9844

20

б)

Рис.1 Расчетные схемы здания: а) с жестким защемлением колонны в основании; б) с

фундаментной плитой на упругом основании

Нагрузки на здание рассчитаны соответствии с СП 20.13330.2016 и

представлены в приложении А.

На практике, добиться идеального значения «чистоты» форм собственных колебаний достаточно сложно, в связи с тем, что на конечный результат оказывает влияние большое количество факторов:

неравномерность распределения нагрузок;

разная жесткость отдельных частей здания, т.е. наличие лестничных клеток, лифтовых шахт;

положение центра жесткости, которое зависит от распространения вертикальных несущих элементов в плане. Однако, форма колебания зависит не столько от положения центра жесткости здания, сколько от расстояния (эксцентриситета) между центром жесткости и центром масс.

Выполним расчет по определению частот изгибно-крутильных форм

колебания здания.

21

Определение центра масс здания Центр масс – геометрическое положение точки, характеризующей

распределение масс в здании.

Определит центр масс здания можно при помощи различных программно-вычислительных комплектов или путем математических

вычислений по формулам сопромата для определения центра тяжести.

Центр тяжести сложного сечения определяется из условия:

где , −координаты центра тяжести;

, – статический момент площади сечения относительно осей х и у соответственно;

А – площадь сечения фигуры;

, – расстояния от центра тяжести до осей х и у соответственно простой фигуры, на которое разбивается сложное сечение;

– площадь сечения простой фигуры.

Координаты центра масс представлены графически на рис. 2.4.

22

Рис. 2. План здания

Определение центра жесткости здания

Центр жесткости — точка приложения внутренних сил упругости в данном поперечном сечении конструкции, по отношению к которой в сечении под действием внешних сил возникают лишь нормальные напряжения, но не крутящие моменты.

Центр жесткостей – геометрическое положение точки (оси), зависящее от характера распределения вертикальных несущих элементов и их жесткостных параметров.

Расчеты зданий и сооружений, в том числе и на сейсмические нагрузки, в

связи с развитием компьютерных технологий, выполняются с привлечением различных вычислительных и проектирующих программных комплексов,

таких как Stark_ES, Лира, Мономах, SCAD и т.д. [5, 13]. Практически во всех этих программных комплексов реализуется метод конечных элементов (КЭ) с

помощью которого достаточно просто моделируются колонны, ригели,

фермы, балки, рёбра жёсткости (стержневой КЭ произвольного сечения),

плиты, балки-стенки, оболочки (плоские треугольные, четырёхугольные и т.

д. КЭ), а также массивные тела.

24

- координаты Xoм, Уом центра масс (центра тяжести) плана в исходных осях Хо, Уо;

-координаты Хоr, Уоr (3, 4) центра жесткости в системе осей Хо, Уо;

-угол поворота a главных центральных осей плана Х, У.

где, , - координаты центра масс (тяжести);

, - координаты центра жесткости в главных осях;

а – угол положения главных осей [13].

Определяем эксцентриситет, предварительно построив схему (рис.4) в

соответствии с вычисленными значения между центром масс и центром жесткости, с помощью математических вычислений, использую теорему Пифагора:

= √√ 2 + 2 = √7,962 + 1,762 = 8,15 м

Рис. 4. Схема к определению эксцентриситета между центром масс и центром

жесткости здания

25

Определение масс в уровне перекрытий

Для расчета частотных характеристик здания необходимо определить массы, расположенных в уровне одного перекрытия.

Суммарная масса в уровне каждого перекрытия включает в себя массу колонн, диафрагм жесткости и массу плиты, учетом всех действующих на нее нагрузок. Масса в уровнях перекрытия от постоянных и временных нагрузок определяется в соответствии с (2.5).

где: – нагрузка на i-перекрытие;

– площадь i-ого перекрытия, =739,84 м2;

=9,81 м/с2 – ускорение свободного падения.

ЛЕКЦИЯ 5.

Определение первой собственной частоты поступательных колебаний здания. Определение первой собственной частоты

поступательных колебаний здания без учета упругого основания

Любое здание можно представить, как системы с бесконечным числом динамических степеней свободы, так как все элементы здания имеют массу и являются упругими.

Для многоэтажных каркасных зданий, которые и рассматриваются в работе, можно предположить, что массы, входящие в систему, сосредоточены в уровнях перекрытия. Это свидетельствует о том, что здание можно рассмотреть, как консольный стержень с количеством сосредоточенных масс,

равным числу этажей здания и жесткостью, эквивалентной жесткости всего здания.

Для каркасных многоэтажных зданий с большой степенью точности можно предположить, что все входящие в систему массы сосредоточены в уровнях перекрытий.

26

Рассмотрим первый вариант, когда для определение собственных частот поступательной формы колебания здания используется консольный сдвиговой стержень с жесткой заделкой (рис. 5.а) – обратный маятник.

В общем случае такая система имеет n собственных частот. Примеры возможных форм колебаний показаны на рис. 5 (б, в, г). При этом наиболее вероятная форма колебания, соответствующая первой (наименьшей)

собственной частоте, показана на рис. 5 а [10,29,30].

Рис 5. Динамическая изгибная расчетная схема многоэтажного здания (а) и

некоторые формы изгибных колебаний (б-г)

Определение первой собственной частоты поступательных

колебаний здания с учетом податливости основания

Рассмотренный вариант с жесткой заделкой в целом соответствует реальной конструктивной схеме сопряжения колонн с фундаментами, но при этом игнорируется возможные перемещению в вертикальном направлении узла сопряжения. Такие перемещению возникают в результате упругой осадки фундамента, которые оказывают влияние на напряженно-деформированное состояние конструкций здания[33].

Из курса строительной механики известно, что неравномерная осадка опорных связей вызывает дополнительные усилия в элементах статически неопределимых систем [1]. Это означает, что при проектировании зданий и сооружений необходимо учитывать неоднородность осадок.

В случае, когда основание имеет достаточно однородные свойства по всей площадке сопряжения грунтового основания со зданием, и количественные

28

Вариант грунтового основания, которое по сейсмическим свойствам относится к I категории можно рассматривать, как модель с консольного стержня с жестким защемлением.

Рассмотрим в работе вариант расположения расчетного стержня на грунтовом основании, когда стержень опирается на плиту. Плита моделировалась пластинчатыми элементами. Коэффициент упругого основания рассчитан и задан в программно-вычислительном комплексе SCAD Office согласно грунтовому основанию, представленному на рис. 6.

При проектировании здание можно рассматривать как консольный стержень с жесткой заделкой с количеством сосредоточенных масс, равному числу этажей здания как в первом варианте (рис. 5а). Такая расчетная схема полностью исключает деформации в основании. Реально же, здание всегда опирается на деформируемое основание, поэтому более точная расчетная схема имеет вид, который представлен на рис. 7а. В таком варианте предполагается, что пружины (характеризующие упругое основание)

располагаются бесконечно близко друг к другу, а их суммарная жесткость отнесена к 1 м – в случае плоской задачи, или к 1 м2 – случае пространственной задачи. Такая величина называется коэффициентом постели грунта [10,11,31].

Рисунок 7. Динамическая расчетная схема многоэтажного здания c упругом

основании на поступательные колебания (а) и некоторые формы колебаний (б и в)

29

Расчет частот поступательных колебаний здания с учетом и без

учета податливости основания

Решая систему уравнения (2.6) найдем частоты изгибных форм колебания здания [4,10,11,31]:

где – удельное перемещение сосредоточения i-той массы от единичной силы, приложенной в точке сосредоточения j-той массы;

- частота собственных колебаний системы.

На основании уравнения частот, отбросив амплитуды колебаний составим матрицы частот (2.7):

Раскрывая определитель матрицы коэффициентов системы уравнений амплитуд (W) (2.7) найдем корни многочлена n-ной степени (2.8):

где = 12.

В связи с возникновением необходимостью раскрытия определителя матрицы n-ного порядка, вычисление зданий с большим количеством этажей становится громоздким.

Для определения первой и последующих собственных частот, используя метод последовательного приближения, выражение (2.7) будет представлять собой определитель числовой матрицы.

При определении частотных характеристик одной из важных задач является определение эквивалентной жесткости стержня. Для решения этой