8035
.pdfНижний предел t при x 0 равен: |
t 3 0 2 2, а верхний |
предел t при x 1 равен: t 3 1 2 5. |
|
Тогда вычисление данного интеграла запишется так:
|
dx |
dt |
|
1 dt |
1 ln t |
|
|
5 |
1 ln 5 |
1 ln 2 |
1 ln 5 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 3x 2 2 3t |
|
3 2 |
t |
3 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
1 |
ln |
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление определенного интеграла
интегрированием по частям.
Формула интегрирования по частям для определенного интеграла
записывается в виде:
b
udv u v ba
a
1
Пример. Вычислить xex dx .
0
b
v du .
a
Решение. Обозначая u x , dv ex dx , получаем |
du dx , |
v ex . |
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 e e1 e0 |
e e 1 |
|
|
xex dx xex |
|
ex dx 1 e1 0 e0 ex |
|
1. |
||||
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление площади плоской фигуры |
|
|
|
||
Если уравнение заданной линии есть y f x , то, как |
|
было |
показано, площадь S криволинейной трапеции определяется формулой:
a
S f x dx .
a
70
Обобщим полученные результаты на случай вычисления площади
произвольной плоской фигуры. |
|
|
|
Площадь |
Q , ограниченная кривыми y f1 x и |
y f2 x и |
|
прямыми x a , |
x b, при условии |
f1 x f2 x , будет, очевидно, равна |
разности площадей криволинейных трапеций S1 a,b и S2 a,b , то есть
Q S1 a,b S2 a,b
или
|
|
b |
b |
|
|
|
b |
x f2 |
|
|
|
||
|
|
Q f1 |
x dx f2 |
x dx f1 |
x dx . |
(2.7) |
|||||||
|
|
a |
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить площадь, ограниченную кривыми y |
|
|
||||||||||
|
2x и |
||||||||||||
y |
x2 |
(см. рис. 21). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
y 2x |
|
|
|
0 |
2 |
x |
|
|
Рис. 21
Решение. Находим абсциссы точек пересечения заданных кривых:
71
2x x2 ;
2 x2 b 2.
2 |
|
|
|
|
2x |
||||
Q |
||||
0 |
|
|
|
2x |
x4 |
; |
8x x4 ; |
|
x x3 |
8 0, |
откуда |
x a 0 |
, |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, в |
|
соответствие |
|
с формулой (2.7) |
|||||||||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 2 |
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
6 |
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
8 |
|
4 |
(кв. ед.) |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
6 |
3 |
||||||
|
|
|
|
Ответ: 43 кв.ед.
72
Контрольные задания
Задание 4
Найти неопределенные интегралы.
4.01а) x 1 2 dx ;
x3
4.02 |
а) |
x 2 3 |
|
dx ; |
|||
|
|||
|
|
x |
4.03а) x4 x 1 dx ;
4.04 |
а) |
3x 4 xex |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
||||
4.05 |
а) |
|
2 |
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
dx ; |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4.06 а) |
x cos x 3 x2 |
|
|
dx |
|
|
||
|
x |
|
; |
|
|
dx
б) x 1 2 ;
dx
б) x 1 3 ;
dx
б) 3 1 x ;
б) 3 x 1 2 dx
;
б) xe x2 dx ;
в) x 1 cos xdx
в) x3 ln xdx.
в) 3x 1 ex dx .
в) x sin xdx.
в) 1 x ex dx .
б) 3 4x 7 dx ; |
в) x ln xdx. |
4.07 |
|
2x 1 2 |
б) |
|
|
dx |
|
|
||||||||
а) |
|
|
|
|
dx ; |
2 |
|
|
|
5 ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|||||||||
4.08 |
а) |
x 1 3 |
б) |
x dx |
; |
|
||||||||||
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
1 |
|
||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 x2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||
4.09 |
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
|
|
|
|
|
dx ; |
б) |
x |
|
|
|
5 ; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
3 |
|||||||
4.10 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
2 x 1 dx ; |
б) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
3x 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) x cos xdx.
в) x sin xdx.
в) x5 ln xdx.
в) x 1 ln xdx .
73
Задание 5.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
5.01y x2 ; x y 2 0.
5.02y 16x ; y 17 x .
5.03xy 4 ; x 1; x 4 ; y 0.
5.04 |
y ln x ; |
x e ; |
y 0. |
5.05 |
y e2 x ; |
x 1; |
y 1. |
|
|
1 |
x |
|
x 0. |
5.06 |
y |
|
; |
y 9; |
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
x 4 . |
5.07 |
y |
|
; |
y 4 ; |
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
5.08 |
y 4 x2 ; |
y 0. |
|
5.09y ex ; y x2 ; x 1; x 2 .
5.10 y x3 ; |
x 0; |
y 8 . |
74
Литература
1. Важдаев В.П., Коган М.М., Лиогонький М.И., Протасова Л.А. 64
лекции по математике. Книга 1 (лекции 1-39): монография; Нижегор. гос.
архитектур.-строит. ун-т – Н.Новгород: ННГАСУ, 2012.– 284 с.
2. Важдаев В.П., Коган М.М., Лиогонький М.И., Протасова Л.А. 64
лекции по математике. Книга 1 (лекции 1-39): монография; Нижегор. гос.
архитектур.-строит. ун-т – Н.Новгород: ННГАСУ, 2012.-284 с.
3.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. - М.: «АЙРИС-ПРЕСС», 2002. –608.с.
4.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа:
Учебн. пособие / Г. Н. Берман.- СПб.: «Профессия», 2003. – 432 с
5. Иванова С.В. Построение графиков функций и кривых. – М.:
МФТИ, 2007. – 78 с.
6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1.– М.: ООО Изд-во «Мир и образование»,
2008 – 368 с.
7. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление:
Учеб. пособие для втузов. Т.2 / Н.С.Пискунов.- М.: Интеграл - Пресс,
2001.-544 с.
8. Шипачев, В.С. Высшая математика: Учеб. для студентов вузов/
В.С.Шипачев. 4-е изд., - М.: Высш. шк., 2000.-480 с.
9. Минорский,В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб.
пособие для втузов /В.П.Минорский. -М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2004.-336с
10. Сборник задач по математике для втузов/ под ред. А.В.Ефимова,
Б.П.Демидовича. - М.: Наука, 1981. – 304 с.
75
|
Содержание |
|
|
ГЛАВА 1 |
|
|
|
§1. |
Линейная алгебра.............................................................................. |
|
4 |
|
Матрицы и действия над ними.....……...……………………........... |
4 |
|
|
Определители...................................................................... |
……......... |
8 |
|
Системы линейных уравнений... |
………………………………........ |
9 |
§2. |
Функция одного переменного......................................................... |
|
11 |
|
Основные понятия............................................................................... |
|
11 |
|
Основные элементарные функции..................................................... |
14 |
|
|
Предел числовой последовательности.............................................. |
20 |
|
|
Предел функции................................................................................... |
|
24 |
|
Производная......................................................................................... |
|
28 |
|
Производная сложной функции......................................................... |
|
33 |
|
Производные высших порядков......................................................... |
|
34 |
|
Дифференциал функции...................................................................... |
|
35 |
|
Правило Лопиталя................................................................................ |
|
36 |
|
Исследование функций и построение их графиков.......................... |
37 |
|
|
Симметрия функции............................................................................ |
|
38 |
|
Асимптоты графика функции............................................................. |
|
39 |
|
Участки возрастания и убывания функции. Точки минимума и |
|
|
|
максимума............................................................................................ |
|
40 |
|
Интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Точки перегиба....... |
43 |
|
|
Основные требования к результатам исследования и построения |
|
|
|
графика.................................................................................................. |
|
45 |
|
Контрольные задания.………………………………………….......... |
50 |
|
§3. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные |
|
||
|
приемы интегрирования |
|
|
|
Основные понятия ………………………………………............... |
53 |
|
|
Таблица основных интегралов …………………………............... |
55 |
|
|
Основные свойства неопределенного интеграла ………............. |
56 |
|
|
Простейшие способы интегрирования....……………………....... |
57 |
|
§ 4. |
Определенный интеграл |
|
|
|
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ......... |
61 |
|
|
Площадь криволинейной трапеции ..……………………............. |
61 |
|
|
Масса линейного неоднородного стержня ……………................ |
63 |
|
|
Работа переменной силы на прямолинейном участке пути ........ |
64 |
|
|
Свойства определенного интеграла ……………………............... |
65 |
|
|
Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона- |
|
|
|
Лейбница ..………………………………………………………........ |
67 |
|
|
Вычисление определенного интеграла заменой переменной ..... |
69 |
|
|
Вычисление определенного интеграла интегрированием по |
|
|
|
частям ..………………………………………………………............. |
70 |
|
|
76 |
|
Вычисление площади плоской фигуры .……………………........ 70 Контрольные задания ………………………………………….......... 73
Литература……………………………………………………….…..75
77
Антонина Вячеславовна Бесклубная
МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям
по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 38.03.02 Менеджмент,
направленность (профиль) Производственный менеджмент
=========================================================
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, Ильинская, 65 http://www.nngasu.ru.srec@nngasu.ru
78