8752

200

локализована частица, описываемая волной де Бройля, если проекции ее импульса по осям

px , p y , pz ее импульса на соответствующие оси не могут одновременно иметь значения в

точности равные x и px , y и p y , z и pz . Эти физические величины могут иметь

значения, заданные с точностью, определяемой соотношениями Гейзенберга. Чем более

проекции импульса px становится совершенно неопределенным.

Соотношения неопределенностей накладывают в квантовой механике определенные ограничения на возможности описания движения частицы по некоторой траектории.

В классической теории в каждой точке траектории частица имеет определенные координаты x, y,z и определенный импульс p с проекциями по осям px , p y , pz . В

квантовой механике это реализуется только в тех случаях, когда частица движется в макроскопической области пространства (например, оставляет след на фотопластинке или экране осциллографа). Если, например, положение электрона зафиксировано с точностью, определяемой линейными размерами зерна фотоэмульсии, испытывающего воздействие

движется по определенной траектории с точно заданной в каждой точке скоростью.

Если частица движется в макроскопической области пространства, то соотношения неопределенностей существенно сказываются на характере движения частицы. Например, положение электрона, движущегося в атоме, может быть определено с точностью до

размеров атома, то есть Dx ~ 10−10 м . Неопределенность скорости υx оказывается при этом такого же порядка, что и сама скорость: υx ≈ 106 м / с ≈ υ. Траектория электрона в

201

атоме с точно заданной в каждой точке скоростью не имеет смысла. Это вовсе не означает, что соотношения неопределенностей свидетельствуют о принципиальной ограниченности наших знаний о микромире. Эти соотношения лишь отражают ограниченную применимость понятий классической физики в области микромира.

Соотношения неопределенностей не вносят ограничений в возможность использовать в классическом смысле понятия координаты и импульса для макроскопических тел. Волновые свойства у таких тел не проявляются и поэтому для макроскопических тел соотношения неопределенностей не играют никакой роли.

Соотношение неопределенностей для энергии W и времени t :

где DW – неопределенность энергии частицы, которая находится в течение времени Dt в

состоянии с энергией W . Энергия частицы в данном состоянии может быть определена тем точнее, чем дольше частица находится в этом состоянии.

Уравнение Шредингера**

Положение частицы в пространстве в данный момент времени определяется в

данной точке пространства: Ψ 2 = dω = ρ . Интенсивность волны де Бройля определяется

dV

величиной Ψ 2 .

Волновая функция Ψ(x, y,z,t ) является основной характеристикой состояния микрообъектов (атомов, молекул, элементарных частиц). С ее помощью вычисляется среднее значение физической величины L , характеризующей объект, находящийся в состоянии,

описываемом волновой функцией Ψ ,

Какому уравнению должна подчинятся волновая функция для состояния, когда энергия системы фиксирована (стационарное уравнение шредингера).

Волновое уравнение может быть записано в виде:

Для гармонической волны зависимость от времени определяется формулой

S (t, x) = A ×sin(ωt M kx) тогда заменяя вторую производную по времени соотношением

Если записывать уравнение для волновой функции частицы, то естественно под длиной волны понимать волну де Бройля (2.5) тогда

собственными функциями. В трёхмерном случае вместо второй производной по координате войдёт оператор Лапласа:

Решения существуют лишь при определенных значениях E, называемых собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений E образует энергетический спектр частицы. В зависимости от вида функции U (x, y, z), энергетический спектр

203

частицы может быть дискретным или непрерывным. Отыскание собственных значений и

состоянием. Атом, находящийся в стационарном состоянии, имеет постоянную энергию и не излучает электромагнитные волны.

Частица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины

Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия U частицы монотонно возрастает по мере удаления от точки, где эта энергия минимальна. На рис. 2.1 изображена одномерная потенциальная яма бесконечной глубины с «плоским дном»:

U = 0 при 0 £ x £ L, U = ¥ при x £ 0 и x ³ L .

U

H

A = 0 , B ¹ 0 и sin kL = 0 , то есть волновое число принимает ряд дискретных значений соответствующих требованию kn L = nπ , где

Последнее уравнение означает, что

На длине потенциальной ямы должно укладываться целое число полуволн де Бройля. Физические величины, которые могут принимать лишь определенные дискретные

значения, называются квантованными (квантование физических величин). Собственные значения энергии En частицы в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины

представляют собой дискретный ряд значений энергии, которая является квантованной. Таким образом, энергетический спектр такой частицы является дискретным, в отличие от свободной частицы.

Квантованные значения En называются уровнями энергии, а число энергетические уровни частицы в потенциальной яме, называется квантовым числом.

Линейный гармонический осциллятор

Линейным одномерным гармоническим осциллятором называется частица с массой m ,

которая колеблется с собственной циклической частотой ω0 вдоль некоторой оси ОХ под действием квазиупругой силы Fx , пропорциональной отклонению x частицы от положения равновесия: Fx = −kx . Здесь k – коэффициент квазиупругой силы, связанный с m и ω0

соотношением k = mω0 . Потенциальная энергия гармонического осциллятора

U ( x ) = kx2 .

2

Амплитуда малых колебаний гармонического осциллятора в классической физике определяется запасом его энергии Е (рис. 2.2). В точках B и A с координатами ± a

205

U ( a )

энергия W равна потенциальной энергии: W = , где а – амплитуда колебаний

U ( −a )

классического гармонического осциллятора. За пределы области ( −a,+a ) такой осциллятор

выйти не может.

U

Рис. 2.2

В квантовой физике колебания линейного гармонического осциллятора изучаются с помощью стационарного уравнения Шредингера

равностоящих друг от друга энергетических уровней, изображенных на рис. 2.3. При n >> 1

и n + 1 = n энергетические уровни осциллятора совпадают с величинами квантовой

2

абсолютно черного тела.

Наименьшая энергия, которую может иметь линейный гармонический осциллятор,

означает, что осциллятор не колеблется и находится в положении равновесия. Атомыосцилляторы при температуре абсолютного нуля (Т=0) не должны, согласно классической физике, совершать колебания. В квантовой механике доказано, что нулевая энергия гармонического осциллятора не может быть от него отнята при любом охлаждении, вплоть до абсолютного нуля. Нулевой энергии осциллятора соответствуют его нулевые колебания. В квантовой механике нулевая энергия является характерным признаком любой системы частиц. При температурах, близких к абсолютному нулю, вещество находится в конденсированном состоянии и его атомы (молекулы или ионы) рассматриваются как колеблющиеся осцилляторы. Нулевая энергия является наименьшей энергией, которой должен обладать квантовый осциллятор в наинизшем энергетическом состоянии (при n = 0 ) для того, чтобы выполнялись соотношения неопределенностей.

2.10. Атом водорода. Пространственное квантование

Стационарное уравнение Шредингера для движения электрона в кулоновском поле ядра водородоподобного иона имеет вид

ядра, ε0 – электрическая постоянная, W – энергия электрона в атоме.

Решение стационарного уравнения Шредингера для электрона в центрально-

где орбитальное квантовое число l, определяющее модуль момента импульса, изменяется в пределах l = 0,1,...,( n − 1); n – главное квантовое число.

В зависимости от значений орбитального квантового числа приняты следующие

Как следует из условий квантования орбитального момента импульса, квантовая механика, в отличие от классической, допускает нулевое значение орбитального момента импульса электрона (s-состояние), что по классической модели соответствует маятникообразному движению электрона через центр атома ( r = 0 ).

Классическая механика и теория Бора, рассматривая электрон в атоме, как частицу массой me , движущуюся со скоростью υ по орбите радиуса r, определяют момент импульса

электрона, связанный с его орбитальным движением, как вектор Le , направление которого определяется по правилу правого винта (рис. 2.6), а модуль Le = meυr .

0

Le Lez

208

Рис. 2.6

Пространственным квантованием называется доказанное в квантовой механике существование определенных дискретных ориентаций в пространстве вектора момента

значения m = 0,±1,±2,...,±l , а l – орбитальное квантовое число.

В связи с тем, что вектор орбитального момента импульса электрона пропорционален орбитальному магнитному моменту электрона, из пространственного квантования следует,

что вектор pm орбитального магнитного момента электрона во внешнем магнитном поле не может принимать произвольных ориентаций.

Опытным путем было установлено, что наблюдается пространственное квантование магнитных моментов атомов с одним внешним валентным электроном, находящимся в s -

состоянии ( l = 0 ). В таком состоянии атомов у них отсутствует орбитальный момент импульса ( Ll = 0 ). Пространственное квантование, обнаруженное в таких опытах,

относилось к спину электрона – собственному моменту импульса электрона, являющемуся его неотъемлемым свойством (как, например, масса) и не зависящему от состояния электрона. Опыты подтвердили наличие двух возможных ориентаций вектора спина во внешнем магнитном поле: либо по направлению поля, либо противоположно ему.

где s = 12 – спиновое квантовое число электрона. Поэтому численное значение спина электрона равно

209

Литература

1.Савельев, И. В. Курс общей физики : учеб. пособие для студентов вузов по техн. (550000) и технол. (650000) направлениям. Т.1 : Механика. Молекулярная физика. - Изд. 10-е, стер. -

СПб. : Лань, 2008. - 432 с.

2.Савельев, И. В. Курс общей физики : учеб. пособие для студентов вузов по техн. (550000) и технол. (650000) направлениям. Т.2 : Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. Изд. 10-

е, стер. - СПб. : Лань, 2007. - 496 с.

3.Савельев, И. В. Курс общей физики : учеб. пособие для студентов вузов по техн. (550000) и технол. (650000) направлениям : в 3 т. Т.3 : Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. Изд. 4-е, стер. - СПб. : Лань,

2005. - 317 с.

4.Волькенштейн, В. С. Сборник задач по общему курсу физики : для студентов техн. вузов / В. С. Волькенштейн. Изд. 3-е, испр. и доп. - СПб. : Кн. мир, 2006. - 327 с.

5.Фриш, С. Э. Курс общей физики. Т.1 : Физические основы механики. Молекулярная физика. Колебания и волны / Т.2 : Электрические и электромагнитные явления / Т.3 : Оптика. Атомная физика. - Изд. : Лань, СПб.

2007

СОДЕРЖАНИЕ