8752

150

εi = - d (LI ) = -L × dI . dt dt

Последнее соотношение справедливо, если индуктивность контура не меняется. Из приведенной формулы следует, что

соответствующим единицам. В системе СИ за единицу индуктивности принимают индуктивность такого контура, в котором при скорости изменения тока в 1 А за 1 с возникает ЭДС самоиндукции в 1 В. Эту единицу именуют Генри (Гн):

1 Гн=1 ВА× с .

Вычислим индуктивность длинного соленоида. Магнитный поток через сечение контура равен Ф0 = В × S , где S – площадь сечения витка, В – индукция

магнитного поля соленоида. Подставляя известное соотношение, получим Ф0 = μμ0 nI × S . Число витков соленоида N можно выразить через плотность

намотки n, и длину обмотки l: N=nl. Тогда магнитный поток через все витки соленоида будет равен:

Ф = NФ0 = μμ0 n2 I × S × l = μμ0 n2 I ×V , V = S × l - объем соленоида. Теперь нетрудно выразить индуктивность соленоида:

L = Ф = μμ0 n2 ×V . I

§ 27. Энергия магнитного поля

Пусть в контуре с индуктивностью L и течет ток силойI0 . При отключении

источника постоянного тока, ток в цепи исчезает не мгновенно и лампочка, включенная параллельно индуктивности продолжает некоторое время гореть. Откуда берется энергия, выделяющаяся в лампочке после отключения источника? Очевидно, что это энергия WМ магнитного поля, связанного с

контуром. Для ее вычисления достаточно вычислить работу, совершенную током после отключения источника.

За время dt током совершается следующая работа:

dA = ε × I × dt = -I × L dI × dt = -L × I × dI . dt

151

Здесь мы использовали выражение для ЭДС самоиндукции. Заметим также, что

магнитного поля и поэтому:

Для энергии магнитного поля соленоида, подставляя выражение для

Видим, что энергия магнитного поля соленоида пропорциональна объему соленоида, в котором и сосредоточено это поле. Плотность энергии магнитного поля wМ , т.е. энергия, приходящаяся на единицу объема, равна:

Полученная формула справедлива не только для соленоида, но может использоваться во всех случаях.

Примеры решения задач

Задача 1

Четыре одинаковых положительных заряда расположены в вершинах квадрата со стороной, равной L. Определить силу действующую на каждый заряд.

Решение

4

1

F13

F12 + F14

154

две группы: гармонические и негармонические ( все остальные).

Гармоническими называют колебания, описываемые функцией времени вида

частота , φ - начальная фаза колебаний. Заметим, что вместо функции синус в формуле (2) можно писать и косинус (они отличаются по фазе на π / 2 ).

Рис.1.

. Осциллограммы гармонических колебаний. Начальная фаза 1-го колебания равна нулю, второго - π / 2 .

Гармонические колебания выделяются из всех других по следующим

(негармонические), в сущности, представляют собой суперпозицию гармонических (в математике это положение называется теоремой Фурье, а соответствующее представление периодических функций - рядом Фурье).

По характеру возникновения колебания делятся на собственные (или свободные) и вынужденные. Собственные - это колебания, вызванные только начальными условиями (например, начальным смещением или начальной скоростью). Вынужденные - это колебания вызванные действием периодической (т.е. также колебательной) внешней «силы».

По динамике процесса колебания делятся на незатухающие, затухающие (при этом амплитуда уменьшается со временем), нарастающие (амплитуда растет). Например, собственные колебания всегда являются затухающими. Существуют также автоколебания - колебания, вызванные действием непериодической «силы» и параметрические колебания - колебания, вызванные периодическим изменением какого-либо параметра системы, связанного с её энергией (например, раскачивание качелей без внешнего воздействия).

КИНЕМАТИКА ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ.

155

Рассмотрим гармоническое колебание, описываемое уравнением (2). Напомним, что x(t ) - смещение некоторой величины от равновесного состояния. Колебание определяется заданием амплитуды, частоты и

начальной фазы.

Если смещение определяется формулой (2), то мгновенная скорость v есть производная по времени от x , а ускорение a - вторая производная

V (t)=x′(t)= Aωcos(ωt+φ ) ,

Заметим, что последнюю формулу можно записать в виде

Из выражений (4) ясно, что максимальная скорость и максимальное ускорение определяются формулами

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР, НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ.

Рассмотрим простейшую модель колебательной системы - груз массы m, закрепленный на пружине с коэффициентом жесткости k, который может перемещаться без трения в горизонтальном направлении (см. рис.2).

Рис.2. Пружинный маятник.

где ω 20 = k / m . Пока это только обозначение, и смысл величины ω 0 предстоит выяснить. Мы получили дифференциальное уравнение, связывающее смещение и его вторую производную. Подставив выражение (5) в (8) мы

Дифференциальное уравнение (8) называется уравнением гармонического осциллятора (oscillation - колебание). Оно имеет универсальный вид для любой системы, где возможны незатухающие гармонические колебания. Итак, частота собственных колебаний пружинного маятника определяется формулой (9), а в общем случае она определяется свойствами самой колебательной

системы.

Выясним, от чего зависит амплитуда и начальная фаза. Положив в формуле (2) и в первой формуле (4) t = 0 , запишем

x0 = x(0) = A sin φ , v0 = v(0) = Aω cos φ .

Отсюда можно выразить амплитуду и начальную фазу:

Таким образом, амплитуда и начальная фаза собственных колебаний определяется начальными условиями . В рассмотренном примере это начальное смещение груза и начальная скорость. В частности, если колебание возникает из-за начального смещения (начальная скорость равна нулю), то как видно из (10), A = x0 , φ = π / 2 . Если колебание вызвано начальным толчком

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГИИ В ПРОЦЕССЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ.

При любом колебательном процессе происходит периодическое преобразование энергии из одного вида в другой. В рассмотренной модели это потенциальная энергия деформированной пружины и кинетическая энергия груза. Они определяются выражениями

одинаковы. Складывая эти формулы (и учтя основное тригонометрическое тождество sin2 z + cos2 z = 1, z = ω t + φ ), получим

изменяются со временем (см. рис.3), полная энергия колебаний не зависит от времени и определяется выражением (11) .

Видно, что максимум кинетической энергии соответствует минимуму потенциальной и наоборот, а сумма их остается постоянной.

Сохранение энергии обусловлено тем, что мы пока не учли трение. Хотя формула (11) получена для простейшей модели колебательного движения,

158

заметим, что энергия колебаний в любой системе пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты.

ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК.

Физический маятник - это любое тело, имеющее ось вращения, не совпадающую с его центром масс (см., например, рис.4) . Здесь точка С - центр масс, l - его расстояние до оси вращения О.

Рис.4. Физический маятник.

При выведении из состояния равновесия он будет совершать колебания, которые при небольших амплитудах будут гармоническими. Покажем это. Исходим из основного уравнения динамики вращательного движения

ускорение β есть вторая производная от α , подставив все в (12), запишем

«похожее» на уравнение гармонического осциллятора (8). Конечно, это совсем другое уравнение и гармоническое колебание не является его решением, а значит колебания физического маятника не являются в общем случае гармоническими. Однако, если они достаточно малы, так, что можно считать sinα ≈ α , то уравнение (13) превратится в (8) (разумеется для текущего значения угла α (t) ), где циклическая

частота собственных колебаний определяется формулой

Следовательно, период колебаний равен

В частности, для математического маятника ( для него момент инерции I = ml 2 ) из (15) получается хорошо знакомая вам формула

T = 2π l / g .

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ.

Любые собственные колебания со временем затухают из-за потерь энергии. В механических системах основной причиной таких потерь является вязкое трение. Вязкое трение - это трение движущегося тела о среду. При малых скоростях движения она пропорциональна скорости

где μ - коэффициент вязкого трения (он зависит от вязкости среды, размеров и формы тела). Вернемся к простейшей модели - пружинному маятнику (см. П.3) и учтем в формуле (7) кроме упругой силы силу трения (16). При этом уравнение осциллятора (8) запишем в виде

где β = μ / 2m - называется коэффициентом затухания. Решением уравнения (17) являются затухающие колебания (см..рис.5), т.е. колебания, амплитуда которых уменьшается со временем