6762

tgx = −4следует, что

ctgx = −

1

. Следовательно, найденные значения x

4

являются корнями исходного уравнения.

tgx =

1

,

x = arctg

1

+ πk = π + πk, k Z.

2) сtgx −

3

= 0,

3

3

6

Упражнения

1. Вычислить

3

1.1. arctg0; 1.2.

arctg(−1); 1.3. arctg

−

;

1.4. arctg 3 .

3

2. Вычислить

1

1

3

2.1.

6arctg 3 − 4arcsin

−

;

2.3. 3arctg

−

+ 2arccos

−

;

2

3

2

1

2

2.2.

2arctg1 + 3arcsin

−

;

2.4. 5arctg(−

3)− 3arccos

−

.

2

2

3. Решить уравнения

3.1. tgx =

1

;

3.2. tgx =

3

;

3

31

3.4. tgx = −1;

3.3. tgx = −

3

;

3.5. tgx = 4;

3.6. tgx = −5.

4. Решить уравнения

4.1. tg2x = 0;

4.2. tg3x = 0;

4.3. 1+ tg

x

= 0;

4.4.

+ tg

x

= 0.

3

3

6

5. Решить уравнения

5.1. (tgx −1)(tgx +

)= 0;

5.2. (

3

3tgx + 1)(tgx − 3)= 0 ;

5.3. (tgx − 2)(3cosx −1)= 0 ;

5.4. (tgx − 4,5)(1+ 2sinx)= 0 ;

x

x

5.5. (tgx + 4) tg

−1

= 0;

5.6. tg

+

1 (tgx −1)= 0 .

2

6

6. Решить уравнения

6.1. arctg(5x −1)= π ;

6.2. arctg(3 − 5x)= −π .

4

3

Ответы. 1.1. 0; 1.2. − π ; 1.3. − π ; 1.4. π . 2.1. 3π ; 2.2. 0; 2.3.

7π

; 2.4.

4

6

3

6

−

47π

. 3.1.

x = π + πn , n Z;

3.2.

x = π + πn ,

n Z; 3.3.

x = −π + πn,

n Z;

12

6

3

3

3.4. x = −π + πn, n Z; 3.5. x = arctg4 + πn,

n Z; 3.6. x = −arctg5 + πn ,

n Z.

4

4.1. x = πn , n Z;

4.2. x = πn ,

n Z; 4.3. x = −π + πn, n Z; 4.4. x = 2π + 6πn,

2

3

4

n Z. 5.1.

x = π + πn ,

x = −π + πn,

n Z;

5.2.

x = π + πn ,

x = −π + πn,

n Z;

4

3

3

6

5.3. x = arctg2 + πn,

n Z;

5.4.

x = arctg4,5 + πn , x = (−1)n+1 π + πn, n Z; 5.5.

6

32

x = arctg4 + πn, x = π + πn,

n Z; 5.6. x = π + πn , n Z. 6.1.

x =

2

; 6.2.

2

4

5

x =

3 +

3

.

5

где a, b, c R и a ≠ 0. Делаем замену sinx = t

или соответственно cosx = t ,

где t [−1;1].

Решаем

квадратное уравнение,

затем

простейшие

тригонометрические уравнения.

Задача 1. Решить уравнение sin2 x + sin x − 2 = 0.

Решение. Делаем подстановку

sinx = t ,

t

≤1

и

решаем

квадратное

уравнение

t2 + t − 2 = 0; t

1

= −2, t

2

=1, где t = −2

– посторонний корень.

Переходим

к

простейшему

уравнению

sinx =1,

его

решение

x = π + 2πn, n Z.

2

Ответ: x = π + 2πn, n Z.

2

2. Уравнение вида asin2 x + bcosx + c = 0, где a,b,c R

и a ≠ 0 .

Метод решения: заменяем sin2 x = 1− cos2 x и получаем:

a cos2 x − bcosx − (c + a) = 0,

затем

делаем подстановку: cosx = t ,

t

≤1 и

Задача 2. Решить уравнение 2sin2 x + cosx −1 = 0.

Решение. Заменяем sin2 x =1− cos2 x , cosx = t [−1;1], решаем квадратное

уравнение

2t2

− t −1= 0;

t

= −

1

, t

=1.

Простейшие

уравнения

1

2

2

cosx =1, cosx = −

1

, их решения

x

= 2kπ , x

= ±

2π

+ 2kπ , k Z.

1

2

2

3

Ответ. x

= 2kπ , x

= ±

2π

+ 2kπ ,

k Z.

1

2

3

3. Уравнение вида a cos2 x + bsin x + c = 0; где a,b,c R

и a ≠ 0 .

Метод решения: аналогичен методу решения уравнения в пункте 2.

Задача 3. Решить уравнение 12cos2 x + sin x −11 = 0.

