Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

8035

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2023

Размер:

1.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Таким образом, скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t , то есть

V St . В этом заключается механический смысл производной.
Если функция y f x описывает какой-либо физический процесс,
то производная y есть	скорость протекания этого процесса. В этом
состоит физический смысл производной.
y		y f x
y
	n	M x; y
		M x; y
		y	l
	M 0	A
	x	A
	x
0	x
0	x0	Рис. 55	x
		Рис. 55

Под касательной l к графику функции y f x в точке M 0 понимают

предельное положение секущей M 0 M , когда	точка M движется по
кривой к точке M 0 (см. рис. 55). Нормалью	n называется прямая,

проходящая через данную точку M 0 перпендикулярно касательной l (см.

рис. 55).

Пусть касательная l образует с положительным направлением оси

Ox угол 0 , а секущая M 0 M – угол x . Тогда из прямоугольного треугольника AM0 M , получаем: tg x yx . Переходя к пределу при

x 0, находим:

lim tg x lim		y	y x0 tg 0 k ,
x 0	x 0	x
			31

То есть производная y x0 в точке x0 равна угловому коэффициенту k

касательной l к графику функции y f x в точке, абсцисса которой

равна x0 . В этом заключается геометрический смысл производной.

Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку M 0 x0 ; y0 в заданном направлении y y0 k x x0 , запишем уравнение касательной l к графику функции y f x в точке M 0 x0 ; y0

y y0 y x0 x x0 .

Поскольку нормаль n перпендикулярна касательной l , то ее угловой

коэффициент kn

кривой y f x

1				1
						.	Поэтому уравнение нормали n к
	kl		y x0
в точке		M0 x0 ; y0					имеет вид:
	y y0				1			x x0 .

					y x0

Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y x2 в точке M 0 1;1 .

Решение. Поскольку x2 2x , то

y x0 2x x 1 2 1 2

и искомое уравнение касательной:

y 1 2 x 1 или y 1 2x 2 ,

откуда 2x y 1 0, а искомое уравнение нормали:

y 1	1	x 1 или 2 y 2 x 1,
	2

откуда

x 2 y 3 0.

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с некоторыми трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью правил и формул.

Запишем формулы производных элементарных функций:

const ;

n xn 1 ,

n R , n 0 ;

c 0 ,

ex ;

ax ax ln a , a 0 , a 1; ex

log a x

, a 0

, a 1;

ln x

;

x ln a

sin x ;

sin x

cos x ; cos x

tg x

; ctgx

;

cos2

sin 2

arcsin x

; arccos x

;

1 x2

arctg x

;

arcctg x

;

1 x2

а также формулы, выражающие правила дифференцирования:

				c const , u u x ;
c u c u ,				c const , u u x ;
	u					u x , v v x ;
u v	u		v , u			u x , v v x ;

u v u		v u v				, u u x , v v x ;
	u v u v
u	u v u v					u u x , v v x .
					,
			v2		,
v			v2

Пример. Найти производную функции y 2x 1 ex .

Решение. По правилу дифференцирования произведения двух

функций, находим:

y 2x 1 ex 2x 1 ex 2x 1 ex .

Далее, по правилу дифференцирования суммы двух функций и произведения числа на функцию и формул производных степеней и показательной функций, находим:

2x 1 e

y 2x

2 x

2 1 0 ex 2x 1 ex 2ex 2x 1 ex 2x 3 ex .

Производная сложной функции

Пусть функция y f u определена на множестве D1 , а функция u g x определена на множестве D2 , причем для любой точки x D2 ,

соответствует значение u g x D1 . Тогда на множестве D2 определена функция y f g x , которая называется сложной функцией от x (или функцией от функции).

Переменную

u g x

называют промежуточным

аргументом

сложной функции y .

Пример.

Функция

y cos 3x является сложной функцией, так как

y cosu , u 3x .

Пусть y f u , u g x , тогда

y f g x – сложная функция с

промежуточным аргументом

независимым

аргументом x . Тогда

производная сложной функции

y по независимой переменной x равна

произведению производной функции y

по промежуточной переменной u

на производную

промежуточной

переменной

по

независимой

переменной x , то есть

ux .

Пример. Найти производную функции y e3 x .

Решение.

Данная

функция y

является сложной,

так

как y eu ,

u 3x . По правилу дифференцирования сложной функции, находим:

u 3x x

3 e

3 3e

3 x

Производные высших порядков

Производная y f x функции y f x есть также функция от x и называется производной первого порядка.

Если функция f x дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается y , то есть

y y .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается y , то есть

y y .

Производной n -го порядка (или n -й производной) называется производная от производной ( n -1)-го порядка и обозначается y n , то есть

y n y n 1 .

Пример. Найти производную третьего порядка от функции y cos 3x.

Решение.
			sin 3x 3 3sin 3x ,
y cos 3x sin 3x		3x	sin 3x 3 3sin 3x ,

y y	3sin 3x 3		sin 3x	3 cos 3x 3x
3 cos 3x 3 9 cos 3x,
		9
y y	9 cos 3x	9	cos 3x		9 sin 3x 3x

9sin 3x 3 27 sin 3x.

Итак, y y 27 sin 3x.

Дифференциал функции

Пусть задана функция y f x и можно	вычислить f x0 , то есть
значение этой функции в точке x0 . Требуется	вычислить значение этой

функции y в точке x0 x .

Если данная функция y f x дифференцируема в точке x0 , то в точке x0 ; f x0 существует касательная l к графику функции y f x

(см. рис. 56). Тогда приращение функции y можно представить в виде:

y f x0 x x .

y			y f x
		y	x	l
				l
f x0			dy
f x0		x
		x
0	x0		x0 x		x
		Рис. 56
Главную часть линейную относительно приращения x
независимой переменной	x в последнем равенстве, то есть выражение
f x0 x называют дифференциалом функции				y f x	в точке	x0 и
обозначают dy . Итак, dy f x0 x .
При x 0, то есть при		x 0 приращение функции				y

приближенно равно дифференциалу dy :

y dy или f x0 x f x0 x .

Последнюю формулу применяют для приближенного вычисления значений функций в точке.

Пример. Вычислить e 0,02 .

Решение. Рассмотрим функцию y ex . Пусть	x 0	, тогда
	0
x0 x 0,02 , откуда x 0,02.
36

x 0 ex

x 0 e0 1,

y x0 ex

y x ex

x 0

e0 1.

Следовательно,

e 0,02

1 1 0,02 1 0,02 0,98.

Ответ: e 0,02

0,98.

Заметим,

что

дифференциал

независимой

переменной

равен

ее

приращению, то есть dx x

, так как dy dx x x 1 x x .

Таким образом, дифференциал функции вычисляется по формуле:

dy y x dx .

Пример. Найти дифференциал функции y ln cos x .

Решение.

ln cos x

cos x cos x cos x sin x tgx ,

тогда dy tg dx.

Правило Лопиталя

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида

при вычислении пределов от функции одного переменного, который основан на применении производных.

Пусть функции

f x

g x непрерывны и дифференцируемы в

окрестности точки

обращаются

нуль в

этой точке:

f x0 g x0 0 . Пусть

x0 . Тогда, если

g x 0 в окрестности точки

f x

существует предел lim

то lim

lim

f x

g x

x x0

Пример. Вычислить предел lim

x 1

x ln x

Решение.

lim

x 1

1 1

lim

x 1

x ln x 1 ln 1

x 1

x ln x

1 0

lim

x ln x x ln x

x 1

1 ln x x

lim

ln 1 1

x 1

ln x 1

1 1

Пусть функции

и g x

непрерывны и дифференцируемы в

окрестности

точки x0

(кроме,

быть

может,

самой

точки x0 ), в

этой

окрестности

lim

f x lim g x

Тогда,

если существует

x 0.

x x0

f x

предел lim

, то lim

lim

g x

x x0

Пример. Вычислить предел lim

x2 1

2x2

Решение. lim

lim

x2 1

2x2 3x

2x 0

lim

4x 3

lim

4x 3

Исследование функций и построение их графиков

Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построение их графиков.

Рекомендуемая схема исследования функции:

1.Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции.

2.Исследовать специальные свойства функции: четность, нечетность, периодичность, свойства симметрии.

3.Исследовать поведение функции при стремлении аргумента к граничным точкам области определения и к бесконечности, то есть найти асимптоты графика функции: вертикальные и наклонные. Проанализировать расположение графика функции и его асимптот.

4.Найти интервалы монотонности функции: возрастание и убывание. Найти экстремумы функции: минимумы и максимумы.

5.Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

6.Найти точки пересечения графика с осями координат.

7.На основании результатов исследования построить эскиз графика.

Симметрия функции

Функция y f x называется четной, если f x f x . График четной функции симметричен относительно оси Oy .

Пример. Функция y x4 является четной, так как,

y x x 4 x4 y x , следовательно, график этой функции симметричен относительно оси Oy . (См. рис. 57)

		y x4
1
-1 0	1	x
	Рис.57
Функция y f x называется	нечетной, если f x f x .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример.	Функция y x3		является		нечетной,	так как
y x x 3	x3 y x ,	следовательно,			график этой	функции
симметричен относительно начала координат. (См. рис. 58)
		y
				y x3
			1
	-1	0	1	x
			-1

Рис.58

Заметим, что график четной (нечетной) функции достаточно исследовать только при x 0, а при x 0 достроить по симметрии, то есть симметрично относительно оси Oy (начала координат).


как y x T							y x . График этой
		sin 2 x T	sin x 2			sin 2 x
функции изображен на рис. 59.
Функция	y f x называется периодической, если существует
такое положительное число T , что				f x T f x . Наименьшее из таких
чисел T называется периодом функции. График периодической функции
достаточно построить на отрезке				оси Ox длины периода T , а затем
продолжить, сдвигая на k T , где k 1, 2, по оси Ox .
	1
Пример. Функция y sin 2 x				периодическая с периодом T , так
	1			1	1

2 x

Рис. 59

Асимптоты графика функции

y f x ,

Прямую L называют асимптотой графика функции

если расстояние

до

точки

M x; y

кривой

y f x

от

прямой L

стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.

Прямая x a является вертикальной асимптотой кривой					y f x ,
если lim f x .
x a
Прямая y b является			горизонтальной	асимптотой	кривой
y f x , если lim f x	b .
x					y f x
Прямая y kx b является наклонной асимптотой кривой					y f x
, если существуют пределы:
k lim		f x	и b lim f x	kx .
k lim		x	и b lim f x	kx .
x			x

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.20231.34 Mб08030.pdf
#
23.11.20231.34 Mб08031.pdf
#
23.11.20231.34 Mб08032.pdf
#
23.11.20231.34 Mб08033.pdf
#
23.11.20231.34 Mб08034.pdf
#
23.11.20231.34 Mб08035.pdf
#
23.11.20231.34 Mб08036.pdf
#
23.11.20231.34 Mб08037.pdf
#
23.11.20231.34 Mб08038.pdf
#
23.11.20231.34 Mб348039.pdf
#
21.11.2023152.94 Кб0804.pdf