3553

параболы, если она пересекает ось ox в точках (− 5,0) и (11,0).

1.6.Вершина параболы совпадает с одним из фокусов

гиперболы 9x2 −16 y 2 =144 . Составить уравнение параболы, если известно, что ее директриса проходит через точки (− 4,−3) и (− 4,3).

1.7.Директриса параболы пересекает эллипс 9x2 + 20 y 2 = 324 в точках (− 4,3) и (4,3), а расстояние от этих точек до фокуса параболы равно 25 . Составить уравнение параболы.

1.8.Равносторонняя гипербола x2 − y 2 =16 проходит через фокусы эллипса. Составить простейшее уравнение этого эллипса, если отношение эксцентриситетов гиперболы и

1.11.Написать каноническое уравнение эллипса, если его большая ось равна 16 , а фокусы отстоят от вершин на 0, 2 от ее длины.

1.12.Меридиан земного шара имеет форму эллипса, отношение

299

осей которого равно 300 . Определить эксцентриситет земного меридиана.

1.13.Написать уравнение окружности, проходящей через точки

(−1, 2) и (3,0), зная, что ее центр лежит на прямой x − y + 2 = 0 .

1.14.Написать уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с

расстояние пяти единиц от его малой оси.

1.16.Прямые x = 8, x = −8 служат директрисами эллипса, малая ось которого равна 8 . Найти уравнение этого эллипса.

1.17.Эллипс проходит через точки M (3,−2) и N (− 23,1). Составить уравнение эллипса, приняв его оси за оси координат.

1.18.Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку

A(9,−8), если асимптоты ее заданы уравнениями

2x ± 3y = 0 .

1.19.Написать каноническое уравнение параболы с вершиной в

начале координат, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой 4x − 3y − 4 = 0 с осью ox .

1.20.Написать уравнение окружности, центр которого

радиус равен расстоянию между фокусами этой гиперболы.

1.21.Струя воды, выбрасываемая фонтаном, принимает форму параболы, параметр которой p = 0,1. Определить высоту

струи, если известно, что она падает в бассейн на расстоянии 2 метра от места выхода.

1.22. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса

эксцентриситет равен 1,5 .

1.23.Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в

находятся в вершинах данного эллипса.

1.24.Найти уравнение окружности, симметричной с окружностью x2 + y 2 = 9 относительно прямой x − y = 6 .

1.25.Найти уравнение эллипса, вершины которого находятся в

данной гиперболы.

1.26.Определить угол между асимптотами гиперболы, если расстояние между фокусами вдвое больше расстояния между директрисами.

1.27.Мостовая арка имеет форму параболы. Определить параметр этой параболы, зная, что пролет арки равен 24м, а высота 6м.

1.28.Через точку M (2,−5) провести прямые, параллельные асимптотам гиперболы x2 − 4 y 2 = 4 .

1.29.Камень, брошенный под острым углом к горизонту, описал дугу параболы и угол на расстоянии 16м от начального положения. Определить параметр параболической траектории, зная, что наибольшая высота, достигнутая камнем, равна 12м.

1.30.На гиперболе 16x 2 − 49 y 2 = 784 найти точку, которая была бы в три раза ближе к одной из асимптот, чем к другой.

Задание 2

Установить тип кривой, заданной общим уравнением. С помощью преобразования координатных осей привести уравнения кривых к каноническому виду. Построить кривые в старой и новой системах координат.

2.01.

1.xy − 3x − 3y + 2 = 0 .

2.3x2 + 4 y − x + 2 = 0 .

3.x2 + y2 − 4x + 2 y −15 = 0 .

4.3x2 − 4 y2 + x − 6 = 0 .

5.2x2 + 6 y2 + x + 2 y − 16 = 0

2.02.

1.2xy + x − 2 y − 4 = 0 .

2.x2 + 2x + y2 − 4 = 0 .

3.2x2 − x + y + 4 = 0

4.3x2 + 4 y2 + 6x + 8 y −15 = 0 .

5.x2 − y2 + 2x + 3y + 4 = 0

2.03.

1.0,5xy + x − y − 3 = 0

2.2x2 + 2 y2 − 4x −10 = 0

3.3x2 − x + y − 3 = 0

4.4x2 − 3y2 + 8x + 6 y −10 = 0

5.x2 + 2 y2 + x − 4 y −12 = 0

2.04.

1.3x2 + 6x − y − 2 = 0

2.xy − 3y + x + 4 = 0

3.2x2 + 6 y2 +12 y = 0

4.x2 + y2 + 4x + 4 y = 0

5.3x2 − 2 y2 + 4 y + 4 = 0

2.05.

1. 4 y2 − 8 y + 3x − 5 = 0

2.x2 − 3y 2 − 6 y + 2x +1 = 0

3.2xy − 3y + x +1 = 0

4.x2 + y2 − 2 y + 2x +1 = 0

5.2x2 + y 2 + 2 y + 4x +1 = 0

2.06.

1.2xy − 3y +1,5x − 2 = 0

2.y2 + y − 3x + 2 = 0

3.3x2 + y2 − 2 y = 0

4.3x2 − y2 − 2x − 2 y = 1

5.x 2 + y 2 + x + y = 1

2.07.

1.4x2 − y 2 − 2 y + x +1 = 0

2.2x2 + 4x − 3y +1 = 0

3.2xy − 3y − 2x + 3 = 0

4.x2 + y2 + 4x − 2 y + 2 = 0

5.2x2 + y 2 + 4 y +1 = 0

2.08.

1.2x2 + 2 y2 + 4x +1 = 0

2.x2 − y2 − 2 y + 2x = 0

3.3xy − 2 y − x +1 = 0

4.2x2 + 4 y2 + 2x + 3y = 0

5.3x2 − 6x + y − 4 = 0

2.09.

1.3x2 + 4 y 2 + 6x − 8y + 1 = 0

2.5x2 + 10x − 4 y = 0

3.x2 + y 2 − 2x + 4 y + 2 = 0

4.2xy − y − x + 3 = 0

5.3x2 − 4 y 2 + 6x + 4 y + 10 = 0

2.10.

1.6x2 + 2 y2 + 12x − 4 y + 1 = 0

2.xy − 4 y − 2x + 3 = 0

3.x2 + y 2 − 4x + 2 y + 2 = 0

4.− 2x2 + 3x − 2 y + 1 = 0

5.6x2 − 8 y2 + 12x + 16 y + 3 = 0

2.11.

1. x2 + y 2 − 2x + 4 y + 5 = 0

2.9xy − 20 y − 10x − 10 = 0

3.x2 − 2 y 2 − 4x + 4 y + 4 = 0

4.6 y 2 − y 2 + 2x − 4 = 0

5.x2 + 2 y 2 − 4x − 2 y + 1 = 0

2.12.

1.2xy − x + 2 y − 3 = 0

2.x2 − 3y 2 + 2x − 6 y + 2 = 0

3.5x2 − 2x − y + 4 = 0

4.x 2 + y 2 + 2 y − 2x = 0

5.2x2 + y 2 + 4x − 2 y + 2 = 0

2.13.

1.x2 + y 2 + 4 y + 1 = 0

2.xy − 2 y + 3x − 3 = 0

3.2x2 + 3y 2 − x + y + 1 = 0

4.3x2 + x − y + 5 = 0

5.x2 − 3y 2 + 2x − 6 y + 4 = 0

2.14.

1.2x2 − 3y 2 + 2x − 6 y + 4 = 0

2.x2 + y 2 + 6x − 8 y + 10 = 0

3.xy − 3y + 2x − 2 = 0

4.4 y 2 + 2 y + 3x = 0

5.2x2 + 3y 2 + 4x − 6 y + 3 = 0

2.15.

1.x2 − 5y 2 + 4x − 10 y + 4 = 0

2.7x2 − 14x + 2 y − 7 = 0

3.3x2 + y 2 + 6x − 2 y + 1 = 0

4.xy − x − 2 y + 1 = 0

5.x2 + y 2 + 2x + 4 y + 2 = 0

2.16.

1.x2 + y 2 + 4x − 6 y = 0

2.2xy − 3x + 2 y − 4 = 0

3.7x2 − 3x + 4 y + 1 = 0

4.2x2 + y 2 + 6x + 3 = 0

5.3x2 − 4 y 2 + x − y + 4 = 0

2.17.

1. 3xy + x − y + 6 = 0

1.x2 + y2 + 6x − 2 y +1 = 0

2.2x2 − y2 + 4x − 6 y + 4 = 0

3.4xy + x − y +1 = 0

4.2x2 + 3y2 + 4x + 6 y + 4 = 0

5.2x2 + 2x + 5y +1 = 0

2.30.

1.7x2 −14x + 2 y − 3 = 0

2.3x2 − y2 + 6x − 2 y +1 = 0

3.x2 + 5y2 + 4x −10 y + 2 = 0

4.x2 + y2 − 6x + 4 y+ = 0

5.2xy − x + 3y − 4 = 0

§ 7. Параметрическое задание кривых на плоскости.

Пусть заданы две функции одного аргумента

точки на плоскости, причем эта точка, вообще говоря, меняется вместе с изменением t , описывая некоторую кривую L . В этом случае систему уравнений (17) называют параметрическими уравнениями линии L , а аргумент t называют параметром.

Переход от параметрических уравнений к уравнению осуществляется исключением параметра t из системы уравнений (17).

Рассмотрим несколько примеров.

y

2 a

O1

t

Рис. 19.

6. Астроида.

Пусть по окружности радиуса a внутри нее катится без скольжения

a

круг радиуса 4 . Траектория, которую описывает фиксированная точка,

лежащая на границе подвижного круга, называется астроидой.

y

x

Рис. 20.

7. Кардиоида.

Пусть по окружности радиуса a вне ее катится без скольжения круг того же радиуса a . Кривая, которую описывает фиксированная точка подвижного круга, называется кардиоидой.