2.4 Определение коэффициента усиления по заданным условиям точности в установившемся режиме.

Для определения коэффициента усиления электронного усилителя по заданным условиям точности в установившемся режиме необходимо использовать формулу о конечном значении оригинала.

,

где – скоростная ошибка при(,),

–статическая ошибка при (,).

С учетом выражений для передаточных функций получим

По заданному условию точности в установившемся режиме найдем:

при выполнении условия , т.к. приместная обратная связь будет положительной, а разомкнутая система станет неусточивой. Выполнение условиядостигается за счет введения в обратную связь делителя напряжения с коэффициентом передачи.

По заданному условию точности в установившемся режиме найдем:

.

Из двух найденных коэффициентов усиления выбираем максимальный:

.

2.5 Исследование статических свойств замкнутой системы.

1.5.1 Определим входной синал, при которм при отсутсвии нагрузки угловая скороть двигателя имеет номинально паспортное значение в соответствии с исходными данными:

Найдем из уравнения

(в системе отсутствует нагрузка). В этом уравнении:

Где из предыдущих выкладок имеем:

Тогда:

Подставим численные значения передаточных функций элементов системы:

;

Ищем входное воздействие в виде. Тогда

Угловая скорость двигателя имеет постоянное номинальное паспортное значение в установившемся режиме, следовательно, можем использовать теорему о конечном значении оригинала:

Следовательно:

;

Тогда:

1.5.2 Сравним величины установившейся ошибки для регулируемой и нерегулируемой (без главной обратной связи) системы при действии нагрузки.

Операторное выражение выходной величины системы управления может быть представлено в виде суммы двух составляющих:

- составляющая, соответствующая заданному значению выходной величины.

- составляющая, определяющая отклонение выходной величины от ее заданного значения под влиянием возмущающего воздействия установившуюся ошибку)

Здесь ,.

Если система является разомкнутой по главной обратной связи, то и составляющая, определяющая величину установившейся ошибки системы при действии нагрузки, равна:

Используем теорему о предельном значении функции. Если выполняются равенства

и , то, согласно этой теореме:

и

Причем очевидно, что здесь - установившаяся ошибка от действия нагрузки замкнутой системы,- разомкнутой системы. Тогда отношение установившихся ошибок замкнутой и разомкнутой систем равно:

, так как

То есть , иными словами, установившаяся ошибка от действия нагрузки замкнутой системы много меньше установившейся ошибки разомкнутой системы, которая содержит интегрирующее звено и является неустойчивой.

2.6 Исследование динамических свойств замкнутой системы с найденным коэффициентом усиления электронного усилителя.

2.6.1 Построение области устойчивости по коэффициенту усиления электронного усилителя.

Для построения области устойчивости по коэффициенту усиления воспользуемся двумя методами: методом Гурвица и методом D– разбиения.

а) Метод Гурвица.

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:

Подставив численные данные, получим:

Используем критерий Гурвица для системы 3-го порядка:

б) Метод D – разбиения.

Найдем операторное выражение коэффициента усиления электронного усилителя. Для этого решим уравнение

относительно :

Подставив численные данные, получим:

Отсюда:

;

Подставив численные данные, найдем :

С помощью программы MATLABпостроимD– разбиение по(см. рис.2а).

В результате D– разбиения получаем 2 области (см. рис.2б). ОбластьIявляется областью претендента на устойчивость. Проверим ее на устойчивость двумя способами: проверим, являются ли корни характеристического уравнения системылевыми прииз областиI, а так же построим годограф Михайлова дляиз областиI.

а) проверим на устойчивость точку (границу устойчивости):

Решим уравнение

При с помощьюMATLAB:

>> solve 0.13*x^3+0.71*x^2+x

ans =

0.

-2.7307692307692307692307692307692+.48498154665071121273956253209743*i

-2.7307692307692307692307692307692-.48498154665071121273956253209743*i

Видим, что у характеристического уравнения системы один корень нулевой, значит, она находится на границе устойчивости.

b) проверим на устойчивость областьI(претендент на устойчивость):

Решим уравнение

При (так как эта точка принадлежит данной области) с помощьюMATLAB:

>> solve 0.13*x^3+0.71*x^2+1.003*x+4.5

ans =

-5.2481882802079307964204788748745

-.10667509066526537102052979333199-2.5659896958438949424786267644101*i

-.10667509066526537102052979333199+2.5659896958438949424786267644101*i

Видим, что у характеристического уравнения замкнутой системы все корни левые, значит, система устойчива. Проверим это с помощью критерия Михайлова. Строим годограф Михайлова в системе MATLAB:

с) проверим на устойчивость область II:

Решим уравнение

При (так как эта точка принадлежит данной области) с помощьюMATLAB:

>> solve 0.13*x^3+0.71*x^2+1.004*x+6

ans =

-5.5642669725009224218691103221054

.51364255481230441703785930283478e-1-2.8795915503797412701112831846599*i

.51364255481230441703785930283478e-1+2.8795915503797412701112831846599*i

Видим, что у характеристического уравнения замкнутой системы лишь один корень из трех является левым, что свидетельствует о том, что в области IIсистема является неустойчивой. Подтвердим это с помощью критерия Михайлова. Построим годограф Михайлова для данного характеристического уравнения (рис.4а и 4б)

Доказано, что область Iдействительно является областью устойчивости системы по коэффициенту усиления электронного усилителя. Для устойчивости системы он должен находится в промежутке (0,) , где- критический коффициент усиления. Найдем его:

Пусть . Тогда:

при . Найдем, при какихвыполняется это условие:

при и, то есть,

.

Тогда

Полученный критический коэффициент усиления гораздо меньше найденного ранее коэффициента усиления системы.

2. Определение критического коэффициента усиления разомкнутой системы с помощью ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы.

Построим ЛАХ, ЛФХ разомкнутой системы с помощью программы MATLAB

Представим данную передаточную функцию в виде произведения типовых звеньев с помощью программы MATLAB:

>> W=tf([136.36],[0.13 0.71 1.1 0]),W1=zpk(W)

Transfer function:

136.4

---------------------------

0.13 s^3 + 0.71 s^2 + 1.1 s

Zero/pole/gain:

1048.9231

-------------------------

s (s^2 + 5.462s + 8.462)

Рис.5

В соответствии с логарифмическим аналогом критерия Найквиста замкнутая система неустойчива. Для устойчивой замкнутой системы значения должны быть положительными.

Построим асимптотическую ЛАХ разомкнутой системы с помощью программы MATLAB:

Wpas=tf([123.96],[1 0])*tf([1],[0.1182 0.6455 1]);

omega=[0.01 1 1/0.3438 1/0.0001]

figure

margin(Wpas)

grid on

figure

L1=20*log10(123.96)+20*log10(100);L2=20*log10(123.96);L3=L2-20*log10(1/0.3438);

L4=L3-60*log10(0.3438/0.0001)

L=[L1 L2 L3 L4];

semilogx(omega,L)

grid on

hold on

[Lg,f,w]=bode(Wpas,{0.1,10000});Lg1=20*log10(squeeze(Lg));

semilogx(w,Lg1,'--')

Найдем критический коэффициент усиления разомкнутой системы , при котором замкнутая система с отрицательной единичной обратной связью находится на границе устойчивости. Он определяется по ЛАХ и ЛФХ из условия

, град.

При этом , где для рис. 5 значение=2,91 рад/с. Здесь вычислениеосуществляется с помощью командной строкиMATLAB:

>> Kpas=123.96;Kkp=Kpas/abs(freqresp(Wpas,[2.91]))

Kkp = 5.4662

Для проверки правильности полученного результата построим годографы движения корней характеристического уравнения замкнутой системы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы с помощью командной строки

>> WKpas=Wpas/Kpas; rlocus(WKpas);

Результат вычислений представлен на рис. 7

По рисунку 7 видно, что при коэффициенте в замкнутой системе имеются левые корни и одна пара комплексно-сопряженных корнейс положительной вещественной частью, т.е. призамкнутая система находится на границе колебательной устойчивости и пристановится неустойчивой, что подтвердает вывод об неустойчивости замкнутой системы припо логарифмическому аналогу критерия Найквиста (рис. 5)

2. Построение переходного процесса замкнутой системы с найденным коэффициентом усиления электронного усилителя.

Построение переходной характеристики замкнутой системы с отрицательной обратной связью (реакции системы на единичный скачок при нулевых начальных условиях) с передаточной функцией осуществляется по формуле

которая вычисляется с помощью командной строки (так как )

>> Ws=feedback(Wpas,1); step(Ws);grid

Переходной процесс приведен на рис. 8, из которого следует, что замкнутая система неустойчива при , что подтверждает предыдущие результаты и указывает на необходимость синтеза корректирующего устройства.

Этот вывод подтверждает предыдущие результаты.