2.7 Синтез непрерывного корректирующего устройства.

а) Построение ЛАХ в области средних частот:

Определяется желаемая частота среза по заданным значениям показателей качества переходного процесса,:

Для заданных показателей качества %,с из номограммы по стрелкам находими, следовательно,или. При этом минимально допустимые запасы устойчивостидб,град; границы среднечастотного диапазона,или,.

Полагая ,рад/с строим асимптотическую желаемую ЛАХ в области низких частотс наклоном –40дб/дек при частоте сопряжениярад/с. В области высоких частот вправо от частотыжелаемую ЛАХ проводим с наклоном –60дб/дек. В результате построения получим желаемую ЛАХ, которой соответствует передаточная функция

,

где ,,.

Для проверки выполнения условий ,,и,воспользуемся вспомогательной программой, составленной вScript-файле:

Wpas=tf([123.96],[1 0])*tf([1],[0.1182 0.6455 1]);

omega=[0.01 1 1/0.3438 1/0.0001];

L1=20*log10(123.96)+20*log10(100);L2=20*log10(123.96);L3=L2-20*log10(1/0.3438);

L4=L3-60*log10(0.3438/0.0001)

L=[L1 L2 L3 L4];

semilogx(omega,L); hold on

omega1=[0.01 0.398 2.553 37.757 1/0.0001];

M1=20*log10(123.96)+20*log10(100);M2=20*log10(123.96)+20*log10(2.553);

M3=M2-40*log10(2.553/0.224);M4=M3-20*log10(37.757/2.553);

M5=M4-60*log10(10000/37.757);

M=[M1 M2 M3 M4 M5];

semilogx(omega1,M); grid on

Wgpas=tf([123.96],[1 0])*tf([0.392 1],[4.467 1])*tf([1],[1/37.757 1])*tf([1],[1/37.757 1]);

figure; margin(Wgpas); grid on

Wgs=feedback(Wgpas,1); figure; step(Wgs);grid on

Wk=Wgpas/Wpas; zpk(Wk)

Wk2=zpk([-2.551,-2.73,-2.73],[-37.78,-37.78,-0.224],14.787);

Wgpas2=Wpas*Wk2;Wgs2=feedback(Wgpas2,1); hold on; step(Wgs2,'r--');

В результате выполнения программы строятся:

• асимптотические ЛАХ нескорректированной и желаемой системы (рис. 9);

• точные ЛАХ и ЛФХ желаемой системы (рис. 10) с указанием запасов устойчивости дб/дек,;

• переходная характеристика замкнутой системы (рис. 11), у которой с,%;

На печать выводится выражение передаточной функции :

Zero/pole/gain:

14.7871 s (s+2.551) (s^2 + 5.461s + 8.46)

------------------------------------------

s (s+37.76)^2 (s+0.2239)

а так же выражение скорректированной передаточной функции разомкнутой системы:

Zero/pole/gain:

15507.5848 (s+2.551) (s+2.73)^2

----------------------------------------------

s (s+0.224) (s+37.78)^2 (s^2 + 5.461s + 8.46)

Таким образом, получили передаточную функцию корректирующего устройства:

Данная передаточная функция может быть упрощена путем замены выражения на выражение. Для сравнения на рис.11 пунктирной линией приведена переходная характеристика системы с уже скорректированной передаточной функцией,

;

Как видим, переходные характеристики не сильно отличаются.

Для анализа свойств замкнутой системы с передаточной функцией коррекции найдем корни характеристического уравнения замкнутой системы, построим переходной процесс системы при начальных отклонениях и отсутствии входного сигнала с помощьюScript-файла:

Wspas=tf([123.96],[1 0])*tf([1],[0.1182 0.6455 1]);

% Модель разомкнутой системы в пространстве состояний

sys=ss(Wspas);

[a,b,c,d]=ssdata(sys);

% Корректирующее устройство

% Передаточная функция

Wsk2=zpk([-2.551,-2.91,-2.91],[-37.78,-37.78,-0.224],14.8);

% Модель корректирующего устройства в пространстве состояний

sysk=ss(Wsk2);

[ak,bk,ck,dk]=ssdata(sysk);

% Модель замкнутой системы

az=[a-b*dk*c b*ck;-bk*c ak];bz=[b*dk;bk];cz=[c ck*0];dz=0;

sysz=ss(az,bz,cz,dz);

eig(az)% определение корней замкнутой системы

% Построение переходного процесса по начальным условиям

initial(sysz,[0 0 1 0 0 1])

Врезультате выполнения программы вычисляются корни:

ans =

-54.2637

-8.6532 +11.4249i

-8.6532 -11.4249i

-2.4189 + 0.6063i

-2.4189 - 0.6063i

-4.8373

и строится переходной процесс по выходу системы, приведенный на рис. 12.

Время переходного процесса можно оценить по формуле , где– наименьшее значение модуля вещественной части устойчивых корней характеристического уравнения системы. Для данного случая. При этомс.

По передаточной функции составим электрическую схему корректи­рующего устройства. Для этого сначала перепишем ее в стандартном виде с учетом новых обозначений постоянных времени:

,

где ,,

, ,

Тем самым для реализации корректирующего устройства необходимо использовать интегро-дифференцирующую и дифференцирующую цепь, разделенные усилителем с коэффициентом усиления (рис. 13).

По известным значениям постоянных времени, задаваясь величиной электроемкостей мкФ,мкФ найдем величины:

первый каскад:

Мом, ,

Мом,

Мом,

мкФ;

второй каскад

Мом,

Мом,

неинвертирующий операционный усилитель

Полагая Мом, найдем

, Мом.

Учитывая, что сопротивления ,,,,,,,имеют значения порядка Мом, для операционного усилителя будет выполнено ограничение по току

Таким образом, получившееся корректирующее звено, при включении его в систему, будет повышать качество переходного процесса.

Спроектированное звено предлагается включать в цепь усиления, то есть либо перед электронным усилителем, либо после него, либо непосредственно в электронную схему усилителя.