7591

20

6. Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов относительно произвольной точки С.

∑ mC = X A ×1.6 - YA × 2 - P sin α × 2 - Q × 0.8 - M - F ×1 + RB sin α × 2.6 + RB cosα × 2 =

Задача 1.12. Равновесие произвольной плоской системы сил Дано: М=6кН·м, F=8кН, Р=10кН, q=3кН/м, α=300.

Определить реакции опор в жесткой заделке.

Решение:

1.Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями. Распределенные нагрузки заменяем равнодействующими

(рис.1.25).

2.Раскладываем наклонные силы на составляющие по осям х и у

(рис.1.25).

3.Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей:

Q= q × 4м = 3 кН × 4м = 12кН

м.

4.Составляем уравнения равновесия.

5. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции:

∙ 12 10 12 12 17кН,

∙ √23 8 10 ∙ 0,866 16,66кН,

∙ 4 ∙ 1 ∙ √23 ∙ 6 ∙ 12 ∙ 16 8 ∙ 4 12 ∙ 1 10 ∙ 0,866 ∙ 6 10 ∙ 0,5 ∙ 1 96,96кНм

6.Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов относительно произвольной точки С.

17 16,66 23,8кН

.

Задача 1.13. Равновесие произвольной плоской системы сил Дано: F=8кН, Р=5кН, q=4кН/м.

22

Определить реакции связей.

q = 4 кН

м

Рис. 1.26

Решение

1.Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями. Распределенные нагрузки заменяем равнодействующими.

2.Раскладываем наклонные силы на составляющие по осям х и у.

3.Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей:

5. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции,

учитывая, что sinα = 0.6, cosα = 0.8. .

M A = +Q × 2 + F ×5 - P cosα ×7 + P sin α × 4 =

= +12 × 2 + 8 ×5 - 5 ×0.8 ×7 + 5 ×0.6 × 4 = 24 + 40 - 28 +12 = 48кНм,

X A = -Q - P sin α = -12 - 5 ×0.6 = -15кН (направление противоположное),

YA = +F - P cosα = 8 - 5 ×0.8 = 4кН.

4м

Рис. 1.27 6.Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов относительно

произвольной точки D.

∑ M D = M A -YA ×3 + X A ×6 + Q × 4 - F × 2 + P cosα × 4 + P sin α × 2 =

=48 - 4 ×3 + (-15)×6 +12 × 4 - 8 × 2 + 5 ×0.8 × 4 + 5 ×0.6 × 2 =

=48 -12 - 90 + 48 -16 +16 + 6 = 0.

Проверка выполняется. Ответ: Реакции равны:

M A = 48кНм, X A = -15кН (направление противоположное), YA = 4кН.

1.3 Равновесие плоской системы тел

Задача 1.14. Равновесие системы тел на плоскости Дано: F, q, M.

Определить реакции опор А, D, E и G.

27

Рис. 1.34

Решение.

М

C

Рис. 1.35

1.Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями.

2.Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей

Q= q ×1.6м = 10 кН ×1.6м = 16кН

м.

3.Составляем уравнение, выражающее отсутствие поворота второго диска относительно первого диска.

∑mC(2) = 0; - F ×1.5 - M + X B × 2 = 0;

4. Пользуясь аксиомой отвердения, составляем уравнения равновесия всей конструкции, считая ее абсолютно твердым телом.

5. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции.

X A = -X B + Q = -33 + 25 = -8кН;

YA = F = 24кН;

M A = -Q ×1.25 + F × 6.5 + M - X B ×1 = -25 ×1.25 + 24 × 6.5 + 30 - 33×1 = 121.75кН × м.

6. Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов всех сил приложенных к раме относительно произвольной точки D.

∑ mD = M A + X A × 2.5 - YA × 5 - Q ×1.25 - F ×1.5 - M + X B × 2 =

28

121.75 - 8 × 2.5 - 24 ×5 - 25×1.25 - 24 ×1.5 - 30 + 33×3.5 = 0

Проверка выполняется.

Ответ: Реакции равны: X A = -8кН (сила направленав другуюсторону),

YA = 24кН, M A = 121.75кН × м, X B = 33кН.

1.4 Равновесие пространственной системы произвольно расположенных сил

Условием равновесия произвольной пространственной системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента. Для этого необходимо, чтобы суммы проекций сил на каждую из координатных осей и суммы моментов сил относительно каждой из координатных осей были равны нулю:

Таким образом, в статике для произвольной пространственной системы сил в общем случае можно составить шесть уравнений равновесия.

Задача 1.16

Дано: F = 8кН; Р = 12кН; q = 2кН / м.

Определить реакции связей.

P

2м 2м

Рис.1.36

Решение: