9286

достаточным условием оптимальности является равенство нулю градиента функции grad f ( X ) x12 + x22 + * (x1 + x2 -1)2

то есть частные производные x1 + * (x1 + x2 -1) = 0

x1 + * (x1 + x2 -1) = 0

Решая эту систему из двух уравнений, получаем:

x1 = x2 = 1 + 2 *

при x1 = x2 = 12 .

4. Методические указания по организации самостоятельной работы

4.1 Общие рекомендации для самостоятельной работы

Самостоятельная работа студентов является основным способом овладения учебным материалом в свободное от обязательных учебных занятий время.

Целями самостоятельной работы студентов являются:

-систематизация и закрепление полученных теоретических знаний и практических умений студентов;

-углубление и расширение теоретических знаний;

-формирование умений использовать нормативную, правовую, справочную документацию и специальную литературу;

-развитие познавательных способностей и активности студентов:

-формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию,

111

самосовершенствованию и самореализации.

Запланированная в учебном плане самостоятельная работа студента рассматривается как связанная либо с конкретной темой изучаемой дисциплины,

либо с подготовкой к курсовой, дипломной работе, а также к защите ВКР. В данном разделе рассматривается только самостоятельная работа первого вида.

Самостоятельная работа выполняется в два этапа: планирование и реализация.

Планирование самостоятельной работы включает:

-уяснение задания на самостоятельную работу;

-подбор рекомендованной литературы;

-составление плана работы, в котором определяются основные пункты предстоящей подготовки.

Составление плана дисциплинирует и повышает организованность в работе.

На втором этапе реализуется составленный план. Реализация включает в себя:

-изучение рекомендованной литературы;

-составление плана (конспекта) по изучаемому материалу (вопросу);

-взаимное обсуждение материала.

Необходимо помнить, что на лекции обычно рассматривается не весь материал.

Оставшийся восполняется в процессе самостоятельной работы. В связи с этим работа с рекомендованной литературой обязательна.

Работа с литературой и иными источниками информации включает в себя две группы приемов: техническую, имеющую библиографическую направленность, и

содержательную. Первая группа – уяснение потребностей в литературе; получение литературы; просмотр литературы на уровне общей, первичной оценки; анализ надежности публикаций как источника информации, их относимости и степени полезности. Вторая – подробное изучение и извлечение необходимой информации.

Для поиска необходимой литературы можно использовать следующие способы:

-поиск через систематический каталог в библиотеке;

-просмотр специальных периодических изданий;

-использование материалов, размещенных в сети Интернет.

112

Для того, чтобы не возникало трудностей понимания текстов учебника,

монографий, научных статей, следует учитывать, что учебник и учебное пособие предназначены для студентов и магистрантов, а монографии и статьи ориентированы на исследователя. Монографии дают обширное описание проблемы,

содержат в себе справочную информацию и отражают полемику по тем или иным дискуссионным вопросам. Статья в журнале кратко излагает позицию автора или

его конкретные достижении в исследовании какой-либо научной проблемы.

В процессе взаимного обсуждения материала закрепляются знания, а также приобретается практика в изложении и разъяснении полученных знаний,

развивается речь.

При необходимости студенту следует обращаться за консультацией к

преподавателю.

Составление записей или конспектов позволяет составить сжатое представление по изучаемым вопросам. Записи имеют первостепенное значение для самостоятельной работы студентов. Они помогают понять построение изучаемого

материала, выделить основные положения, проследить их логику.

Ведение записей способствует превращению чтения в активный процесс. У

студента, систематически ведущего записи, создается свой индивидуальный фонд подсобных материалов для быстрого повторения прочитанного. Особенно важны и полезны записи тогда, когда в них находят отражение мысли, возникшие при

самостоятельной работе.

Можно рекомендовать следующие основные формы записи: план, конспект,

тезисы, презентация.

План – это схема прочитанного материала, краткий (или подробный) перечень вопросов, отражающих структуру и последовательность материала. Подробно

составленный план вполне заменяет конспект.

Конспект – это систематизированное, логичное изложение материала

источников, по возможности следует использовать последние издания учебных пособий и исследований.

Тезисы – это последовательность ключевых положений из некоторой темы без доказательств или с неполными доказательствами. По объему тезисы занимают одну страницу формата А4 или одну – две страницы в ученической тетради. В конце тезисов студент должен сделать собственные выводы.

Презентации по предложенной теме составляются в программе Power Point или

Impress. Количество слайдов должно быть не менее 15 и не превышать 20 слайдов.

Кроме текста на слайдах можно создавать схемы и таблицы. Шрифт должен быть читаемым, например, шрифт черного цвета на светлом фоне или светлый шрифт на темном фоне. Также шрифт не должен быть слишком мелким. В слайдах указываются только основные тезисы, понятия и нормы.

4.2Темы для самостоятельного изучения

1.Методы прямого поиска. Методы случайного многомерного поиска.

2.Методы минимизации многомодальных функций. Метод ломаных.

3.Минимизация функций по правильному (регулярному) симплексу (метод Нелдера-Мида).

4.Метод параллельных касательных. Метод Пауэлла.

5.Метод сопряженных градиентов (Флетчера-Ривса).

6.Многомерный поиск. Метод вращающихся координат (Розенброка).

7.Метод Давидона-Флетчера-Пауэлла (DFP-формула).

8.Спуск с ограничениями. Метод возможных направлений Метод Зойтендейка.

9.Сравнение эффективности различных численных методов. (тест Розенброка,

Пауэлла и др.).

10.Многомерный поиск. Метод Хука-Дживса.

11.Метод внешних штрафных функций.

12.Внутренние штрафные функции. Метод Фиакко и Маккормика

13.Метод барьерных функций.

114

14.Внутренние штрафные функции. Метод Эрроу –Гурвица.

15.Метод Левенберга-Марквардта.

16.Метод обобщенного координатного спуска.

17.Метод Брента.

18.Метод Ньютона.

19.Модификация многомерных методов нулевого порядка для случая ограничений типа a<=x<=b.

20.Проблема овражности и её решение. Сравнительный анализ поведения некоторых методов.

21.Метод штрафной функции без параметров.

22.Метод точной штрафной функции (Пауэлл-Хестенс-Рокафеллар).

23.Обзор последних англоязычных работ по методам нелинейной оптимизации.

Анализ развития теории нелинейной оптимизации после классических работ

(Зангвилл, Зойтендейк, Гилл и проч.).

24.Реализация методов линейного поиска и их сравнительный анализ (золотое сечение, Брент и т.д.) на примере метода градиентов Коши.

25.Метод проекции градиента для линейных ограничений.

26.Метод проекции градиента с одним ограничением типа равенств.

4.3Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы

1.Кремер Н.Ш. Исследование операций для экономистов. – М.: ЮНИТИ,

2006.

2.Таха Х. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2007.

3.Гончаров В.А. Методы оптимизации: учеб. пособие для студентов вузов по спец. 010501(010200) "Приклад. математика и информатика", 230105(220400)

"Програм. обеспечение вычислит. техники и автоматизир. систем" / В. А. Гон-

чаров. – М. : Юрайт : Высш. образование, 2010.

4. Базара, Шетти. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. –М.:

Мир, 1982.

115

5. Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы оптимизации. –

М.: Высш. шк., 1983.

6. Пантелеев А. В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах:

учебное пособие, 2-е издание – М.: Высш. шк. , 2005 – 544 с.

7. Аттетков А. В. , Зарубин В. С., Канатников А. Н. Введение в методы опти-

мизации : учебное пособие. – М. : Финансы и статистика, 2014.

8.Васильева О. А. , Ларионов Е. А., Лемин А. Ю., Макаров В. И. Методы оп-

тимизации : учебное пособие. – М. : Московский государственный строи-

тельный университет, ЭБС АСВ, 2014.

9.Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт: Практическая оптимизация .– М.: Мир, 1985.

10.Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах:

Учебное пособие. – М.: Высш. шк., 2002. -544с.

11. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации: Учебное посо-

бие. – СПб.: Издательство «Лань», 2011. – 352 с.

12.Ларин Р.М., Плясунов А.В., Пяткин А.В. Методы оптимизации. Примеры и задачи: Учебное пособие. – Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 2003. – 120 с.

13.Мудров А.Е. Название: Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик,

Фортран и Pascal. – Томск: Издательство «Раско», 1991.

4.4 Задания для самостоятельной работы

Раздел 1. Оптимизационные задачи нелинейного программирования. Их

классификация.

Задача 1.

Найти множество точек минимума U* функции f(x) на множестве U.

Задача 2.

Убедиться в унимодальности функций f(x) на указанных отрезках [a; b].

116

печивает вычисление точки минимума x* на отрезке [a; b] с абсолютной погрешно-

Задача 3.

Найти число шагов n метода деления отрезка пополам, необходимое для опре-

деления точки минимума функции f (x) Q[a;b] на отрезке [a; b] с точностью > 0.

Задача 4.

Достаточно ли вычисления 10 значений функции f (x) Q[a;b] для определения

ее точки минимума на отрезке [0; 1] с точностью = 0.02 методом деления отрезка пополам?

Задача 5.

Сравнить необходимые количества вычисленных значений Nд и Nп функции f(x) при поиске её точки минимума на отрезке длины 1 с точностью = 10 5 метода-

ми деления отрезка пополам и перебора соответственно.

Задача 6.

Сравнить необходимые количества вычисленных значений Nд и Nс функции f(x) при её минимизации на отрезке длины 1 с точностью = 10 5 методами деления

отрезка пополам и золотого сечения соответственно.

Задача 7.

Методом золотого сечения найти точку минимума х* функции f(x) на отрезке

шица, то она непрерывна на [a; b].

Найти наименьшую из констант Липшица функции на отрезке: а) [0; 1]; б)[0;

10].

Задача 9.

Убедившись в выпуклости функции на отрезке [a; b] f (x) x ln x, [0,1;2] ,

118

найти её точку минимума х* и минимальное значение f* методом касательных, ис-

пользуя в качестве условия достижения требуемой точности неравенство

f (cn* ) 0,01.

Задача 10

1. Для заданной целевой функции f (x) x4 e x произвести графический анализ функции. Найти промежуток (X R), на котором функция унимодальна. По-

строить графики первой и второй ее производных.

2.Найти методом золотого сечения точку минимума на этом отрезке с точностью

=0,001. Вычисление вести с одним запасным знаком.

3.Найти минимум функции методом средней точки для заданной точности

ε=0,02 на интервале [0,1].

4.Найти минимум функции методом хорд для точности ε=0,05.

5.Найти минимум функции методом Ньютона.

6.Для каждого метода изучить зависимость скорости работы (числа вычислений функции) от значения точности.

7.Проверить результаты вычислений с использованием надстроек Excel “Подбор параметра” и “Поиск решения”.

8.Сделать выводы об эффективности работы методов.

9.Выполнить задания для функций по вариантам и оформить отчет. Отчет дол-

жен включать следующие пункты:

1)Постановка задачи

2)Проверка унимодальности аналитическим методом и по графику

(Если функция не является унимодальной, то измените интервал так, чтобы условие унимодальности было выполнено)

3)Точный метод поиска экстремума

4)Приближенные методы поиска экстремума:

Для каждого метода описание алгоритма

Блок-схема

расчеты

119

5)Сравнение методов по количеству обращений к функции и по точности

6)Вывод: какой метод более эффективен.

3. на отрезке

4. на отрезке

5. на отрезке

120