9844

50

где: – удельное перемещение точки сосредоточения i-ой массы от единичной силы, приложенной в точке сосредоточения j-ой массы.

Результаты статического расчета, для определения первой собственной частоты крутильных форм колебания здания без учета податливости основания, от единичного момента, проходящего через центр жесткости,

представлена на рис. 15.

Рис. 15. Схема к определению удельных угловых перемещений точек системы

В следствии того, что при составлении матрицы удельных угловых перемещений была использована модель здания, построенная в ПВК SCAD

Office преобразование матрицы с учетом эквивалентной крутильной

жесткости 1 не требуется.

Значение первой собственной частоты крутильных форм колебания с учетом упругих свойств грунтового основания определяется по предложенной ранее методики. Отличительной особенностью данного варианта является то,

что при расчете учитывается коэффициент пастели грунта, как и при поступательных колебаниях, характеризующий упругие свойства основания.

Коэффициент упругого основания задается в ПВК SCAD Office

аналогичным, как при определении частоты собственных поступательных форм колебания здания, на основании данных грунтового массива, который представлен на рис.7.

51

Для решения задачи рассмотрим двенадцатиэтажное здание с теми же конструктивными и объемно-планировочными решениями. Элементы матрицы удельных углов поворота W определяется на основании конечно-

элементной модели, смоделированной в ПВК SCAD Office.

Для анализа учета упругих свойств грунтового основания в качестве опорных связей под пластинчатыми конечными элементами фундамента заданы характеристики упругого основания.

Определение первой собственной частоты крутильных колебаний

здания

Расчет первой собственной частоты изгибной формы колебания здания аналогичных способом, что и первая собственная частота поступательной формы колебания.

Расчет частоты КР определяем методом подбора в ПВК Excel Office.

Значения главной диагонали матрицы W зависят от текущего значения частоты КР, которое можно изменять.

Результаты расчета, для здания с жестким защемление колонны и основания, представлены в приложении В2 (таблицы В2.1-В2.5).

Результаты расчета, для здания с основанием в виде фундаментной плиты с упругим основанием, представлены в приложении В4 (таблицы В4.1-В4.5).

При незначительном изменении частоты ω, значение определителя матрицы det(W) очень сильно меняется.

Однако, все же удалось определить значение первой собственной частоты.

Согласно расчету, значение первой собственной частоты поступательных форм колебания без учета податливости, равно ωКР = 1,6856 с-1, а с учетом податливости основания – ωКР =1,4114с-1.

Таким образом, в расчетах можно принять значение собственной частоты изгибных колебаний ωКР = 1,69 с-1 и ω= 1,41 с-1 соответственно.

52

Определение первой собственной частоты крутильно-

поступательных колебаний с учетом и без учета податливости основания

На основании полученных первых поступательных и крутильных частот собственных колебаний многоэтажного каркасного здания, в соответствии с

[6,11], значение общей круговая частота собственных изгибно-крутильных колебаний здания, учитывающая совместно частоты поступательных и крутильных форм колебания здания, описываются системой уравнений:

̈( ) + ( ) + ( ) = 0 { ̈ (2.19)

( ) + ( ) + ( ) = 0

М – масса этажа (масса перекрытий, приведенных к нему стен, полезная нагрузка);

G - суммарная сдвиговая жесткость поперечных несущих конструкций; d – жесткость здания, при повороте вокруг вертикальной оси;

b –сила, которую нужно приложить к перекрытию в ее центр масс, чтобы предотвратить поступательное смещение при единичных поворотах;

J – физический момент инерции перекрытия относительно центра масс;

( ) – линейное перемещение перекрытия;

̈( ) – ускорение; θ( ) – угол поворота;

̈( )– угловое ускорение.

При гармоническом законе колебаний здания: ( )= sin(ω ),

θ( )=θsin(ω ) [7], имеем:

Решая векторное уравнение (2.20) запишем уравнение, которое характеризует круговую частоту изгибно-крутильных форм колебания здания совместно:

53

где П2, КР2 – квадраты частот поступательных и крутильных колебаний;

Значение силы, предотвращающей поступательные смещения от

единичных поворотов, равна:

-Для здания, расчетная модель которого, представляет собой консольный стержень с жестким защемлением колонны в основании – b=916,4кН

-Для здания, расчетная модель которого, представляет собой фундаментную плиту с упругим основанием – b=503,9кН.

В соответствии с формулой (2.19) выполним расчет по определению круговой частоты изгибно-крутильных форм колебания двенадцатиэтажного жилого здания:

Для здания, расчетная модель которого, представляет собой консольный стержень с жестким защемлением колонны в основании:

ω1 = 5,3 с-1, ω2 = 1,69 с-1. Из двух значений выбираем наибольшее.

Для здания, расчетная модель которого, представляет собой фундаментную плиту с упругим основанием:

ω1 = 2,65 с-1, ω2 = 1,41с-1.

Из двух значений частот, выбираем наибольшее [6,11].

Анализ результатов частотных характеристик здания

Сопоставим результаты расчета по схеме консольного стержня с жестким защемлением и с учетом упругих свойств грунтового основания.

Выполнение сравнение по 3 форм собственных колебаний:

-поступательные формы колебания здания;

-крутильные формы колебания здания;

-крутильно-поступательные формы колебания здания.

Сведем все значения частот собственных колебаний здания в таблицу 2.6.

56

2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1

Определение частот собственных колебаний систем с одной степенью свободы

Числом степеней свободы механической системы называют число параметров, полностью определяющих положение всех точек системы. В

динамике число степеней свободы напрямую зависит от количества сосредоточенных масс системы и от количества независимых перемещений этих масс.

В практике применяются следующие основные методы составления уравнений движения:

Принцип Даламбера Уравнение динамического равновесия можно получить из уравнения

статического равновесия добавлением инерционных сил. Как известно,

сила инерции J по величине равна произведению массы на ускорение:

= ̈=

2

2

и направлена в противоположную ускорению сторону. Здесь m – масса, y

– перемещение, ̈= 2 – ускорение, t – время.

2

Энергетический метод

57

При решении задач о собственных колебаниях упругих консервативных систем часто используется закон сохранения механической энергии,

согласно которому сумма потенциальной и кинематической энергий колебательной системы постоянна во времени:

+ =

Рассмотрим собственные колебания системы с одной степенью свободы на основе принципа Даламбера (кинетостатического метода):

- рассмотрим движение массы относительно ее исходного положения равновесия.

Рис. 1.1 – Колебательная система с одной степенью свободы.

− − − = 0 (, , )

где = ̈– сила инерции, – сила упругости балки, - сила сопротивления среды движению массы.

Силу упругости можно определить из решения задачи статики в двух формах − в форме метода перемещений и в форме метода сил. Вначале применим метод перемещений. С этой целью в свободном правом конце балки введем вертикальную связь, и дадим ей такое же перемещение y, какое возникает при колебаниях (рис. 1.1 в). Реакция этой связи будет равна силе отпора балки R. Если балка упругая, эта сила пропорциональна отклонению балки:

=

58

где – упругая характеристика балки, называемая жесткостью. Она равна реакции в связи при ее смещении на единицу (рис.1.1 г).

Подставив в (,,) выражения сил инерции и упругости, получим уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы в форме метода перемещений:

̈+ + = (… )

Иногда его называют уравнением колебаний в прямой форме. Для использования метода сил рассмотрим другое состояние балки, когда в направлении колебаний массы приложена единичная сила (рис. 1.1д).

Перемещение этой точки под действием единичной силы называется податливостью. Обозначим его буквой δ. На основании теоремы о взаимности работ, возможная работа сил состояния «г» (рис.1.1 г) на перемещениях состояния «д» (рис. 1.1 д) равна возможной работе сил состояния «д» на перемещениях состояния «г», т.е.:

∙ = 1 ∙ 1

Отсюда получаем уравнение связи между жесткостью и податливостью

1= (++)

Подставим его в уравнение (…). После деления на m получим:

Если обозначить

1 = 2(_)

получаем уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы в форме метода сил (уравнение колебаний в обратной форме):

+̈ 2 + = ( )

Полученные уравнения движения системы с одной степенью свободы в формах метода перемещений (…) и метода сил (**) позволяют вести расчет

59

простейших сооружений на колебания. Выбор конкретного метода зависит от

особенностей системы и определяется самим расчетчиком.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 2

Определение частот собственных колебаний систем с несколькими степенями свободы

При проектировании сейсмостойких зданий и сооружений особое внимание следует уделять грамотной оценке их динамических характеристик, поскольку сейсмическое воздействие носит ярко выраженный динамический характер.

Из курса строительной механики известно, что при динамических воздействиях на напряженно-деформированное состояние конструктивных элементов влияет не только характер самих воздействий, но и характер распределения входящих в систему масс.

Масса – это количественная мера инертности, то есть физическая величина, показывающая, насколько сложно изменить скорость изучаемого тела. Если рассматривать систему отсчета, связанную с самой массой, то, согласно принципу Д’Аламбера, массу можно считать уравновешенной, если ввести дополнительную силу, называемую силой инерции. Именно с этой силой масса будет «сопротивляться» попытке изменения своей скорости:

| ин| = ∙ = ∙ ̈

Направление силы инерции всегда противоположно

сообщаемому массе.

Поскольку любое сейсмическое воздействие носит динамический характер, во всех точках системы возникают силы инерции, которые оказывают значительное влияние на напряженно-деформированное состояние системы.

Перед началом расчета важно правильно выделить основные особенности работы элементов здания, которые должны быть учтены при выборе расчетной схемы. В общем случае любое здание представляет собой систему с бесконечным числом динамических степеней свободы, поскольку все элементы здания имеют массу и являются упругими. Тем не менее, зачастую возможно пренебречь массами тех или иных элементов, получив при этом конечное число степеней свободы системы.

Например, для каркасных многоэтажных зданий с большой степенью точности можно предположить, что все входящие в систему массы сосредоточены в уровнях перекрытий. Это означает, что здание можно рассмотреть как консольный стержень с количеством сосредоточенных на нем масс, равным количеству этажей здания и жесткостью, эквивалентной жесткости всего здания.