Решение. Заменяем cos2 x =1− sin2 x , sinx = t ,

t

≤1, решаем квадратное

уравнение 12t

2 − t −1= 0, из которого находим t

=

1

, t

= −

1

.

1

2

3

4

Получаем

простейшие

уравнения

sin x =

1

,

sin x = −

1

,

их решения

3

4

x

= (−1)k arcsin

1

+ kπ ,

x

= (−1)k+1 arcsin

1

+ kπ ,

k Z.

1

2

3

4

Ответ. x

= (−1)k arcsin

1

+ kπ ; x

= (−1)k+1 arcsin

1

+ kπ ,

k Z.

1

2

3

4

4. Уравнение

вида

asin2 x + bsin x cosx + ccos2 x = 0,

где

a,b,c R

и

a ≠ 0 .

Предположим,

что

cosx = 0.

Подставим

это значение

косинуса

в

34

чего не

может

быть,

так как sin2 x + cos2 x =1. Следовательно, cosx ≠ 0,

поэтому

обе

части

уравнения asin2 x + bsin x cosx + ccos2 x = 0 можно

5tg2x − 3tgx − 2 = 0. Делаем

подстановку

tgx = t , решаем

квадратное

уравнение

5t2 − 3t − 2 = 0;

t

= −

2

, t

=1.

Переходим

к

простейшим

1

2

5

уравнениям

tgx = −

2

, tgx =1,

решение

которых

соответственно

5

Ответ. x

= πk − arctg

2

, k Z; x

= π

+ πn, n Z.

1

2

5

4

Делим обе части

последнего

уравнения на

cos2 x ≠ 0, получаем

4tg2x − 5tgx − 6 = 0. Делаем

подстановку

tgx = t ,

решаем

квадратное

уравнение

4t2 − 5t − 6 = 0;

t

= −

3

, t

= 2.

Переходим

к

простейшим

1

4

2

уравнениям

tgx = −

3

, tgx = 2

,

решение

которых

соответственно

4

Так как

ctgx =

1

, то исходное уравнение можно переписать в

виде:

tgx

tgx −

2

+ 1= 0.

Умножим обе части последнего уравнения на

tgx ,

tgx

tgx = t , t2 + t − 2 = 0,

t

1

= −2,

t

2

=1. Переходим к уравнениям

tgx = −2, tgx =1, решение

которых

соответственно x = πk − arctg2, k Z и

Обозначим

sin6x = t ,

получим

3t2

− 4t +1= 0,

t

=

1

, t

=1. Решения

1

2

3

уравнений

sin6x =

1

, sin6x =1

соответственно

x = (−1)n

arcsin

1

+ πn ,

3

6

3

6

x = πn + πn , n Z.

12

3

Ответ. x = (−1)n

arcsin

1

+ πn ,

x = πn + πn , n Z.

6

3

6

12

3

5.2. Уравнения вида asinx + bcosx = c , где a, b, c R

При

c = 0

обе

части

делим

на

cosx ≠ 0 и получаем: atgx + b = 0 и

b

k Z.

x = arctg −

+ πk ,

a

sin(ϕ + x), где ϕ определяется из условий

asin x + bcos x =

a2 + b2

cosϕ =

a

,

a

2

+ b

2

b

sinϕ =

.

a

2

+ b

2

При a, b > 0 ϕ = arccos

a

= arcsin

b

= arctg

b

.

a2 + b2

a2 + b2

a

Частные случаи

sin x + cos x =

π

=

π

2 cos

− x

2 sin

+ x ;

4

4

37

sin x − cos x =

π

=

π

2 cos

+ x

2sin

− x .

4

4

или sin(ϕ + x)=

c

. Если

c

≤

a2 + b2 , то

a2

+ b2

c

x = (−1)k arcsin

− ϕ + πk, k Z.

a2 + b2

1

находим x = kπ − π ,

k Z.

3tgx + 1= 0 . Из уравнения tgx = −

3

6

Ответ. x = kπ − π , k Z.

6

Задача 9. Решить уравнение

3

sin x + cosx =1.

3

,

sinϕ =

1

.

a =

, b =1 и

a2 + b2

= 2, то

cosϕ =

Решение. Так как

3

2

2

π

π

1

Пусть ϕ =

. Тогда

3sin x + cosx =1

sin x +

=

. Отсюда

находим

6

6

2

Задача 10. Решить уравнение sin2x − sinx − cosx −1= 0.

Решение. Так как

sin2x = (sinx + cosx)2

−1= 0,

то

исходное уравнение

преобразуется к виду

(sinx + cosx)2 − (sinx + cosx)− 2 = 0.

Обозначим sinx + cosx = t , получим t2

− t − 2 = 0, t

1

= −1,

t

2

= 2 . Решим

уравнение sin x + cosx = −1. Преобразуем его к виду

2sin

x

cos

x

+ cos2

x

− sin2

x

= −cos2

x

− sin2

x

,

2

2

2