместе коэффициенты с начальными параметрами, получим,

i

Это выражение носит название универсального уравнения изогнутой оси балки.

Из четырех входящих сюда начальных параметров два всегда известны, а два других можно найти из краевых условий или уравнений статики.

ПРИМЕЧАНИЕ. Термин «универсальное» в отношении выражения (8.12) означает, что его форма не зависит от вида нагрузки и числа загруженных участков балки.

Отметим, что это уравнение справедливо для любых типов балок − как статически определимых, так и статически неопределимых.

8.4. Примеры расчета

Рассмотрим примеры определения перемещений в балках с помощью уравнения (8.12). Во всех случаях жесткость балки будем считать заданной.

Пример 8.1. Определить максимальный прогиб балки (рис.8.3а). Решение. Три из четырех начальных параметров для нашей балки извест-

ны: v0 = 0, М0 = 0, Q0 = P / 2 , поэтому уравнение (8.12) примет вид:

Подставляя найденные значения θ0 в (а), находим максимальный по модулю прогиб в середине балки:

Pl2/16EI

Пример 8.2. Для заданной балки построить эпюры прогибов и углов по-

Pl2/2EI

Решение задачи можно упростить, если заданную балку заменить симметрично расположенной (рис.8.5б). Для последней балки все четыре начальных параметра известны: v0 = θ0 = 0 , М0 = −Pl, Q0 = P и уравнение (а) примет

вид:

v(z) = −Plz2 / 2EJ + Pz3 / 6EJ ,

откуда

v max = v(l) = −Pl3 / 3EJ .

Отметим, что все эпюры в заданной балке (рис.8.5а) получаются из эпюр, показанных на рис. 8.5б путем продолжения последних в область отрицательных значений z как симметричных (четных) − v и M либо обратно симметричных (нечетных) − θ и Q. ∙

Пример 8.4. Определить прогиб и угол поворота сечения в середине пролета балки (рис.8.6а).

- 129 -

Решение. Три начальных параметра известны либо из условий закрепле-

ql2/8

Пример 8.5. Построить эпюры Q и М (рис.8.7а).

Решение. Из условий закрепления левого конца балки v0 = θ0 = 0 , поэтому

ченную систему уравнений: