3877

Пример1. Найти массу квадратной пластинки со стороной 2а, если плотность материала пластинки в любой её точке пропорциональна квадрату расстояния от точки пересечения диагоналей до точки М(х,у) и на углах квадрата равна единице.

Решение. Пластинку естественно расположить в прямоугольной системе координат таким образом, чтобы точка пересечения диагоналей совпадала с началом координат, а стороны были параллельны координатным осям

(рис.14).

у

Рис.14

После этого можно составить функцию плотности μ(х, у)материала пластинки по условиям задачи.

Пусть М(х, у) – произвольная точка квадрата ( х ≤ а, у ≤ а). Тогда квадрат расстояния от точки пересечения диагоналей (начала координат)

будет равен ОМ 2 , где ОМ 2 = х2 + у2 . Следовательно, плотность в точке М представится в виде

μ(х, у) = k (x2 + y 2 ),

где k – коэффициент пропорциональности.

Чтобы найти численное значение этого коэффициента k, используем известное значение плотности на углах квадрата. Возьмём, например, вершину угла (а,а). Тогда получим

1 = k (a 2 + a 2 ) ,

откуда

k = 1 . 2a 2

30

a

Пример 3. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной двумя параболами у2 = х и х2 = у; μ = 1.

Решение. Для нахождения координат центра тяжести хс и ус достаточно вычислить по заданной области три интеграла, определяющие массу и статические моменты этой области (рис.16).

у

у2 = х

• С

у = х2

Рис.16

32

координаты центра тяжести равны:

Пример 4. Найти моменты инерции I0 круга радиуса R с центром в точке С(R, 0) относительно точки, лежащей на окружности и совпадающей с началом координат (рис.17).

Решение. Уравнение окружности, соответствующее условию задачи имеет вид:

x2 + y 2 = 2Rx

у

Перейдём к полярной системе координат. Уравнение данной окружности в полярной системе координат запишется в виде ρ = 2R cosϕ . Получим

ау = -а

Рис.18

Следовательно,

Задание №7

34

7.01Найти массу круга радиуса R, плотность которого в каждой точке равна расстоянию от этой точки до контура круга.

7.02Найти координаты центра тяжести одной четверти круга радиуса R, плотность которого в каждой точке равна расстоянию от этой точки до контура круга.

7.03Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной линиями у = х2 , у + х = 2 , у = 0 .

7.04Найти статический момент однородного прямоугольника со сторонами а и b относительно стороны а, считая, что прямоугольник лежит в плоскости хОу (начало координат поместить в одну из вершин прямоугольника, а ось Ох направить по стороне а).

7.05Найти момент инерции круга радиуса а относительно центра, считая, что центр находится в начале координат (μ = 1).

7.06 Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластинки, ограниченной линиями у = 4 − х2 , у + 2х = 4 .

7.07Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластинки, ограниченной окружностью х2 + у2 = 4 и линиями у = 0 , у = х .

7.08Найти момент инерции прямоугольника ОАСВ со сторонами ОА = 4, ОВ =2 относительно вершины О, если плотность его пропорциональна расстоянию до стороны ОВ, считая, что прямоугольник лежит в плоскости хОу (k – коэффициент пропорциональности).

так, что плотность её пропорциональна расстоянию от оси абсцисс, причём при у = 1 она равна γ. Найти массу фигуры.

7.10Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной линиями у = 2х − 1, у2 = х, у = 0 .

7.11Найти момент инерции круга радиуса R относительно диаметра, считая, что круг лежит в плоскости хОу (ось Ох направить по диаметру); μ =1.

35

7.12 Найти массу прямоугольной фигуры, ограниченной прямыми х = 0 , х = 2 , у = 0 , у = 3, если плотность в каждой точке равна кубу абсциссы,

умноженному на квадрат ординаты этой точки.

7.13 Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной линиями у = х2 , у = 3х2 , у = 3х.

7.14Найти момент инерции квадрата со стороной а, поверхностная плотность которого пропорциональна у, относительно одной из вершин, считая, что квадрат находится в плоскости хОу (поместить начало координат в одну из вершин, а координатные оси Ох и Оу направить по двум взаимно перпендикулярным его сторонам. Тогда искомый момент инерции будет равен моменту инерции квадрата относительно начала координат). Коэффициент пропорциональности – k.

7.15Определить центр тяжести однородной пластинки, ограниченной кардиоидой ρ = а(1 + cosϕ) .

7.16Найти статический момент однородного круга радиуса а относительно касательной, считая, что круг лежит в плоскости хОу и касается оси Ох

вначале координат.

7.17Найти момент инерции прямоугольника ОАСВ со сторонами ОА=а и ОВ=b относительно стороны ОВ, если плотность его пропорциональна расстоянию до стороны ОВ, считая, что прямоугольник лежит в плоскости хОу, а одна из его вершин находится в начале координат;

μ= kx , k – коэффициент пропорциональности.

7.18Найти координаты центра тяжести плоской фигуры, ограниченной параболой у = 2х − 3х2 и осью Ох.

7.19Найти статические моменты относительно координатных осей части

7.21Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной параболой у2 = 4х и прямой х = 2 .

36

7.22Найти статические моменты относительно координатных осей четверти круга радиуса R.

7.23Пластинка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами

ОВ = а и AO = b , причем плотность её в любой точке равна расстоянию точки от катета ОА (лежащего на оси Ох). Найти статические моменты пластинки относительно катетов ОА и ОВ.

7.24Вычислить координаты центра тяжести площади, ограниченной кривой y = sin x и прямой ОА, проходящей через начало координат и вершину

=π синусоиды

А, 1 .2

7.25Найти моменты инерции кругового кольца с диаметрами d и D (d < D): а) относительно его центра и б) относительно его диаметра.

7.26Найти массу круглой пластинки радиуса R, если плотность её пропорциональна расстоянию точки от центра и равна δ на краю пластинки.

7.27Найти координаты центра тяжести кругового сектора радиуса а с углом при вершине 2α (μ = 1) и осью симметрии Ох.

7.28Плоское кольцо ограничено двумя концентрическими окружностями, радиусы которых равны R и r (R > r). Зная, что плотность материала обратно пропорциональна расстоянию от центра окружностей, найти массу кольца. Плотность на окружности внутреннего круга равна единице.

7.29Вычислить координаты центра тяжести площади, ограниченной

параболами у2 = 4х + 4 , у2 = −2х + 4 , μ =1.

7.30Вычислить момент инерции фигуры, ограниченной линиями у = 4 − х2 ,

у= 0 относительно оси Ох (μ = 1).

§ 8. Вычисление тройного интеграла в прямоугольных координатах

37

Вычисление тройного интеграла так же, как и двойного, производится путем сведения его к последовательному вычислению трех определенных интегралов. При этом удобнее сначала представить его в виде комбинации двойного интеграла и внутреннего определенного интеграла. Вычисляя внутренний интеграл, сведём дальнейшее

где D - проекция пространственной области Т на плоскость хОу. Относительно выбора порядка интегрирования справедливыми

остаются замечания, высказанные для двойного интеграла.

z

P(1;0;0)

x

Рис.19

38

Так как проекцией V на плоскость хОу является треугольник D, то при постоянном х переменная у изменяется от 0 до (1 – х), наконец, х изменяется от 0 до 1. Следовательно,

Задание №8