8035

Контрольные задания

51

Задание 3

Исследовать функцию и построить ее график:

3.1.y x 1 3 .

x2

3.2.y x2 1 2 .

x3

3.3.y x 2 3 .

x2 1

3.5.y 2x 3 .

x2

3.6.y 3x x2 .

x 2 2

3.9.y 2x2 3 .

x2 1

3.10.y x3 x2 1 .

x2 1

52

§ 3. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Основные понятия

Одной из основных задач дифференциального исчисления является

нахождение производной функции или дифференциала заданной функции.

Основной задачей интегрального исчисления является обратная задача – отыскание функции по ее производной или заданному ее

функции f x cos x , так как sin x cos x .

Если для данной функции f x существует первообразная, то она не является единственной. Так, в предыдущем примере в качестве первообразных можно взять следующие функции:

F x sin x 1, F x sin x 2

или в общем виде

F x sin x C ,

где C – произвольная постоянная, так как при любом значении C

sin x C sin x C cos 0 cos x .

В связи с этим возникает вопрос, исчерпывает ли функция вида sin x C все возможные первообразные для cos x или существуют еще функции другого вида, которые также будут первообразными для cos x .

Ответ на него дает следующая теорема.

53

Теорема. Если F x есть какая-либо из первообразных для данной функции f x , то самое общее выражение для первообразной имеет вид:

,

где C – есть первообразная постоянная.

Доказательство. Пусть F1 x есть любая функция, имеющая своей

функции x 0 , то сама функция x может быть только постоянной.

Полученный результат можно сформулировать и так: если производная (или дифференциалы) двух функций тождественно равны, то

сами функции отличаются лишь постоянным слагаемым.

Если функция F x является первообразной для f x , то семейство всех ее первообразных функций F x C называется неопределенным интегралом от функции f x и обозначается как f x dx .

Таким образом, по определению

f x dx F x C ,

если

F x f x .

54

Показательные функции:

Тригонометрические функции:

sin x dx cos x C ;

cos x dx sin x C ;

tgx dx ln cos x C ;

ctgx dx ln sin x C ;

Дробные рациональные функции:

Иррациональные функции:

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Если f x g x , то f x dx g x dx C ,

где C – произвольная постоянная.

Простейшие способы интегрирования.

Непосредственное интегрирование

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл удается привести к одному или нескольким табличным интегралам. К табличному виду обычно удается привести не очень сложные интегралы путем элементарных тождественных преобразований подынтегральных функций, а также

57

воспользовавшись основными свойствами неопределенного интеграла.

Поясним сказанное примерами.

Пример. Найти x 3 2 dx .

Выполнив под знаком интеграла очевидные тождественные преобразования (возвести разность в квадрат), свели данный интеграл к

трем табличным интегралам xn dx , n 2;1; 0. постоянная C (которая в данном примере равна сумме трех постоянных C C1 C2 C3 )

появляется тогда, когда исчезают знаки интеграла.

Пример. Найти x2 1 dx . x

Решение.

58

Для приведения данного интеграла к новой переменной достаточно привести к новой переменной его подынтегральное выражение

где

xt ,

всправедливости чего легко убедиться, продифференцировав обе части равенства (3) и воспользовавшись затем формулами (1) и (2).

Метод замены переменной интегрирования, является одним из наиболее эффективных и распространенных методов интегрирования. С

другой стороны, не существует общих правил, которые во всех случаях позволяли бы найти замену переменной, ведущую к желаемой цели.

Поэтому, чем больше примеров самостоятельно решить, тем с большим успехом можно овладеть методом замены переменной.

Пример. Найти e2 x 3dx .

Решение. Данный интеграл не табличный, но есть интеграл сходный с данным. Поэтому введем новую переменную t , связанную с x

Возвращаясь к переменной x , находим: