8752

140

Важно, что период вращения не зависит от скорости частицы. Поэтому частицы одного сорта делают один оборот вокруг силовой линии за одинаковое время, хотя радиус окружности зависит от скорости частиц.

3.В общем случае, частица, влетающая в магнитное поле со скоростью V, имеет составляющую скорости вдоль магнитного поля, равную V|| = Vcosα и перпендикулярную полю V = Vsinα . Таким образом, результирующее движение представляет совокупность равномерного вращения вокруг силовой линии и дрейф вдоль силовой линии с постоянной скоростью. Траектория такого движения представляет винтовую линию. Радиус винтовой линии и период вращения определяются прежде полученными соотношениями. Расстояние между витками или шаг винтовой линии h может быть вычислен по формуле:

h = V|| ×T .

Движение заряженных частиц в магнитных полях встречается во многих природных явлениях таких как полярные сияния, солнечные вспышки. Жизнь на Земле обязана своим существованием, в частности, наличию силы Лоренца. Заставляя космические заряженные частицы двигаться по окружности, земное магнитное поле защищает поверхность планеты от высокоэнергичных корпускул. Энергичные частицы совершают движение по винтовым линиям вдоль магнитного поля, образуя радиационные пояса Земли.

Особенности движение заряженных частиц в магнитном поле используются в физике высоких энергий (ускорители), в электронике для создания генераторов излучения, в термоядерной энергетике для магнитного удержания плазмы.

§22. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

Внастоящем параграфе на простой модели будет получено полезное соотношение для расчета работы при движении проводника с током в магнитном поле.

Пусть имеется цепь, по которой течет постоянный ток. Провод длиной L, изображенный на рисунке вертикальным, может скользить по горизонтальным подводящим проводам сохраняя электрический контакт с ними. Вся схема находится во внешнем однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости рисунка. При этом на подвижный проводник будет действовать сила Ампера, также изображенная на рисунке.

Вычислим работу силы Ампера, если перемещение проводника равно r .

141

Вычисление работы представим последовательностью формул:

Здесь учтено что, во-первых, сила перпендикулярна перемещению, во-вторых, ток в проводнике перпендикулярен магнитному полю, а кроме того, введено обозначение DS для площади, покрытой проводником при движении (эта же величина представляет собой увеличение площади замкнутого контура, по которому течет ток).

Величина DФ = В × DS представляет собой поток вектора магнитной индукции (или магнитный поток) через площадку DS , перпендикулярную магнитному полю. В случае произвольной площадки поток вектора

магнитной индукцииDФ равен: DФ = В × DS = В × DS × cosα , где α -угол между

направлением вектора В и нормалью к площадке.

Нетрудно заметить, что понятие магнитного потока аналогично потоку вектора напряженности электрического поля. В физике рассматриваются потоки и других векторных полей, причем все они определяются аналогично. Например поток вектора скорости несжимаемой жидкости через площадь поперечного сечения трубы равен объему жидкости, протекающей через сечение трубы за единицу времени.

Таким образом, полученная нами формула для работы может быть записана

сиспользованием понятия магнитного потока :

А= I × DФ ,

что означает, что работа по перемещению проводника с постоянным током в магнитном поле равна величине тока, умноженной на изменение магнитного потока через замкнутый контур, в который входит проводник.

Данная формула универсальна, хотя мы получили ее в частном случае. Удобство этой формулы состоит в том, что в ряде случаев при вычислении работы можно избежать интегрирования (например, вычисляя работу при повороте рамки с током в магнитном поле) .

Вопросы для самоконтроля и повторения

1.Что представляет собой магнитное поле, какими свойствами оно обладает?

142

2.Что называют индукцией магнитного поля? Как определяют направление вектора магнитной индукции?

3.Как связаны векторы напряженности и индукции магнитного поля?

4.Запишите закон Био-Савара-Лапласа. Что позволяет рассчитывать применение этого закона?

5.Назовите единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля, дайте их определения.

6.Сформулируйте закон Ампера. Какая сила действует со стороны магнитного поля на движущийся заряд? Чему она равна?

7.В чем заключается теорема о циркуляции вектора магнитной индукции? Какой вывод можно сделать, сравнивая циркуляцию векторов E и B ?

8.Что называют потоком вектора магнитной индукции? Сформулируйте теорему Гаусса для магнитного поля, объясните ее физический смысл.

9.Из каких магнитных моментов складывается магнитный момент атома? Что такое намагниченность вещества?

10.Какие вещества называют диамагнетиками, парамагнетиками, ферромагнетиками? Каков механизм намагничивания ферромагнетиков? Что такое точка Кюри?

Примеры решения задач

Задача 1. На рис. изображены сечения трех прямолинейных бесконечно длинных проводников, по которым протекают токи в указанных направлениях. Расстояния между проводниками одинаковы и равны 5 см, I 1 = I 2 = I , I 3 = 2I .

Найти точку на прямой АС, в которой напряженность магнитного поля равна нулю.

Дано: АВ=ВС=5 см, I 1 = I 2 = I , I 3 = 2I .

Решение

Поставленному условию удовлетворяет точка М (в точке N напряженность результирующего поля H ¹ 0 , так как в ней по принципу суперпозиции модули

проводники прямолинейные.

143

Для точки М по принципу суперпозиции

где a − расстояние от первого проводника до точки М. Решая это уравнение, получим а = 3,3 см.

Ответ: искомая точка находится на прямой АС на расстоянии 3,3 см от первого проводника.

Задача 2. Два параллельных длинных провода D и C, по которым протекают в одном направлении токи силой по 60 А, расположены на расстоянии 10 см друг от друга. Определить индукцию магнитного поля в точке А, отстоящей от одного проводника на расстоянии 5 см, а от другого – на 12 см.

Подставляя числовые значения, получим BA = 3,08 ×10−4 Тл.

Ответ: BA = 3,08 ×10−4 Тл.

Задача 3. Альфа-частица, имеющая скорость 106 м/с, влетела в однородное магнитное поле, индукция которого 0,3 Тл. Скорость α -частицы

144

перпендикулярна направлению линий магнитной индукции. Найти радиус окружности, по которой будет двигаться частица, и период ее обращения.

Дано: v = 106 м / с, B = 0,3Тл, q = 2e = 3,2 ×10−19 Кл, m = 6,64 ×10−27 кг.

Найти: R,T .

Решение

На α -частицу в магнитном поле действует сила Лоренца Fл , перпендикулярная вектору скорости v . Следовательно Fл является центростремительной силой, т.е.

T = 2πR . v

Подставляя числовые данные, получим R = 6 ,92 × 10 −2 м, T = 43,4 × 10 −8 c.

Ответ: R ≈ 7 см, T ≈ 0,4 мкс.

Глава 4. Электромагнитная индукция

В предыдущих главах было выяснено, что электрическое поле вызывает протекание электрического тока в проводнике и, вследствие этого, приводит к возникновению магнитного поля. Как будет показано ниже, возможны и обратные процессы, при которых магнитное поле порождает поле электрическое. Таким образом мы придем выводу о взаимной связи электрических и магнитных полей или к понятию электромагнитного поля.

§23. Закон электромагнитной индукции Фарадея

В1831 году М. Фарадей на эксперименте установил, что при всяком

изменении магнитного потока, пронизывающего площадь замкнутого контура, в этом контуре возникает индукционный электрический ток. Величина ЭДС индукции, вызывающей индукционный ток пропорциональна скорости изменения магнитного потока и в системе СИ может быть записана в виде:

εi = - dФ. dt

145

Индукционный ток возникает при относительном движении замкнутого контура и постоянного магнита, а так же без всякого движения при исчезновении магнитного поля электромагнита, в поле которого находится замкнутый контур с током.

Направление индукционного тока (или знак ЭДС индукции) определяется правилом Ленца, которое гласит: индукционный ток имеет такое

направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует

изменению магнитного потока, которое вызывает индукционный ток.

Например, если подносить к замкнутому контуру постоянный магнит, через витки контура будет увеличиваться магнитный поток поля внешнего магнита. Тогда, согласно правилу Ленца, возникающий индукционный ток должен сам создавать магнитное направления, противоположного направлению магнитного поля постоянного магнита. Именно в этом случае суммарное магнитное поле через контур будет уменьшено и магнитный поток ближе к исходному нулевому значению. В этом случае контур с током эквивалентен магниту, с полярностью, противоположной магниту, который подносят. В этом случае между магнитом и витком действует сила отталкивания. Следовательно, чтобы подносить магнит к витку, необходимо совершать работу против сил отталкивания. Эта работа выделяется в виде Джоулева тепла при протекании тока в витке.

V ВИНД

При обратном процесс, когда магнит начинают отдалять от витка, согласно закону Ленца, возникнет индукционный ток, «старающийся» сохранить прежнюю величину поля. В этом случае виток имеет такое же магнитное поле, как отдаляющийся магнит и между ними возникает сила притяжения, для преодоления которой также необходимо совершать работу. Таким образом, правило Ленца соответствует закону сохранения энергии.

Следует отметить, что любые равновесные физические системы стремятся сохранить положение устойчивого равновесия, а значит противодействуют внешним изменениям, которые стремятся вывести их из этого положения.

§ 24. Вывод выражения для ЭДС индукции для движущихся проводников

Снова вернемся к схеме с движущимся без трения проводником, рассмотренную в § 22. Будем считать, что полное сопротивление цепи равно R,

146

а ЭДС источника ε . Подсчитаем баланс энергии за время Dt перемещения проводника на расстояние Dr .

R

За это время источник совершает работу, равную ε × I × Dt , в результате этого в сопротивлении выделяется тепло I 2 × R × Dt и совершается работа по перемещению проводника с током в магнитном поле, равная I × DФ :

ε × I × Dt = I 2 × R × Dt + I × DФ .

Выражая из этого соотношения электрический ток, получим:

Это соотношение имеет вид закона Ома для неразветвленной замкнутой цепи, но к ЭДС источника имеется добавка (ЭДС индукции), соответствующая закону Фарадея. Это означает, что в случае движущихся проводников закон Фарадея можно было получить аналитически, без всяких экспериментов. Отметим также, что согласно полученной формуле, ток в цепи будет отличным от нуля и без постоянного источника, однако в этом случае двигать проводник придется «руками».

Взаключение параграфа рассмотрим вопрос о природе сторонней силы. Какая сила вызывает направленное движение электронов в проводнике?

При движении проводника у всех электронов появляется направленная скорость, равная скорости проводника (на рисунке – вправо). При движении электронов перпендикулярно магнитному полю вправо, на каждый электрон будет действовать сила Лоренца, направленная вниз. Эта и сила вызовет направленное движение зарядов (или разность потенциалов на концах проводника, если цепь не замкнута). Направление соответствующего индукционного тока соответствует рисунку .

§25. Вихревое электрическое поле

Впредыдущем параграфе мы убедились, что явление возникновения индукционных токов в движущихся проводниках не вызывает вопросов. Здесь

147

все согласуется с известными законами физики. Тем не менее остается неясным причина возникновения индукционного тока в случае неподвижных зарядов.

Вот пример эксперимента. Если взять проводник в виде круглого кольца и «включать» магнитное поле указанного на рисунке направления, то возникнет индукционный ток против часовой стрелки.

Е

Е

dB > 0 dt

ЕВ

Е

Здесь сила Лоренца, связанная с движением электронов вместе с проводником, равна нулю и, значит, не видно сторонней силы, вызывающей направленное движение электронов вдоль кольца.

Для того, чтобы объяснить возникновение тока в такой ситуации, приходиться предположить, что возникает электрическое поле, направленное по касательной к кольцу в каждой точке. Это поле изображено на рисунке. Поскольку кольцо симметрично, величина напряженности этого поля должна быть одинаковой в каждой точке кольца. ЭДС индукции, возникающей в кольце, можно выразить через напряженность E, поскольку любая ЭДС равна работе по перемещению единичного заряда. Для кольца радиуса R это дает:

Мы получили, что циркуляция поля Е по замкнутому контуру не равна нулю, то есть поле, которое по предположению, возникает должно быть вихревым, а не потенциальным как обычное поле электрических зарядов, циркуляция которого всегда равна нулю.

Таким образом, мы приходим к выводу о необходимости возникновения особого вихревого электрического поля, не связанного с наличием электрических зарядов. Это поле должно возникать при изменении магнитного потока через площадь кольца, и его циркуляция должна давать ту же ЭДС индукции, что закон Фарадея. Следовательно должно выполнятся равенство:

С другой стороны законы природы, конечно не должны зависеть от формы контура, который мы поместили в магнитное поле. Более того, если быть последовательным, приходится признать, что возникновение вихревого электрического поля не должно также зависеть от наличия или отсутствия в этом месте проводника.

148

Окончательный вывод можно сформулировать следующим образом: при

всяком изменении магнитного поля со временем, в окружающем

пространстве возникает индукционное вихревое электрическое поле. Если в пространстве присутствует замкнутый проводящий контур, индукционное электрическое поле вызывает в нем индукционный ток.

Пользуясь понятием вихревого электрического поля, закон Фарадея можно сформулировать следующим образом: циркуляция индукционного

электрического поля по произвольному замкнутому контуру равна

скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную данным контуром. Сказанное можно выразить в виде равенства

им поверхность. Это уравнение системы Максвелла, которая позволяет рассчитать электрические и магнитные поля в любых ситуациях. Написанное интегральное соотношение полностью определяет величину и направление вихревого электрического поля. Оно аналогично закону о циркуляции магнитного поля, о котором шла речь ранее:

R

∫ В × dL =∫ j × dS .

L S

Из аналогии уравнений ясно, что силовые линии вихревого электрического поля имеют такое же относительное расположение относительно вызывающего

его магнитного поля, какое имеют линии вектора В, относительно вектора плотности тока.

Например, нам известно, что силовые линии магнитного поля, порождаемого прямолинейным проводником с током, представляют собой окружности, концентрические с осью проводника. Значит силовые линии вихревого электрического поля соленоида (магнитное поле которого имеет прямые силовые линии) имеют вид окружностей, концентрических с осью соленоида. Указанная аналогия иллюстрируется сопоставлением рисунков.

149

dB > 0 dt

Второй рисунок соответствует случаю возрастания магнитного поля в соленоиде.

Следует отметить, что вихревое электрическое поле порождается только переменным во

времени магнитным полем, а магнитное поле вызывается как переменным так и постоянным во времени током. В этом состоит отличие вихревого электрического и магнитного полей.

Вихревые электрические поля вызывают в проводящей среде протекание индукционных токов во всем объеме вещества. Нагрев металла вихревыми токами используется в металлургическом производстве в индукционных плавильных печах. В других случаях принимаются меры, чтобы ослабить нагрев материала, вызванный наличием индукционных токов. По этой причине сердечники трансформатора набирают из отдельных пластин.

§ 26. Явление самоиндукции. Индуктивность

Согласно закону Фарадея, любое изменение магнитного потока через сечение замкнутого контура приводит к возникновению ЭДС индукции в этом контуре. С другой стороны, ток, протекающий по контуру порождает магнитное поле и обуславливает наличие магнитного потока через сечение этого же контура. В этом случае магнитный поток будет изменяться при изменении тока в контуре. Возникающее индукционное электрическое поле, препятствуя, по закону Ленца, изменению тока в контуре. Если сила тока увеличивается, индукционное электрическое поле будет замедлять его нарастание; при уменьшении силы тока оно будет поддерживать ток. Можно сказать, что при изменении силы тока в контуре в нем возникает ЭДС индукции, препятствующая этому изменению. Это явление получило название самоиндукцией.

Магнитный поток, сцепленный с контуром, зависит не только от силы тока в нем, но и от размеров и формы контура, а также от магнитных свойств окружающей среды. Однако во всех случаях он пропорционален силе тока, протекающего в контуре, т.е.

Ф=LI,

где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура, и зависящий только от геометрических свойств контура и магнитных свойств окружающей среды. Подставляя магнитный поток в формулу для ЭДС индукции, получим: